高中数学 第1章 计数原理 1.2 排列教学案 苏教选修23

1、11.21.2排列排列第 1 课时排列与排列数公式1甲、乙两名同学参加一项活动，其中一名参加上午的活动，另外一名参加下午的活动问题 1：甲在上午和乙在上午是相同的安排法吗？提示：不是问题 2：有几种不同的排法？提示：两种甲上午，乙下午；甲下午，乙上午2若从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，另 1 名同学参加下午的活动问题 3：让你去安排这项活动，需要几步？提示：分两步问题 4：它们是什么？提示：第一步确定上午的同学，第二步确定下午的同学问题 5：有几种排法？提示：上午有 3 种，下午有 2 种，因分步完成共 326 种问题 6：这些排法相同吗？提示：不相

2、同，它们是有顺序的3从a、b、c中任取两个元素，按照一定的顺序排成一列问题 7：共有多少种不同的排列方法？2提示：326 种问题 8：试写出它们的排列提示：ab，ac，ba，bc，ca，cb.排列的定义一般地，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.已知数字 1，2，3，4，5，6.问题 1：从 1，2，3，4，5，6 中选出两个数字，能构成多少个没有重复数字的两位数？提示：有 6530(个)问题 2：从 1，2，3，4，5，6 中选出三个数字，能构成多少个没有重复数字的三位数？提示：有 654120(个)问题 3：从 1，

3、2，3，4，5，6 中选出四个数字，能构成多少个没有重复数字的四位数？提示：有 6543360(个)问题 4：若从n个不同元素中取出m(mn)个元素排成一列，有多少种不同的排法？提示：有n(n1)(n2)(nm1)(个)排列数全排列定义从n不同元素中取出m个(mn)元素的所有排列的个数， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数n个不同元素全部取出的一个排列， 叫做n个不同元素的一个全排列表示法AmnAnn公式乘积形式Amnn(n1) (n2)(nm1)Annn(n1)(n2)321阶乘形式Amnn！（nm） ！Annn！3性质A0n1；0！1备注n，mN N*，且mn1判断一个具体问题是不是

4、排列问题主要看从n个元素中取出m个元素后，在安排m个元素时，是有序还是无序，有序是排列，无序就不是排列也就是说排列与元素的顺序有关，与元素顺序无关的不是排列2排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数；排列数是所有排列的个数，它是一个数例 1下列哪些问题是排列问题：(1)从 10 名学生中抽 2 名学生开会；(2)从 2，3，5，7，11 中任取两个数相乘；(3)以圆上的 10 个点为端点作弦；(4)10 个车站，站与站间的车票思路点拨利用排列的定义去判断，关键是看取出的元素是否与顺序有关精解详析(1)2 名学生开会没有顺序，不是排列问题(2)两个数相乘，与这两个数的顺序无关，

5、不是排列问题(3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题(4)车票使用时，有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题一点通判断一个具体问题是否有顺序的方法：变换元素的位置，看结果有无变化，若有变化，则与元素的顺序有关，是排列问题；否则，为非排列问题41更改例题的各条件如下，请重新判断是不是排列问题：(1)抽 2 名学生当正、副班长；(2)取两个数相除；(3)以圆上 10 个点为端点作有向线段；(4)10 个车站间站与站的票价解：(1)2 名学生当正、副班长是有顺序的，故是排列问题(2)两个数有除数和被除数之分，有顺序，是排列问题(3)有向线段有起点和终点之分，有顺序，是排列问题(4)两车

6、站间来回的票价一样，故与顺序无关，不是排列问题2判断下列问题是否为排列问题(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选 2 个小组分别去植树和种菜；(3)选 2 个小组去种菜；(4)选 10 人组成一个学习小组；(5)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班 40 名学生在假期相互通信解：(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题(5)中每个人的职务不同，例如，甲当班长与当学习委员是不同的，

7、存在顺序问题，属于排列问题(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题所以在上述各题中(2)、(5)、(6)属于排列问题.例 2A，B，C，D四名同学站成一排照相，写出A不站在两端的所有可能站法思路点拨解决本题可通过树形图法，画出依题意的形状，便可写出不同的站法精解详析如图所示的树形图：5故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共 12 种一点通“树形图”是解决简单排列问题的有效方法， 特别是元素较少时 在具体操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素在首位为分类

8、标准，进行分类，在每类中再在前面元素不变的情况下定第二位元素，依次一直进行到完成一个排列3A，B，C三个同学站成一排照相留念，写出所有排列解：由题意作树形图如图所示：故所有的排列为：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA.4A，B，C，D四名同学重新换位(每个同学都不能坐其原来的位子)，试列出所有可能的换位方法解：假设A，B，C，D四名同学原来的位子分别为 1，2，3，4 号，列出树形图如图：位置编号换位后，原来 1，2，3，4 号座位上坐的同学的所有可能排法有：BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.例 3计算：(1)2A587A48

9、A88A59；(2)Am1n1AnmnmAn1n1.思路点拨利用公式 Amnn！（nm） ！化简变形精解详析(1)2A587A48A88A592876547876587654321987658765（87）8765（249）1.6(2)原式（n1） ！（n1）（m1）！(nm)！1（n1） ！（n1） ！（nm） ！(nm)！1（n1） ！1.一点通应用排列数公式应注意以下几个方面：(1)准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确(2)合理约分：若运算式是分式形式，则要先约分后计算(3)合理组合：运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准

10、确性， 如：n！ n(n1)！ ；nn！ (n1)！ n！ ；n1n！1（n1） ！1n！等5如果 Amn151413121110，那么n_，m_解析：151413121110A615，n15，m6.答案：1566.A812A811_解析：原式121110651110541243.答案：37解下列方程：(1)3A3x2A2x16A2x；(2)5Ax46Ax15.解：(1)由 3A3x2A2x16A2x，得 3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)x3，3(x1)(x2)2(x1)6(x1)，即 3x217x100.解得x5 或x23(舍去)，x5.(2)由 5Ax46Ax15，得54！（4

11、x） ！65！（6x） ！化简得x211x240，解得x13，x28，x4，且x15，原方程式的解为x3.71排列数公式的特点(1)第一个因数是n；(2)每个因数都比它前面的因数少 1；(3)最后一个因数是nm1；(4)一共有m个连续的自然数相乘2应用排列数公式应注意的问题(1)排列数的第一个公式 Amnn(n1)(nm1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式(2)排列数的第二个公式 Amnn！（nm） ！适用于与排列数有关的证明、 解方程、 解不等式等， 在具体运用时， 则应注意先提取公因式， 再计算， 同时还要注意隐含条件“mn且nN N* *，mN N* *”的运用课

12、下能力提升(三)一、填空题1下列问题中：10 本不同的书分给 10 名同学，每人一本；10 位同学互通一次电话；10 位同学互通一封信；10 个没有任何三点共线的点构成的线段其中属于排列问题的是_(将正确序号填上)解析：和中两个元素交换顺序，结果发生变化，所以和是排列问题答案：82从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为_(填序号)甲乙，乙甲，甲丙，丙甲；甲乙丙，乙丙甲；甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙；甲乙，甲丙，乙丙解析：这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种站法，故正确答案：3已知 A2n132，则n_解析：A2nn(n1)132，即n2n1320，又因为nN N* *

13、，所以n12.答案：124从 5 个人中选出 3 人站成一排，则不同的排法有_种解析：从 5 个人中选出 3 人站成一排，共有 A3554360 种不同的排法答案：605记S1！2！3！99！ ，则S的个位数字是_解析：1！1，2！2，3！6，4！24，5！120，而 6！65！ ，7！765！ ，99！999865！ ，所以从 5!开始到 99！ ，个位数字均为 0，所以S的个位数字为 3.答案：3二、解答题6计算：(1)2A474A56；(2)A316A56A35.解：(1)原式27654465432654(2746)120(1424)1 200.(2)原式1615146543254341

14、41244.7解方程 A42x1140A3x.解：由题意得2x14，x3，x3.根据排列数公式，原方程化为(2x1)2x(2x1)(2x2)140 x(x1)(x2)，x3，两边同除以 4x(x1)，得(2x1)(2x1)35(x2)，即 4x235x690.9解得x3 或x534(因为x为整数，故应舍去)所以x3.8用 1，2，3，4 四个数字排成三位数，并把这些三位数从小到大排成一个数列an(1)写出这个数列的前 11 项；(2)求这个数列共有多少项解：(1)111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.(2)这个数列的项数就是用 1，2，3，4

15、排成三位数的个数，每一位都有 4 种排法，则根据分步计数原理共有 44464 项第 2 课时排列的应用例 1(1)有 5 个不同的科研小课题，从中选 3 个由高二(6)班的 3 个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？(2)有 5 个不同的科研小课题， 高二(6)班的 3 个学习兴趣小组报名参加， 每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？思路点拨(1)选出 3 个课题进行排列；(2)每个学习小组都选一个课题精解详析(1)从 5 个不同的课题中选出 3 个，由兴趣小组进行研究，对应于从 5 个不同元素中取出 3 个元素的一个排列因此不同的安排方法有 A3554360

16、种(2)由题意知，3 个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题由于每个兴趣小组都有 5 种不同的选择， 且 3 个小组都选择完才算完成这件事 由分步计数原理得，共有 555125 种报名方法.10一点通没有限制条件的排列问题， 即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类题相对简单，分清元素和位置即可1某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目最多1 项，则该外商不同的投资方案有_种解析：不同的投资方案有 A3443224 种答案：242有 5 名男生和 2 名女生，从中选出 5 人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，

17、则不同的选法共有_种(用数字作答)解析：由题意知，从 7 人中选出 5 人担任 5 个学科的科代表，共有 A572 520 种不同的选法答案：2 5203某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1 面、2 面或 3 面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？解：第 1 类，挂 1 面旗表示信号，有 A13种不同方法；第 2 类，挂 2 面旗表示信号，有 A23种不同方法；第 3 类，挂 3 面旗表示信号，有 A33种不同方法根据分类计数原理，可以表示的信号共有 A13A23A3333232115 种.例 27 位同学站成一排(1)其中

18、甲站在最左端的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？(3)其中甲不能站在排头、乙不能站在排尾的排法共有多少种？思路点拨这是一个有限制条件的排列问题， 每一问均应优先考虑限制条件， 遵循特殊元素或位置优先安排的原则精解详析(1)先考虑甲站在最左端有 1 种方法，再在余下的 6 个位置排另外 6 位同学，共 A66种排法(2)法一：先考虑在除两端外的 5 个位置选 2 个安排甲、乙有 A25种，再在余下的 5 个位置排另外 5 位同学的排法有 A55种，共有 A25A55种排法11法二：考虑特殊位置优先法，即两端的排法有 A25种，中间 5 个位置有 A55种

19、，共有 A25A55种排法(3)法一：分两类：乙站在排头和乙不站在排头，乙站在排头的排法共有 A66种，乙不站在排头的排法总数为：先在除甲、乙外的 5 人中选 1 人安排在排头的方法有 5 种，中间 5个位置选 1 个安排乙的方法有 5 种，再在余下的 5 个位置排另外 5 位同学的排法有 A55种，故共有 A6655A55种排法法二：考虑间接法，总排法为 A77，不符合条件的甲在排头或乙站排尾的排法均为 A66种，但这两种情况均包含了甲在排头和乙站排尾的情况，故共有 A772A66A55种排法一点通解决这种有限制条件的排队问题，关键是搞清元素是什么，位置是什么，根据给出的限制条件，按特殊元素

20、(位置)恰当合理地分类或分步来解决4张、王两家夫妇各带 1 个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这 6 人的入园顺序排法种数为_(用数字作答)解析：第一步：将两位爸爸排在两端有 2 种排法；第二步：将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有 A33种排法；第三步：将两个小孩排序有 2 种排法故总的排法有 22A3324(种)答案：2456 个人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站右端，也不站左端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站左端，乙不站右端解：(1)第一步，先从甲以外的 5 个人中任选两

21、人站在左、右两端，有 A25种不同的站法；第二步，再让剩下的 4 个人站在中间的 4 个位置，有 A44种不同的站法，由分步计数原理有A25A44480 种不同的站法(2)让甲、乙先站两端，有 A22种站法，再考虑中间 4 个位置，由剩下的 4 个人去站，有A44种不同的站法，由分步计数原理有 A22A4448 种不同的站法(3)以元素甲的位置进行考虑，可分两类：甲站右端有 A55种不同的站法；甲在中间 4 个位置之一，而乙不在右端，可先排甲后排乙，再排其余 4 个，有 44A44种不同的站法，故共有 A5544A44504 种不同的站法.12例 3用 0，1，2，3，4 这五个数字，组成五位

22、数，(1)可组成多少个五位数？(2)可组成多少个无重复数字的五位数？(3)可组成多少个无重复数字的五位奇数？思路点拨该题目中的特殊元素为 0，它不能放在首位(1)数字可以重复；(2)只需限制首位(即万位)不为 0；(3)限制末位是奇数，首位不是 0.精解详析(1)各个数位上的数字允许重复，由分步计数原理得，共可组成五位数455552 500 个(2)法一：(优先考虑特殊位置)先排万位，从 1，2，3，4 中任取一个有 A14种方法，其余四个位置排四个数字共有 A44种方法，所以组成的无重复数字的五位数共有 A14A4496 个法二：(优先考虑特殊元素)先排 0，除首位之外的其他四个数位均可，有

23、 A14种方法，其余四个数字全排列，有 A44种方法故组成的无重复数字的五位数共有 A14A4496 个(3)(优先考虑特殊位置)先排个位，1 和 3 均可，有 A12种方法然后从剩下的 3 个非 0数中选一个排在万位，有 A13种方法，最后将剩下的 3 个数排在其他三个数位上，有 A33种方法故组成的无重复数字的五位奇数共有 A12A13A3336 个一点通组数问题中常用的知识：(1)能被 2 整除的数的特征：末位数是偶数；不能被 2 整除的数的特征：末位数是奇数(2)能被 3 整除的数的特征：各位数字之和是 3 的倍数；能被 9 整除的数的特征：各位数字之和是 9 的倍数(3)能被 4 整

24、除的数的特征：末两位是 4 的倍数(4)能被 5 整除的数的特征：末位数是 0 或 5；能被 25 整除的数的特征：末两位数是 25的正整数倍(5)能被 6 整除的数的特征：各位数字之和是 3 的倍数的偶数6用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数，(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个四位偶数？解：(1)先排首位，有 A15种排法，再排个位、十位和百位，有 A35种排法，故共有 A15A3513300 个不同的四位数(2)当个位数字是 0 时，有 A35种；当个位数字不是 0 时，有 A12A24A14种所以，共有 A35A12A24A14156 个，即可组成 1

25、56 个四位偶数7在 1，2，3，4，5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有多少个？解：依题意，所选的三位数字有两种情况：(1)3 个数字都是奇数，从 1，3，5 三个数中选三个数排列，有 A33种方法；(2)3 个数字中有一个是奇数，分两步进行，选一个奇数，有 3 种选法，这个奇数与两个偶数全排列，故有 3A33种方法由分类计数原理，共有 A333A3324 个满足条件的三位数1解决排列问题时通常从以下三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置，如组数问题中的首位，如果所

26、给数字中有 0，应先考虑首位不为 0；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数，然后去掉不符合要求的排列2解决组数问题应注意的几点(1)首位数字不为 0；(2)若所选数字中含有 0，则可先排 0，即“元素分析法”；(3)若排列的数是特殊数字，如偶数，则先排个位数字，即“位置分析法”；(4)此类问题往往需要分类，可依据特殊元素，特殊位置分类14课下能力提升(四)一、填空题1 由 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8 八个数字， 组成无重复数字的两位数的个数为_ (用数字作答)解析：A288756 个答案：5625 个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有_种(用数字作答)解析：先排甲、乙之

27、外的 3 人，有 A33种排法，然后将甲、乙两人插入形成的 4 个空中，有 A24种排法，故共有 A33A2472(种)排法答案：723A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有_种解析：根据题目的条件可知，A，B必须相邻且B在A的右边，所以先将A，B两人捆起来看成一个人参加排列， 即是 4 个人在 4 个位置上作排列， 故不同的排法有 A44432124(种)答案：244由数字 1，2，3 与符号“”和“”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列的个数是_解析：符号“”和“”只能在两个数之间，这是间隔排列，排法共有 A33A2212 种答案：125将数字 1，2，3，4，5，6 按第一行 1 个数，第二行 2 个数，第三行 3 个数的形式随机排列，设Ni(i1，2，3)表示第i行中最大的数，则满足N1N2N3的所有排列的个数是_(用数字作答)解析：由题意知数字 6 一定在第三行，第三行的排法种数为 A13A2560；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为 A12A124，由分步计数原理知满足条件的排列个数是 240.答案：240二、解答题67 名同学排队照相，15(1)若分成两排照，前排 3 人，后排 4