第11分动量定理

1、第11章动量定理 动量与冲量动量定理质心运动定理 用质点运动微分方程解决质点系动力学问题在数学上会遇到很大困难。在许多工程问题中并不需要求出每个质点的运动规律，而是只需知道质点系整体的运动特征就够了。 动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理、动能定理。这些定理建立了表现运动特征的量（动量、动量矩、动能）和表现力作用效果的量（冲量、冲量矩、功）之间的关系。 在应用普遍定理解决实际问题时，不仅运算简单，而且各个量都具有明确的物理意义，便于更深入地研究机械运动的规律。引言主要内容11.1动量与冲量11.2动量定理11.3质心运动定理11.1动量与冲量11.1.1动量1）质点的动量 质点的质量与速度的

2、乘积称为质点的动量，记为mv v。 动量是矢量，方向与速度方向相同。动量的单位为kgm/s。2）质点系的动量 质点系中各质点动量的矢量和称为质点系的动量。iim pv3）质心及用质心速度求质点系动量i ii icimmmmrrr定义质点系质量中心(质心) c 的矢径ddddd()diiiii iccmmmttmmt rpvrrv则质点系的动量等于质点系的质量与质心速度的乘积。11.1.1动量oa3012bcrevavrva30bco1120.2 10.2m/s0.1 40.4m/servocvr 3sin600.40.3464m/s2carvvv于是于是所以所以20 0.34646.93n s

3、cpmvp方向水平向右。方向水平向右。解解:取取c为动点，动系与为动点，动系与oa固连固连11.1.1动量（续1）xyotccab1cbvm2avm2cvm1211 cvm例例2、椭圆规机构的规尺、椭圆规机构的规尺ab的质量为的质量为2m1，曲柄曲柄oc的质量为的质量为m1，滑块，滑块a和和b的的质量均的的质量均为为m2。已知。已知ocaccbl。曲柄和规尺。曲柄和规尺均为均质细直杆。曲柄以角速度均为均质细直杆。曲柄以角速度w转动。求转动。求机构的动量。机构的动量。解解1：由质点系动量公式有：由质点系动量公式有111222ccabmmmmpvvvv建立如图直角坐标系，则动量的投影为建立如图直角

4、坐标系，则动量的投影为tmmltlmtlmtlmvmtvmtvmpaccxsin)45(2sin2sin2sin2sinsin221211211111.1.1动量（续2）tmmltlmtlmtlmvmtvmtvmpbccycos)45(2cos2cos2cos2coscos2212112111所以机构动量的大小和方向为所以机构动量的大小和方向为)45(22122mmlpppyxtppipxsincos),cos(xyotccab1cbvm2avm2cvm1211 cvm11.1.1动量（续3）xyotccab1c1p2pcccocbaabvmmvmvmmppppppp)45(212)(2211

5、2121解2：1122112()ababcoccppppmm vppmvlvclmmp)45(2121方向为方向为c点速度的方向。点速度的方向。因为因为得得11.1.1动量（续4）例例3、两均质杆、两均质杆oa和和ab质量为质量为m，长为，长为l，铰接于，铰接于a。图示位置时，。图示位置时，oa杆的角速度为杆的角速度为w，ab杆相对杆相对oa杆的角速度亦为杆的角速度亦为w。求此瞬时系统的动量。求此瞬时系统的动量。解：由刚体系统的动量公式解：由刚体系统的动量公式2211ccvmvmp其中：其中：21lvclllvc2222mllmlmp2522方向水平向右。方向水平向右。mvc1mvc2oabc

6、1c2wwr=wacacvvv22ab作平面运动作平面运动11.1.1动量（续5）作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。冲量是矢量，方向与力的方向一致。冲量的单位为ns，与动量的量纲相同。常力的冲量tif变力的冲量元冲量ddit f而力 在作用时间 内的冲量是矢量积分ft0dttif11.1.2冲量质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。d()ddmtvfi微分形式11.2动量定理11.2.1质点的动量定理在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。00dtmmtvvfi积分形式dd()ddmmmttvavf例例4 锤的质量锤

7、的质量m3000 kg，从高度，从高度h1.5 m 处自由下处自由下落到受锻压的工件上，工件发生变形历时落到受锻压的工件上，工件发生变形历时 t 0.01 s ；求锤对工件的平均压力。求锤对工件的平均压力。hyg*n解：以锤为研究对象，和工件接触后受力如图。工件解：以锤为研究对象，和工件接触后受力如图。工件反力是变力，在短暂时间迅速变化，用平均反力反力是变力，在短暂时间迅速变化，用平均反力 n*表示。表示。锤自由下落时间锤自由下落时间ght2yyyimvmv12ntg)(00) 121() 1(ghgtgnknn1656) 18 . 95 . 1201. 01(8 . 93000 锤对工件的平

8、均压力与反力锤对工件的平均压力与反力n*大小相等，方向相反，与锤的重量大小相等，方向相反，与锤的重量g29.4 kn比较，是它的比较，是它的56倍，可见这个力是相当大的。倍，可见这个力是相当大的。11.2.1质点的动量定理（续1）例例5 滑块滑块c的质量为的质量为m19.6 kg ，在力，在力p866 n的作用下沿倾角为的作用下沿倾角为30o的的导杆导杆ab运动。已知力运动。已知力p与导杆与导杆ab之间的夹角为之间的夹角为45o，滑块与导杆的动摩擦，滑块与导杆的动摩擦系数系数f0.2 ，初瞬时滑块静止，求滑块的速度增大到，初瞬时滑块静止，求滑块的速度增大到v2 m/s 所需的时间。所需的时间。

9、 abpgmccnf3045xy解：以滑块解：以滑块c为研究对象，建立坐标系。由动量定理得为研究对象，建立坐标系。由动量定理得0(cos45sin30)(1)mvpmgf t 00(sin45cos30 )(2)cpnmgt 由由(2)式得式得30cos45sinmgpnc)30cos45sin(mgpffnfc代入代入(1)式，求得所需时间为式，求得所需时间为cos45sin30( sin45cos30 )0.0941smvtpmgf pmg从而摩擦力为从而摩擦力为11.2.1质点的动量定理（续2） 设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的动量为mivi，作用在该质点上的外力与内力的合力为

10、 与 ，由质点的动量定理有(e)if(i)if(e)(i)d()(1,2, )diiiimintvff将n个方程相加，即得(e)(i)d()dmt vff改变求和与求导次序，则得(e)(i)d()dmt vff11.2.1质点的动量定理（续3）(e)ddddmtt pvf质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（或外力的主矢）。上式也可以写成其中： ；由于内力成对出现，故所有内力的矢量和恒等于零，即 。于是可得m pv(i)0f(e)(e)dddt pfi质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。质点系动量定理的微分形式11.2.1质点的动量定理（续4）11.2.2

11、质点系的动量定理质点系动量定理的微分投影形式(e)(e)(e)ddddddyxzxyzpppfffttt 0(e)0ddptpt pf或(e)0 ppi质点系动量定理的积分形式在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。质点系动量定理的积分投影形式( )( )( )000,eeexxxyyyzzzppippippi pp0 恒矢量若，则(e)0 xf如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，质点系的动量保持不变。如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。pxp0 x 恒量11.2.3质点系动量守恒定律例6

12、如图所示，已知小车重为2 kn，沙箱重1 kn，二者以速度v03.5 m/s 运动。此时有一重为0.5 kn的铅球垂直落入沙中后，测得箱在车上滑动0.2 s，不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩擦力。1n2n0vx解：研究系统，建立坐标系。(e)0 xxfpcvgwwwvgww321021代入已知数据，解得v3 m/s设沙箱滑动结束后车速为v，则有1n2n1wnfvx再以小车为研究对象，由动量定理有0 xxppft ftvgwvgw011代入已知数据，解得 f0.5 kn1w3w2w11.2.3质点系动量守恒定律（续1）bvrv例例7 如图所示，质量为如图所示，质量为 ma 的均质三棱柱的均质三

13、棱柱a在重力作用下沿着质量为在重力作用下沿着质量为mb的大的大均质三棱柱均质三棱柱b的斜面下滑，大三棱柱倾角为的斜面下滑，大三棱柱倾角为q。设各处摩擦不计，初始时系。设各处摩擦不计，初始时系统静止。求：统静止。求：(1) b的加速度；的加速度；(2) 地面的支反力。地面的支反力。解：先对系统进行运动分析，建立如图坐标，设b的速度为vb，a相对b的速度为vr，则rbavvv于是于是cossinaxrbayrvvvvv abxybyagmagmbrx系统受力如图。因sfx(e)0，且初始系统静止，有 0)cos()(brabbvvmvmcos()(1)arabbm amma两边对t求导再以a为研究

14、对象，受力如图，由(e)(e)ddddyxxyppfftt nagmaxy11.2.3质点系动量守恒定律（续2）nagmaxyd(cos)sindd(sin)cosdarbaramvvntmvnm gt有有(cos)sin(2)(sin )cos(3)arbaramaanmanm g即即 联立求解联立求解(1)、(2)、(3)式得式得gmmmabaab)sin(22sin2byagmagmbrx最后以整体为研究对象，得最后以整体为研究对象，得d(sin )da rabm vrm gm gt()sin()()abarabbrmmgm ammga tg将（将（1）式代入上式则得）式代入上式则得gm

15、gmrambarasin即即11.2.3质点系动量守恒定律（续3）例例8 图示系统，重物图示系统，重物a和和b的质量分别为的质量分别为m1、m2。若。若a下降的加速度下降的加速度为为a，滑轮质量不计。求支座，滑轮质量不计。求支座o的反力。的反力。aboaavbvaboxyoxfoyfgm1gm2解：以整个系统为研究对象，受力如图，建立如图坐标。设解：以整个系统为研究对象，受力如图，建立如图坐标。设a下降下降的速度为的速度为va，b上升的速度为上升的速度为vb，则由运动学关系得，则由运动学关系得abvv21系统的动量在坐标轴上的投影为系统的动量在坐标轴上的投影为121210,()2xyabapp

16、m vm vmm v由质点系的动量定理由质点系的动量定理1212d10,()d2oxaoyfmm vm gm gft注意到注意到adtdva可得可得121201()2o xo yffm gmgmma11.2.3质点系动量守恒定律（续4）11.3质心运动定理11.3.1质量中心i ii icimmmmrrriiiiciiiiiciiiiicim xm xxmmm ym yymmm zm zzmm11.3.2质心运动定理(e)d()dcmt vf对于质量不变的质点系，上式可改写为或(e)cmaf质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和(外力的主矢)。(e)ddcmt vf形式上，

17、形式上，质心运动定理与质点动力学基本方程完全相似，因此质心质心运动定理与质点动力学基本方程完全相似，因此质心运动定理也可叙述如下：运动定理也可叙述如下：质点系质心的运动，可以看成一个质点的运动，质点系质心的运动，可以看成一个质点的运动，设想此质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。设想此质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。由质心运动定理由质心运动定理可知，质点系的内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。可知，质点系的内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。 质心运动定理直角坐标投影式(e)(e)(e)cxxcyyczzmafmafmaf 自然轴上的投影式2(e)(e

18、)(e)tnbd,0dccvvmfmfft 11.3.2质心运动定理（续） 如果作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心作匀速直线运动；若系统开始静止，则质心位置始终保持不变。 如果作用于质点系的所有外力在某轴上的投影的代数和恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变；若开始时速度投影等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。以上结论，称为质心运动守恒定理。11.3.3质心运动守恒定理xy例例9 如图所示，电动机外壳固定在水平基础上，定子、转子的质量分别为如图所示，电动机外壳固定在水平基础上，定子、转子的质量分别为m1、m2。设定子质心位于转轴中心。设定子质心位于转轴中心o1，由于制造误差，转子质心，

19、由于制造误差，转子质心o2 到到o1的距离为的距离为e，已知转子以匀角速度，已知转子以匀角速度w 转动。求：转动。求： (1) 质心运动方程；质心运动方程；(2) 基基础对电机总的水平和铅垂反力；础对电机总的水平和铅垂反力；(3) 若电机没有螺栓固定，各处摩擦不计，若电机没有螺栓固定，各处摩擦不计，初始时电机静止，求转子以匀角速度初始时电机静止，求转子以匀角速度w转动时电动机外壳的运动。转动时电动机外壳的运动。解：解：(1) 建立如图坐标，任一瞬时，建立如图坐标，任一瞬时，qw t，即有，即有11220,0cos,sinxyxetyet故质心运动方程为故质心运动方程为212212cossinc

20、cm etxmmm etymm1o2oe11.3.3质心运动守恒定理（续1） (2) 以系统为研究对象以系统为研究对象(e)(e),cxxcyymafmaf 121212()()cxcymmxfmmyfm gm g22122212cossinccm extmmm eytmm 222212cossin()xyfmetfmetmmg xygm2gm11o2oeyfxfom由质心运动定理由质心运动定理因因故故得得11.3.3质心运动守恒定理（续2）（3）以系统为研究对象，受力如图。）以系统为研究对象，受力如图。21ccxx在图示坐标下，设初始时在图示坐标下，设初始时xc1a，当转子转，当转子转过过q

21、，定子向右移动距离，定子向右移动距离s，则，则21212)cos()(mmseamsamxc所以所以2121)cos()(mmseamsama解得解得tmmemmmemscoscos212212由此可见，电动机在水平面上作往复运动。此时由此可见，电动机在水平面上作往复运动。此时xygm2gm1asnf1o2oe由于由于s sfx(e)0 ，所以，所以2min122()nfmmgme若若 ，则，则 。因此如电动机无螺栓固定，它将会跳起来。因此如电动机无螺栓固定，它将会跳起来。emgmm221)(0minn11.3.3质心运动守恒定理（续3） 例例10 质量为质量为 m 长为长为 2l 的均质杆的均质杆oa绕水平固定轴绕水平固定轴o在铅在铅垂面内转动，如图。已知在图示位置杆的角速度为垂面内转动，如图。已知在图示位置杆的角速度为w ，角加速度为角加速度为a 。试求此时杆在。试求此时杆在o轴的约束反力。轴的约束反力。xymgtcanca解解1：用质心运动定理。：用质心运动定理。以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。以杆