高等数学 第九章多元函数微分法及其应用

1、 多元微积分的概念、理论、方法是一元微多元微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理解，融会贯通。解，融会贯通。 多元函数微分学多元函数微分学 在上册中，我们讨论的是一元函数微积分在上册中，我们讨论的是一元函数

2、微积分，但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量，但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量的函数的函数多元函数，也提出了多元微积分问题。多元函数，也提出了多元微积分问题。 重点重点 多元函数基本概念，偏导数，全微分，多元函数基本概念，偏导数，全微分，复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何应用，多元函数极值。应用，多元函数极值。难点难点复合函数求导，多元函数极值。复合函数求导，多元函数极值。 函数的微分法从一元函数发展到函数的微分法从一元函数发展到 二元函数本质上要出现一些新东西，但二元函数本质上要出现一些新东西，但 从二元函数到二元以上函数则可以类推，从二

3、元函数到二元以上函数则可以类推， 因此这里基本上只讨论二元函数。因此这里基本上只讨论二元函数。掌握多元函数基本概念，会表示定义域，掌握多元函数基本概念，会表示定义域，了解二元极限、连续了解二元极限、连续深刻理解二元函数偏导数，能熟练求出一深刻理解二元函数偏导数，能熟练求出一阶和高阶偏导数，阶和高阶偏导数，掌握全微分概念掌握全微分概念会求复合函数偏导数，掌握隐函数的求会求复合函数偏导数，掌握隐函数的求导方法，导方法，会求曲线的切线、法平面，曲面的切平会求曲线的切线、法平面，曲面的切平面和法线，面和法线，会求多元函数极值会求多元函数极值基本要求基本要求（1）邻域）邻域 设设),(000yxp是是x

4、oy平面上的一个点，平面上的一个点， 是某是某一正数，与点一正数，与点),(000yxp距离小于距离小于 的点的点),(yxp的全体，称为点的全体，称为点0p的的 邻域，记为邻域，记为),(0 pu， ),(0 pu |0ppp .)()(| ),(2020 yyxxyx 0p（2）区域）区域.)(的内点的内点为为则称则称，的某一邻域的某一邻域一个点如果存在点一个点如果存在点是平面上的是平面上的是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，设设epepuppe 一、多元函数的概念一、多元函数的概念.为为开开集集则则称称的的点点都都是是内内点点，如如果果点点集集ee例如，例如，41),(221 yxy

5、xe即为开集即为开集ep 的的边边界界点点为为），则则称称可可以以不不属属于于，也也本本身身可可以以属属于于的的点点（点点也也有有不不属属于于的的点点，于于的的任任一一个个邻邻域域内内既既有有属属如如果果点点epeepeep的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 ee是连通的是连通的开集开集，则称，则称且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设ddddep 例如，例如，.41| ),(22 yxyx开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.例如，例如，.41| ),(

6、22 yxyxxyoxyo则称为无界点集则称为无界点集为有界点集，否为有界点集，否成立，则称成立，则称对一切对一切即即，不超过不超过间的距离间的距离与某一定点与某一定点，使一切点，使一切点如果存在正数如果存在正数对于点集对于点集eepkapkapaepke 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域 41 | ),(22 yxyx有界闭区域；有界闭区域；0| ),( yxyx无界开区域无界开区域（3）聚点）聚点 设设 e 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，p 是是平平面面上上的的一一个个点点，如如果果点点 p 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限多多个个点点属属于于点

7、点集集 e，则则称称 p 为为 e 的的聚聚点点.xyo 内点一定是聚点；内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例例10| ),(22 yxyx(0,0)既是边界点也是聚点既是边界点也是聚点 点集点集e的聚点可以属于的聚点可以属于e，也可以不属于，也可以不属于e例如例如,10| ),(22 yxyx(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,1| ),(22 yxyx边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合（4）n维空间维空间 设设n为为取取定定的的一一个个自自然然数数，我我们们称称n元元数数组组),(21nxxx的的全全体体为为n维维空空间间

8、，而而每每个个n元元数数组组),(21nxxx称称为为n维维空空间间中中的的一一个个点点，数数ix称称为为该该点点的的第第i个个坐坐标标. n维空间的记号为维空间的记号为;nr n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 ),(21nxxxp),(21nyyyq.)()()(|2222211nnxyxyxypq 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离3, 2, 1 n n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念邻域：邻域： nrpppppu ,|),(00 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定

9、义设两点为设两点为（5）二元函数的定义）二元函数的定义 设设d是是平平面面上上的的一一个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点dyxp ),(，变变量量z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定的的值值和和它它对对应应，则则称称z是是变变量量yx,的的二二元元函函数数，记记为为),(yxfz （或或记记为为)(pfz ）. . 类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念因变量等概念.例例1 1 求求 的定义域的定义域222

10、)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxd （6） 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为d，对于任意，对于任意取定的取定的dyxp ),(，对应的函数值为，对应的函数值为),(yxfz ，这样，以，这样，以x为横坐标、为横坐标、y为纵坐为纵坐标、标、z为竖坐标在空间就确定一点为竖坐标在空间就确定一点),(zyxm，当当x取遍取遍d上一切点时，得一个空间点集上一切点时，得一个空间点集),(),(| ),(dyxyxfzzyx ，这个

11、点集称，这个点集称为二元函数的图形为二元函数的图形.（如右图）（如右图）二元函数的图形通二元函数的图形通常是一张曲面常是一张曲面.定 义定 义 1 1 设 函 数设 函 数),(yxfz 的 定 义 域 为的 定 义 域 为),(,000yxpd是其聚点，如果对于任意给定的是其聚点，如果对于任意给定的正数正数 ，总存在正数，总存在正数 ，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式 20200)()(|0yyxxpp的 一 切的 一 切点，都有点，都有 |),(|ayxf成立，则称成立，则称 a a 为函数为函数),(yxfz 当当0 xx ，0yy 时的极限，时的极限，记为记为 ayxfyyxx

12、),(lim00 （或（或)0(),( ayxf这里这里|0pp ）.二、多元函数的极限二、多元函数的极限（1）定义中）定义中 的方式可能是多种多样的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。于同一常数。这是产生本质差异的根本原这是产生本质差异的根本原因。因。0pp （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二

13、元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论以巩固和加深理解。以巩固和加深理解。说明：说明：01sin)(lim222200 yxyxyx证证01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立例例2 2 求证求证 例例3 3 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyx

14、yx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limyxu2 uuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyx例例4 4 证明证明 不存在不存在 26300limyxyxyx 证证取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：（1） 令令),(yxp沿沿kxy 趋趋向向于于),

15、(000yxp，若若极极限限值值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2） 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但两者不相等，此时也可断言但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxp处极限不存在处极限不存在 定义定义 2 2 设设n元函数元函数)(pf的定义域为点集的定义域为点集0, pd是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总 存 在 正 数总 存 在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 |00pp的 一 切 点的 一 切 点

16、dp ， 都 有， 都 有 |)(|apf成立，则称成立，则称 a a 为为n元函数元函数)(pf当当0pp 时的极限，记为时的极限，记为 apfpp )(lim0. .n元元函函数数的的极极限限利用点函数的形式有利用点函数的形式有 设设n元函数元函数)(pf的定义域为点集的定义域为点集0, pd是其聚点且是其聚点且dp 0，如果，如果)()(lim00pfpfpp 则称则称n元函数元函数)(pf在点在点0p处连续处连续. . 设设0p是是函函数数)(pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(pf在在点点0p处处不不连连续续，则则称称0p是是函函数数)(pf的的间间断断点点.例例5 5 讨

17、论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性解解取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 , 0 ,2 当当 时时 220yx 2)0 , 0(),(fyxf),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.例例6 6 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220lim

18、xkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理 在有界闭区域在有界闭区域d d上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在d d上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次（2）介值定理）介值定理 在有界闭区域在有界闭区域d d上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在d d上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在d d上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间

19、的任何值至少一次多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域).()(lim)()()()(lim00000pfpfppfpfppfpfpppp 处处连连续续，于于是是点点在在的的定定义义域域的的内内点点，则则是是数数，且且是是初初等等函函时时，如

20、如果果一一般般地地，求求多元函数的定义多元函数的定义多元函数极限的概念多元函数极限的概念（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质四、小结四、小结 若点若点),(yx沿着无数多条平面曲线趋向于沿着无数多条平面曲线趋向于点点),(00yx时，函数时，函数),(yxf都趋向于都趋向于 a，能否，能否断定断定ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思考题思考题不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是

21、 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41思考题解答思考题解答练练 习习 题题一一、 填填空空题题: : 1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,则则),(tytxf= =_ _ _ _ _. . 2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,则则 )3, 2(f_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; ), 1(xyf_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 3 3、 若若)0()(22 yyyxxyf, ,则则 )(xf_ _ _ _ _ _ _

22、_ _. . 4 4、 若若22),(yxxyyxf , ,则则 ),(yxf_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .函函数数)1ln(4222yxyxz 的的定定义义域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、函数、函数yxz 的定义域是的定义域是_. . 7 7、函数、函数xyzarcsin 的定义域是的定义域是_. . 8 8、函数、函数xyxyz2222 的间断点是的间断点是_. .二二、 求求下下列列各各极极限限: :1 1、 xyxyyx42lim00 ；2 2、 xxyyxsinlim00；3 3、 22222200)()cos(1limyxyxyxyx

23、 . .三、三、 证明：证明：0lim2200 yxxyyx. .四、四、 证明极限证明极限yxxyyx 11lim00不存在不存在 . .练习题答案练习题答案一一、 1 1、 ),(2yxft； 2 2、1213 , , ),(yxf； 3 3、 xx21 ； 4 4、 yyx 112； 5 5、 xyyxyx4, 10),(222 ； 6 6、 yxyxyx 2, 0, 0),(； 7 7、 xyxxyx , 0),( xyxxyx , 0),(； 8 8、 02),(2 xyyx. . 二二、1 1、41 ； 2 2、0 0； 3 3、 . . 偏偏 导导 数数 我们已经知道一元函数的导

24、数是一个很重我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如的变化

25、率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。下定义。定义定义 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某一邻的某一邻域内有定义，当域内有定义，当y固定在固定在0y而而x在在0 x处有增量处有增量x 时，相应地函数有增量时，相应地函数有增量 ),(),(0000yxfyxxf ，如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，则称存在，则称此极限为函数此极限为函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对x的的偏导数，记为偏导数，记为00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法

26、同同理理可可定定义义函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处对对y的的偏偏导导数数， 为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记记为为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. .如果函数如果函数),(yxfz 在区域在区域d内任一点内任一点),(yx处对处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数的偏导数都存在，那么这个偏导数就是就是x、y的函数，它就称为函数的函数，它就称为函数),(yxfz 对对自变量自变量x的偏导数，的偏导数， 记作记作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.hyxfyhxfyxfhx),(),(lim),(0 同

27、同理理可可以以定定义义函函数数),(yxfz 对对自自变变量量y的的偏偏导导数数，记记作作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.hyxfhyxfyxfhy),(),(lim),(0 偏导数的求法偏导数的求法 由偏导数的定义可知，求二元函数的由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法偏导数并不需要新的方法求求 时把时把 y 视为常数而对视为常数而对 x 求导求导xf 求求 时把时把 x 视为常数而对视为常数而对 y 求导求导yf 这仍然是一元函数求导问题这仍然是一元函数求导问题如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxf

28、xx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数一般地一般地 设设),(21nxxxfw ininiixixxxxfxxxxfxwi ),(),(lim110 ), 2 , 1(ni 例例 1 1 求求 223yxyxz 在在点点)2, 1(处处的的偏偏导导数数解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 例例 2 2 设设yxz )1, 0( xx， 求求证证 zyzxxzyx2ln1 .证证 xz,

29、1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立例例 3 3 设设22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx |)|(2yy .|22yxy yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在例例 4 4 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程rtpv （r为常数） ，求证：为常数） ，求证：1 pttvvp.证证 vrtp;2vrtvp prtv;prtv r

30、pvt;rvpt pttvvp2vrt pr rv pvrt . 1 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、偏导数偏导数xu 是一个整体记号，不能拆分是一个整体记号，不能拆分;、求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求； 计算计算 f x (x0 ,y0 ) 时可先将时可先将 y = y0 代入代入 f (x ,y ) 再对再对 x 求导然后代入求导然后代入 x = x0 计算计算 f y (x0 ,y0 ) 时同理时同理).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 )

31、.0 , 0(yf 3、4、 偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量，但由于变量较多，易产生混乱量，但由于变量较多，易产生混乱-重要的是重要的是区分清函数的类型区分清函数的类型这是出错的主要原因。这是出错的主要原因。5、若若 f( x , y ) =f( y , x ) 则称则称 f( x , y ) 关于关于 x , y 具有轮换对称性具有轮换对称性在求在求 时时22,yuyu 只需将所求的只需将所求的 22,xuxu 中的中的 x , y 互换即可互换即可6、偏导数存

32、在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，例如例如,函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在依定义知在)0 , 0(处，处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.7、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxm 如图如图几何意义几何意义: : 偏导数偏导数),(00yxfx就是曲面被平面就是曲面被平

33、面0yy 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0m处的切线处的切线xtm0对对 x轴轴的斜率的斜率. 偏导数偏导数),(00yxfy就是曲面被平面就是曲面被平面0 xx 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0m处的切线处的切线ytm0对对 y轴轴的斜率的斜率. 二、高阶偏导数二、高阶偏导数函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy 纯偏导纯偏导),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.例例 5设设1332

34、3 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .22xz ,62xy 33xz ,62y 22yz ;1823xyx yxz 2, 19622 yyxxyz 2. 19622 yyx观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：原函数图形原函数图形偏导函数图偏导函数图形形偏导函数图偏导函数图形形二阶混合偏二阶混合偏导函数图形导函数图形例例 6 6 设设byeuaxcos ，求求二二阶阶偏偏导导数数.解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,c

35、os222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 的两个二阶混合偏导数的两个二阶混合偏导数xyz 2及及yxz 2在区域在区域 d d 内连续，那末在该区域内这内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等两个二阶混合偏导数必相等例例 7 7 验证函数验证函数22ln),(yxyxu 满足拉普拉满足拉普拉斯方程斯方程 解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222

36、222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 三、小结三、小结偏导数的定义偏导数的定义（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）思考题思考题若函数若函数),(yxf在 点在 点),(000yxp连连续，能否断定续，能否断定),(yxf在点在点),(000yxp的偏导数必定存在？的偏导数必定存在？思考题解答思考题解答不能不能.例如例如,

37、),(22yxyxf 在在)0 , 0(处处连连续续,但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不存在不存在.练练 习习 题题一一、填填空空题题: : 1 1、 设设yxztanln , ,则则 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 2 2、 设设 xzyxezxy则则),(_ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _. . 3 3、 设设,zyxu 则则 xu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; zu_ _ _ _ _ _ _ _ _

38、_ _ _ _. . 4 4、 设设,arctanxyz 则则 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; 22yz_ _ _ _ _ _ _ _; ; yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 5 5、设、设zyxu)( , ,则则 yzu2_. .二、二、 求下列函数的偏导数求下列函数的偏导数: : 1 1、yxyz)1( ； 2 2、zyxu)arctan( . .三、三、 曲线曲线 4422yyxz, ,在点在点(2,4,5)(2,4,5)处的切线与正向处的切线与正向x轴所成的倾角是多少轴所成的倾角是多少? ?四、四、 设设xyz , ,求求.,22222

39、yxzyzxz 和和五、设五、设)ln(xyxz , ,求求yxz 23和和23yxz . .六、六、验证验证: : 1 1、)11(yxez , ,满足满足zyzyxzx222 ； 2 2、222zyxr 满足满足 rzzryrxr 222222. . 七、设七、设 0, 00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf 求求xyxff ,. . 练习题答案练习题答案一、一、1 1、yxyxyxy2csc2,2csc22 ；2 2、)1(2 yxyexy, ,)1(2 xxyexy；3 3、xxzxzyzyzyln1,1 , , xxzyzyln2 ；4 4、2222222

40、2222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy ；5 5、)ln1()(yxyzyyxz . .二、二、1 1、 xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12; ; 2 2、zzyxyxzxu21)(1)( , , ,)(1)(21zzyxyxzyu zyxyxyxzu2)(1)ln()( . . 三三、4 . . 四四、,)1(,ln222222 xxyxxyzyyxz )1ln(12 yxyyxzx. . 五五、223231, 0yyxzyxz . . 七七、 0, 0; 0, 00, 0,0,arctan2yxyxyxyxyyxyxfx, , 0, 0, 10,

41、0, 12222yxxyyxyxxfxy. . 全全 微微 分分一、全微分的定义一、全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函数数 对对x和和对对y的的偏偏增增量量 二二元元函函数数 对对x和和对对y的的偏偏微微分分 全增量的概念全增量的概念 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，并并设设),(yyxxp 为为 这这 邻邻 域域 内内 的的 任任 意意 一一 点点 ， 则则 称称 这这 两两 点点 的的

42、 函函 数数 值值 之之差差 ),(),(yxfyyxxf 为为函函数数在在点点p对对应应于于自自变变量量增增量量yx ,的的全全增增量量，记记为为z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf 一一 般般 来来 讲讲 ， 全全 增增 量量z 与与yx ,的的 相相 依依 关关 系系 是是 比比 较较 复复 杂杂 的的 ， 因因 此此 我我 们们 希希望望能能象象一一元元函函数数的的微微分分那那样样，用用yx ,的的 线线 性性 函函 数数ybxa 来来 近近 似似 表表示示，并并给给出出误误差差估估计计。由由此此引引出出如如下下定定义义： 全微分的定义全微分的定义 如果函数如果函数),(y

43、xfz 在点在点),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为)( oybxaz ，其中，其中ba,不依赖于不依赖于yx ,而仅与而仅与yx,有关，有关，22)()(yx ，则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分，可微分，ybxa 称为函数称为函数),(yxfz 在点在点),(yx的的全微分全微分，记为，记为dz，即，即 dz= =ybxa . . 函函数数若若在在某某区区域域 d 内内各各点点处处处处可可微微分分，则则称称这这函函数数在在 d 内内可可微微分分. 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分可微分, 则则函数在该点

44、连续函数在该点连续.事实上事实上),( oybxaz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续.二、可微的条件二、可微的条件 定定理理 1 1（必必要要条条件件）如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx可可微微分分，则则该该函函数数在在点点),(yx的的偏偏导导数数xz 、yz 必必存存在在，且且函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的全全微微分分为为 yyzxxzdz 证证如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxp可可微微分分, ),(yyxxpp的的某某个个

45、邻邻域域)( oybxaz 总成立总成立,当当0 y时时，上上式式仍仍成成立立，此时此时| x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxa axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzb 一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如例如.000),(222222 yxyxyxxyyxf在点在点)0 , 0(处有处有0)0 , 0()0 , 0( yxff)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考虑虑点点),(yxp 沿沿着着直直线线

46、xy 趋趋近近于于)0 , 0(，则则 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,0 当当 时时),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函数在点函数在点)0 , 0(处不可微处不可微.说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，定理定理（充分条件）如果函数（充分条件）如果函数),(yxfz 的偏的偏导数导数xz 、yz 在点在点),(yx连续，则该函数在点连续，则该函数在点),(yx可微分可微分证证),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf )

47、,(),(yxfyyxf 在在第第一一个个方方括括号号内内，应应用用拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理 ),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 xxyxfx 1),( （依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）其中其中1 为为yx ,的函数的函数,且且当当0, 0 yx时时，01 .同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 当当0 y时，时，02 ,z xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( 2121 yx, 00 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微处可微.习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz 通常我们

48、把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况例例 1 1 计计算算函函数数xyez 在在点点)1 , 2(处处的的全全微微分分. 解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz 所求全微分所求全微分.222dyedxedz 例例2 2 求求函函数数)2cos(yxyz ，当当4 x，

49、y，4 dx， dy时时的的全全微微分分. 解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 例例 3 3 计计算算函函数数yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 例例 4 4 试证函数试证函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在在点点)0 , 0(连续且偏导数存在，但偏导数在点连续且偏导数存在，但偏导数在点)0 , 0

50、(不连续，而不连续，而f在点在点)0 , 0(可微可微.思思路路：按按有有关关定定义义讨讨论论；对对于于偏偏导导数数需需分分 ) 0 , 0(),( yx，) 0 , 0(),( yx讨讨论论. 证证令令,cos x,sin y则则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 故函数在点故函数在点)0 , 0(连续连续, )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf当当)0 , 0(),( yx时，时， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxy

51、xyxyxy 当当点点),(yxp沿沿直直线线xy 趋趋于于) 0 , 0(时时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.所以所以),(yxfx在在)0 , 0(不连续不连续.同理可证同理可证),(yxfy在在)0 , 0(不连续不连续.)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在点在点)0 , 0(可微可微 多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导三、小结三、小结、多元函数全微分

52、的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）思考题思考题 函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处可微的充分条件是处可微的充分条件是:（1）),(yxf在点在点),(00yx处连续；处连续；（2）),(yxfx 、),(yxfy 在点在点),(00yx的的 某邻域存在；某邻域存在；（3）yyxfxyxfzyx ),(),(， 当当0)()(22 yx时是无穷小量；时是无穷小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfz

53、yx , 当当0)()(22 yx时是无穷小量时是无穷小量.练练 习习 题题一、一、 填空题填空题: :1 1、 设设xyez , ,则则 xz_； yz_； dz_._.2 2、 若若)ln(222zyxu , ,则则 du_._.3 3、 若函数若函数xyz , ,当当1, 2 yx, ,2 . 0, 1 . 0 yx时时, ,函数的全增量函数的全增量 z_;_;全微分全微分 dz_._.4 4、 若 函 数若 函 数yxxyz , , 则则xz对对的 偏 增 量的 偏 增 量 zx_;_; xzxx0lim _. _.二、二、 求函数求函数)1ln(22yxz 当当, 1 x 2 y时的

54、全微分时的全微分. .三、三、 计算计算33)97. 1()02. 1( 的近似值的近似值. .四、四、 设有一无盖园柱形容器设有一无盖园柱形容器, ,容器的壁与底的厚度均为容器的壁与底的厚度均为cm1 . 0，内高为，内高为cm20, ,内半径为内半径为cm4, ,求容器外壳体求容器外壳体积的近似值积的近似值. .五、五、 测得一块三角形土地的两边边长分别为测得一块三角形土地的两边边长分别为m1 . 063 和和m1 . 078 , ,这两边的夹角为这两边的夹角为0160 . .试求三角形面积试求三角形面积的近似值的近似值, ,并求其绝对误差和相对误差并求其绝对误差和相对误差. .六六、利利

55、用用全全微微分分证证明明: :乘乘积积的的相相对对误误差差等等于于各各因因子子的的相相对对误误差差之之和和; ;商商的的相相对对误误差差等等于于被被除除数数及及除除数数的的相相对对误误差差之之和和. .七、求函数七、求函数 ),(yxf 0,00,1sin)(22222222yxyxyxyx 的偏导数的偏导数, ,并研究在点并研究在点)0 , 0(处偏导数的连续性及处偏导数的连续性及 函数函数),(yxf的可微性的可微性. .练习题答案练习题答案一、一、1 1、)(1,1,2dydxxyexexexyxyxyxy ；2 2、222)(2zyxzdzydyxdx ； 3 3、-0.119,-0.

56、125-0.119,-0.125；4 4、yyxyy1,)1( . .二、二、dydx3231 . . 三、三、2.95. 2.95. 四、四、3cm3 .55. .五、五、%.30. 1 ,m6 .27,m212822七、七、),(),(yxfyxfyx 在在)0 , 0(处均不连续处均不连续, , ),(yxf在点在点(0,0)(0,0)处可微处可微. .复合函数求导法则复合函数求导法则先回忆一下一元复合函数的微分法则先回忆一下一元复合函数的微分法则可导可导而而若若)()(xuufy 则复合函数则复合函数 )(xfy 对对 x 的导数为的导数为dxdududydxdy 这一节我们将把这一求

57、导法则推广到多元函这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数这主要是对于没

58、有具体给出式子的所谓抽象函数如如),(22xyyxfz 它是由它是由),(vufz xyvyxu ,22及复合而成的复合而成的由于由于 f 没有具体给出没有具体给出时时在求在求yzxz , 一元复合函数的微分法则就无能为力了，为一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。微分法。一、链式法则一、链式法则定理如果函数定理如果函数)(tu 及及)(tv 都在点都在点t可可导，函数导，函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏具有连续偏导数，则复合函数导数，则复合函数)(),(ttfz 在对应点在对应点t

59、可可导，且其导数可用下列公式计算：导，且其导数可用下列公式计算： dtdvvzdtduuzdtdz 证证，获得增量获得增量设设tt ),()(tttu 则则);()(tttv 由由于于函函数数),(vufz 在在点点),(vu有有连连续续偏偏导导数数,21vuvvzuuzz 当当0 u，0 v时，时，01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 当当0 t时，时， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv .lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtd

60、z zuvwt以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz 上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：).,(),(yxyxfz 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在点都在点),(yx具有对具有对x和和y的偏导数，且函数的偏导数，且函数),(vufz 在对应在对应点点),(vu具有连续偏导数，则复合函数具有连续偏导数，则复合函数),(),(yxyxfz 在对应点在对应点),(yx的两个偏的两个偏导数存在，且可用下列公式计算导数存在，且可用下列公式计算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .链式法则如