第11章有限元原及其在CAD中的应用

1、第十一章 有限元原理及其在cad中的应用o 有限元概述o 有限元分析的原理及步骤o 有限元分析的前处理o 有限元分析的后处理11.1 有限元概述o 有限元法（或称有限单元法、有线元素法）是求解复杂工程问题的一种近似数值值分析方法o 它的基本概念是将一个形状复杂的连续体的求解区域分解成有限个单元组成的等效组合体，通过将连续体离散化，把求解连续体的场变量（应力、位移、压力和温度等）问题简化为求解有限个单元节点上的场变量值o 此时求解的基本方程将是一个代数方程组，而不是原来的描述真实连续体场变量的微分方程组11.1 有限元概述o 大大降低求解的难度，其解的精度取决于所采用的单元类型、数量以及对单元的

2、插值函数o 有限元法是近30年来工程计算方法领域中的一项重大的成就11.1 有限元概述o 它不仅广泛的应用在机械设计的力学分析中，而且也成功应用在求解复杂的非线性工程中o 有限元软件则是有限元法及其应用的集中和完善的体现，它是cad/cam系统中的重要组成部分o 利用有限元这一先进的技术，我们在设计阶段就可以预测产品的性能，减少许多原型制造及测试实验工作o 这样既可以缩短产品设计周期节省实验费用，又可以优化产品的设计，避免了产品的大储备设计及不足设计11.2 有限元分析的原理及步骤o 通过对弹性力学领域中最简单的平面静力问题的讨论，来说明有限元方法的基本思路和主要概念o 它推导过程与空间三维等

3、其它问题是一致的11.2.1弹性力学平面问题的类型o 实际上任何弹性物体都是处在三维受力状态，因而都是空间问题o 但是在一定条件下，相当多的实际问题可以近似地按平面问题处理，从而使问题大大简化o 平面应力问题o 平面应变问题平面应力问题o 如图所示的薄板，板的厚度z方向的尺寸相对尺寸很小，板边上受有平行于oxy平面并沿z轴均匀分布的载荷o 可以将板内各点上沿z轴方向的应力分量 近似处理为零，而各点上的三个应力分量 都平行于oxy平面，故称之为平面应力问题o 在平面应力问题中，虽然应力 ，但应变xyxzx,xyyx,0z0z平面应变问题o 例如如图所示的圆柱体，其长度z方向比直径大很多，载荷平行

4、于截面oxy，且沿着z轴均匀分布o 这时，可以将体内各点上沿着z轴方向的三个应变分量 近似地处理为零，而各点上其他的三个应变分量 都平行与oxy面，故而称为平面应变问题o 在平面应变问题中，虽然 ，但应力o 有些机械零件如花键轴等，可以简化为平面应变问题来处理xzyzz,xyyx,0z0z11.2.2 平面问题有限元分析的步骤o 基本问题：已知物体区域的边界上的约束条件所受的作用力，求解区域内各点的位移和应力o 解决这个基本问题的有限元分析过程一般遵循下列步骤o 离散化o 单元分析o 整体分析o 求解未知量离散化o 由无限个质点的连续体简化为有限个单元在节点出连接而成的集合体，称为离散化o 离

5、散化的总目标是：将物体分解成充分小的单元，使得简化的位移模型能够在单元内足够近似地来表示精确解，从而在整体上获得满意的计算结果o 另一方面又必须注意到，单元不能分得太细，以免工作量过大，充分小而有限小，这是离散化的基本原则离散化o 有限元分析的结果是在物体的这些离散点出计算出位移和应力的近似值o 有限元平面问题中常用的单元形式有三角形三节点单元，矩形四节点单元，三角形六节点单元，等参四边形八节点单元等o 三角形三节点单元在平面问题中是最简单最常用的单元形式离散化要注意以下问题o 当分析对象的结构具有对称性时，结构的几何形状和支撑条件，外载荷的大小和分布对称于x轴和y轴,这是只需对四分之一的结构

6、进行分析，这样可节省近四分之三的计算工作量，如果只对称于某一轴也可计算一半o 任意三角形单元的顶点，必须是相邻单元的顶点，而不能是相邻单元的内点，三角形单元各边边长不应相差太大，不要出现钝角离散化要注意以下问题o 在应力集中或应力变化较大的区域，单元应分得细一点，厚度成材料发生突变的地方，应规定为单元的边界线o 节点是一个很重要的概念，单元之间仅在节点处铰接，单元之间的力只通过节点传递，每个单元所受的载荷均应该按精力等效原则移置到节点上。在位移受约束的节点上，应根据实际情况设置约束条件，当节点沿某一方向上的位移为零时，则设置相应的连杆支座；当节点为固定点，即在oxy平面上不能移动时，则设一个铰

7、链支座离散化要注意以下问题o 单元划分之后，要对全部单元和全部节点进行编码，要总体节点编码和局部节点o 节点的总体编码是由人们自行选定的，然而编码安排得适当，得到的总体刚度矩阵回紧凑得多，可以接生计算机存储量和计算时间o 离散化是一个重要的环节，单元划分的形式、大小及节点排列对有限元分析计算的结果有很大的影响单元分析o 单元分析的基本任务是：对于基本未知量 与其对应量 ，推导出节点位移 和节点力 之间的关系单位刚度矩阵 ，并建立单元的平衡方程式o 单元位移模式o 几何方程o 弹性方程o 虚功方程 e ep e ep ek eeekp单元位移模式o 对整个弹性体而言，内部各点的位移情况极为复杂，

8、不大可能用某种函数来描述o 由于进行了离散化，整个弹性体分割成为细小的单元，在细小的单元内，内部各点的变化情况比较简单，因而可以用单元内点坐标的函数来表示内点的唯一，这种函数关系称为单元位移模式单元位移模式o 由于弹性体的化整为零，是我们可以对内点位移函数关系进行简化，这是有限元素法的关键技术之一，选择位移模式时，简便的方法是将位移u,v表示为坐标x,y的函数，即采用多项式模式o 而最简单的，则是采用线性函数o 选择位移模式时，应当保证有限元法解的收敛性，即当单元划分趋向于无穷小时，有限元素法的结果应趋向于问题的正确解答o 可以证明，对于三角形三节点单元，上述线性函数位移模式是满足收敛条件的几

9、何方程o 由弹性力学理论可知，平面内的应变为o 用矩阵可简写为o b称为应变矩阵，是形状函数经微分算子矩阵作用的结果o 由于采用线性位移模式，矩阵b中各个元素均为常数，因而单元内各点的应变亦为常数，所以三角形三节点单元通常称为常应变三角形单元xuyuyuxuxyyx, eb弹性方程o 这里讨论单元内点应变 和单元内点应力 的转换关系，即推导出其转换矩阵弹性矩阵d，使o d称为弹性矩阵，它反映了应变与应力的内在转换关系o 由于应变是常数，相应应力也当然是常数，这常数可认为是单元形心处的应力值，在相邻的各单元中，应力可能是不同的常数，因而在节点处应力有突变，随着单元减小，突变的程度也相应减小 d虚

10、功方程o 单元节点力是作用于单元顶点的外力，必然在单元内部引起相应的应力o 设此单元各节点有虚位移，则在单元内有相应的虚应变o 根据虚功原理，节点力在顶点的虚位移上所作的虚功应与单元内部应力在虚应变上所作的虚功相等，以此可以推导出单元内点应力与单元节点应力之间的转换关系整体分析o 显然，单元分析得出的仅仅是局部的信息，各个单元靠节点连接起来组成整体，因而必须从全局进行分析o 将各个单元的方程（单元刚度矩阵）按照保持节点处位移连续性的方式组合起来，就可以得到整个物体的平衡方程（整体刚度矩阵），再按照给顶的位移边界条件修改这些方程，使平衡方程有解求解未知量o 求解位移o 求解应力、应变和约束力求解

11、位移o 求解未知位移向量 的关键在于求解平衡方程组 ，当单元个数越多时，节点未知量个数也越多，由此建立起来的平衡方程组，将是一个高阶的线性代数方程组o 求解这样的方程组，即使利用大型计算机来运算，也存在着存储容量大和计算速度慢的问题o 针对这两个问题，可以采取以下措施：n利用整体刚度矩阵的特性，寻找接生存储容量的措施n选择有效的计算方法和优良软件，以克服计算速度的困难 pk 求解位移o 考察整体刚度矩阵可以看出存在如下特点：n对称性：整体刚度矩阵是一个对称矩阵，利用这个特性，可以在计算机中只存储矩阵的上三角部分，从而节省近一半的存储容量n稀疏性：整体刚度矩阵是一个稀疏矩阵，其决大多数元素为零，

12、对于大多数问题来说，非零元素占元素总数的50%，若设法只存储非零元素，存储信息又大大减少n带状分布性：刚度矩阵的非零元素分布在以主对角线为中心的带型区域内，这个矩阵称为带状矩阵，利用带状矩阵的对称性，可在计算机中只存储半带区域的元素计算应力、应变和约束力o 采用位移法，一旦位移计算出以后，则其他各量均可以计算o 由于采用线性位移模式，各单元的应变与应力为常量o 在这种情况下，应把算出的应力看成为单元形心处的应力计算应力、应变和约束力o 如果欲求出接点上的应力，还必须运用插值计算出每一个单元的节点应力值后，再将相邻单元共用的节点上的应力值进行平均o 也可以计算出主应力及按照某种强度理论计算的复合

13、应力，以便为后处理做准备o 将计算出的位移代入，即可求出各约束反力11.3 有限元分析的前处理o 有限元分析的前置处理实质有限元分析置前的诸多数据处理过程o 过去进行有限元分析时，常常采用人工生成有限元模型的数据，既耗费时间又易出错，特别是结构复杂，计算精度要求高时，元素网格的划分时间显著增加11.3 有限元分析的前处理o 手工划分有限元网格占有限元分析的工作量的45%，有限元分析结果的判断和输出占50%，而有限元分析本身只占5%o 因此为减少数据输入的准备工作和提高分析、处理结果的效率，有限元系统都应配有使用方便、功能齐全的前、后置处理程序有限元分析前处理的基本内容o 几何模型生成o 有限元

14、网格的自动生成o 有限元属性数据的生成o 模型检验、错误诊断与修改几何模型生成o 这个环节主要是生成有限元计算的结构模型，有了结构模型后，可以按照许多方法生成有限元的计算数据o 一种途径是设计专用的有限元模型交互生成软件，实现造型与有限元前处理一体化o 另一种方法是利用目前已经有的商品化的图形软件（例如autocad）通过的三维实体造型生成模型，在通过模型数据转换与有限元网格划分软件相连接有限元网格的自动生成o 要求生成节点坐标和编号，自动生成单元拓扑信息o 能够产生多种类型的单元及其组合而成的网格，网格的疏密分布应能由用户控制o 对生成的节点应能优化编号，以减少总刚度矩阵带宽，节省内存有限元

15、属性数据的生成o 将载荷、材料和边界约束条件等属性数据放入数据文件模型检验、错误诊断与修改o 一般使用计算机图形显示方法来显示结构轮廓线图及网格划分图（还可包括节点编号、约束与载荷情况等），这样可直观的检验网格划分正确与否o 此过程主要是发现并修正重复单元、重复节点、孤立单元、孤立节点、单元翘曲、单元法线不一致、单元内角与长度比异常、单元方向与自由面定义异常等有限元网格的自动生成o 有限元网格的自动生成是建立有限元模型的重要技术，它在有限元前处理中占据极其重要的地位，目前常用的网格生成方法有以下几种：o 以几何模型的输入数据为基础的方法o 以几何模型数据结构为基础的方法以几何模型的输入数据为基

16、础o 可分为自底向上的自顶向下两中方法o 自底向上法：是指先定义节点，再定义元素，最后形成有限元模型o 自顶向下法：是指在已定义的结构上，根据点、线、面之间的关系，自动生成网格的方法o 在实际应用中两者可以结合使用以几何模型数据结构为基础o 可分为分块分割法和整体分割法o 分块分割法，是指先把组成复杂形体的几何模型分割成若干适于自动生成网格的基本子形体，然后对子形体进行网格划分，最后组合成完整的有限元模型o 整体分割法，是指利用四分法或八分法技术对几何形体实施自动划分，生成二维或三维有限元模型o 若几何模型用四叉树或八叉树结构表示，则采用整体分割法更为合适有限元分析的后处理o 后处理是有限元分析过程的校核和输出结果的加工阶段o 为避免打印输出大量的数据表格，以有效的方式对结果进行处理，将输出结果转化为直观明了的图形描述，通过图形的静、动态显示或绘制相应的图形，有效地检查、校核和输出分析结果后处理实现的主要内容o 将节点位移、单元应力或内力等力学数据，转换为设计人员所关心和熟悉的设计参数，如应力集中区、最大应力值、最大挠度、最不利载荷组合作用下的应力等o 对浩繁的数据进行编辑、筛选出关键的