第12章时序列模型

1、信信息息系系刘刘康康泽泽第第1212章章 时间序列模型时间序列模型 信信息息系系刘刘康康泽泽主要内容主要内容 第一节第一节 基本概念基本概念 第二节第二节 自回归过程自回归过程 第三节第三节 移动平均过程移动平均过程 第四节第四节 自回归移动平均过程自回归移动平均过程信信息息系系刘刘康康泽泽 例如线性回归模型中的随机误差项例如线性回归模型中的随机误差项u1，u2，un可以看着是可以看着是随机过程随机过程， u-1，u0， u1， ，ut ， 的一个的一个样本样本。 如果随机过程如果随机过程ut的分布不随时间的改变而变化，并且的分布不随时间的改变而变化，并且 随机过程随机过程：依赖于参数时间依赖

2、于参数时间t的随机变量集合的随机变量集合yt 称为随机过程。称为随机过程。22()0()()cov(,)0,tttute ud ue uu ut 称这一随机过程称这一随机过程ut为为白噪音（白噪音（white noise）。）。第一节第一节 基本概念基本概念信信息息系系刘刘康康泽泽 平稳随机过程：平稳随机过程：如果随机过程如果随机过程yt满足满足 只依赖于只依赖于yt和和yt+k之间的时期数之间的时期数k，而与，而与t无关。无关。2()()cov(,)ttytt ke yd yyy 信信息息系系刘刘康康泽泽平稳平稳非平稳非平稳平稳随机过程举例平稳随机过程举例信信息息系系刘刘康康泽泽 自相关函数

3、自相关函数：对于随机过程对于随机过程 yt ， yt和和yt+k之间的自相关函数为之间的自相关函数为cov(,)() ()tt kktt kyyd y d y 如果如果yt为平稳随机过程为平稳随机过程0cov(,)() ()tt kkktt kyyd y d y 信信息息系系刘刘康康泽泽 但是在实际计算时，只能计算但是在实际计算时，只能计算样本自相关函数样本自相关函数 样本自相关函数举例样本自相关函数举例121()()()n ktt ktknttyyyyyy 信信息息系系刘刘康康泽泽第二节第二节 自回归过程（自回归过程（ar） 前面我们讨论过自回归模型前面我们讨论过自回归模型1tttyyu 如

4、果时间序列如果时间序列yt有有1122tttptptyyyyu 其中为其中为ut白噪音，称上式为白噪音，称上式为p阶自回归过程阶自回归过程ar(p)。白噪音白噪音信信息息系系刘刘康康泽泽一一 自回归过程的平稳条件自回归过程的平稳条件 1 一阶自回归过程一阶自回归过程12121221322312323123()()tttttttttttttttttttttyyuyuuuuyuuyuuuuyuuuu 信信息息系系刘刘康康泽泽 只有当只有当 时，时，()0,()0tte ue y2246()(1)tud y 1 224622()(1)1tuud y 信信息息系系刘刘康康泽泽22242224622co

5、v(,)()(1)1tt ktt kkkkuuukukuyye y y 23123t kt kt kt kt kyuuuu 这表明这表明 只与只与k有关。因此从上述分析得知有关。因此从上述分析得知当当 时，一阶自回归过程为平稳过程。时，一阶自回归过程为平稳过程。cov(,)tt kyy 1 23123tttttyuuuu信信息息系系刘刘康康泽泽 对于对于p阶自回归过程，也有类似的结论。阶自回归过程，也有类似的结论。 2 p阶自回归过程阶自回归过程1122tttptptyyyyu信信息息系系刘刘康康泽泽 一阶自回归过程一阶自回归过程ar(1)的自相关函数为的自相关函数为二二 自回归过程的自相关函

6、数自回归过程的自相关函数 220cov(,)() ()kyktt kkkytt kyyd y d y 对于对于p阶自回归过程阶自回归过程ar(p) ，由于，由于1122tttptptyyyyu11221122cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)1ktt ktt ktt kptpt kkkpkpyyyyyyyy 信信息息系系刘刘康康泽泽 当当k=0时，时，20112221122()()()tttttptptppud ye ye yyyyu 用用 除除1的左右两边得的左右两边得20y 1122001122kkpkpkkkkpkp 信信息息系系刘刘康康泽泽 当自回归阶数当自回归阶数p已知

7、，可直接用已知，可直接用ols法估计参数法估计参数三三 自回归过程的估计自回归过程的估计 1 自回归阶数自回归阶数p已知已知信信息息系系刘刘康康泽泽 如果自回归阶数如果自回归阶数p未知，最关键的就是确定未知，最关键的就是确定p，可根据自相关图，可根据自相关图和偏相关图来确定。和偏相关图来确定。 将将p求出后，就可以直接利用求出后，就可以直接利用ols法估计参数。下面介绍偏相关法估计参数。下面介绍偏相关系数检验法。系数检验法。 当样本的容量当样本的容量n很大时，样本偏相关系数近似地服从均值为零，很大时，样本偏相关系数近似地服从均值为零，方差为方差为1/n的正态分布。因此偏相关系数检验法的步骤为：

8、的正态分布。因此偏相关系数检验法的步骤为： 2 自回归阶数自回归阶数p未知未知信信息息系系刘刘康康泽泽 检验方法：检验方法： 步骤步骤1：计算出置信区间：计算出置信区间 ； 步骤步骤2：计算出各阶样本偏相关系数：计算出各阶样本偏相关系数 （可以由偏相关函数图得（可以由偏相关函数图得到）；到）； 步骤步骤3：考察：考察 是否落在此区间内。如果是否落在此区间内。如果 落在区间外，则说明落在区间外，则说明 是显著的（即是显著的（即 ）；否则）；否则 是不显著的（即是不显著的（即 ）。）。k 0k 0k 22(,)nn k k k k 【注】【注】上述置信区间是在置信度为上述置信区间是在置信度为95%

9、下取得的。下取得的。信信息息系系刘刘康康泽泽第三节第三节 移动平均过程（移动平均过程（ma） 一一 移动平均过程移动平均过程 如果如果y的模型描述为的模型描述为11tttyuu 白噪音白噪音 yt为两个白噪音的加权和，称上述过程为为两个白噪音的加权和，称上述过程为一阶移动平均过程一阶移动平均过程ma(1)。 更一般地更一般地11tttqt qyuuu称为称为q阶移动平均过程阶移动平均过程ma(q)。信信息息系系刘刘康康泽泽 二二 移动平均阶数的确定移动平均阶数的确定 1 自相关函数自相关函数 对于一阶移动平均过程对于一阶移动平均过程ma(1)11tttyuu 由于由于ut为白噪音为白噪音111

10、1()()()()0ttttte ye uue ue u2112221111221()()()2()()(1)tttttttud ye uue ue u ue u 信信息息系系刘刘康康泽泽因此自相关函数因此自相关函数11112111111122121cov(,)()()()()()()(1)0101tt kttt kt ktt ktt ktt ktt kuuyye uuuue u ue u ue uue uukkk 12101cov(,)1() ()02,3,tt kkktt kkyyd y d yk 信信息息系系刘刘康康泽泽 对于对于q阶移动平均过程阶移动平均过程ma(q)11tttqt q

11、yuuu211cov(,)()ktt kkkqk quyy 22201()(1)tuqd y112220101,2,01,2,kkqk qkqkkqkqq 信信息息系系刘刘康康泽泽我们利用自相关函数图来确定我们利用自相关函数图来确定q，样本自相关系数为样本自相关系数为 当样本的容量当样本的容量n很大时，可以证明很大时，可以证明 近似服从均值为近似服从均值为0，方差，方差为为1/n的正态分布。的正态分布。 2 移动平均阶数移动平均阶数q的确定的确定121()()()n ktt ktknttyyyyyy k 信信息息系系刘刘康康泽泽 检验方法：检验方法： 步骤步骤1：计算出置信区间：计算出置信区间

12、 ； 步骤步骤2：计算出各阶样本自相关系数：计算出各阶样本自相关系数 （可以由自相关函数图得（可以由自相关函数图得到）；到）； 步骤步骤3：考察：考察 是否落在此区间内。如果是否落在此区间内。如果 落在区间外，则说明落在区间外，则说明 是显著的（即是显著的（即 ）；否则）；否则 是不显著的（即是不显著的（即 ）。）。k k k k 0k k 0k 22(,)nn 【注】【注】上述置信区间是在置信度为上述置信区间是在置信度为95%下取得的。下取得的。信信息息系系刘刘康康泽泽 二二 移动平均模型的估计移动平均模型的估计 对于对于q阶移动平均过程阶移动平均过程ma(q)11tttqt qyuuu 直

13、接利用直接利用自回归函数自回归函数112220101,2,01,2,kkqk qkqkkqkqq 将上式中将上式中 的用其估计值的用其估计值 代替，通过解方程求出参数代替，通过解方程求出参数 的的估计值。估计值。k k 信信息息系系刘刘康康泽泽第四节第四节 自回归移动平均过程（自回归移动平均过程（arma） 如果平稳随机过程既具有自回归过程的特性又有移动平均过程如果平稳随机过程既具有自回归过程的特性又有移动平均过程的特性，此就需要将二者结合，得到的特性，此就需要将二者结合，得到自回归移动平均过程自回归移动平均过程arma(p，q)。以。以arma(1，1)为例，其具体的形式为：为例，其具体的形

14、式为：1111ttttyyuu22011112222210111()()2ttttuuue yeyuu 22111021121u 信信息息系系刘刘康康泽泽1111112101222211111111212111121cov(,)()()21()(1)1ttttttttuuuyye y ye yyuu 222112111111cov(,)()(),ttttttttkkyye y ye yyuu 信信息息系系刘刘康康泽泽11111211111()(1)12,2,3,kkk 自回归移动平均回归过程自回归移动平均回归过程arma(p，q)估计比较复杂，需要用估计比较复杂，需要用到非线性估计法。但是使用

15、到非线性估计法。但是使用eviews软件包就比较简单了，下面将具软件包就比较简单了，下面将具体的过程演示一下。体的过程演示一下。信信息息系系刘刘康康泽泽 自回归求积移动平均过程（自回归求积移动平均过程（arima） 上述讨论的上述讨论的ar，ma和和arma均为平稳随机过程，但是许多时均为平稳随机过程，但是许多时间序列是非平稳的，即它们是经过间序列是非平稳的，即它们是经过求积的求积的，如果一个时间序列是非，如果一个时间序列是非平稳的，而它的一阶差分是平稳的，称此时间序列是平稳的，而它的一阶差分是平稳的，称此时间序列是i(1)。如果它。如果它的的d次差分是平稳的，称此时间序列是次差分是平稳的，称

16、此时间序列是i(d)。 因此对于时间序列因此对于时间序列d次差分后平稳，然后用次差分后平稳，然后用arma(p，q)作为它作为它的模型，称此时间序列是的模型，称此时间序列是自回归求积移动平均自回归求积移动平均，记为，记为arima(p，d， q)。 具体的做法是先将时间序列差分生成新的数据，再利用具体的做法是先将时间序列差分生成新的数据，再利用arma模型。模型。信信息息系系刘刘康康泽泽第五节第五节 协整理论和误差修正模型协整理论和误差修正模型 在进行时间序列分析时，传统上要求时间序列是平稳的。否则在进行时间序列分析时，传统上要求时间序列是平稳的。否则的话就会产生的话就会产生“伪回归伪回归”问

17、题。但是现实生活中绝大多数时间序列问题。但是现实生活中绝大多数时间序列是非平稳的，我们通常的方法是对时间序列差分，然后对差分序列是非平稳的，我们通常的方法是对时间序列差分，然后对差分序列进行回归。但是这样做会忽略了原时间序列中所包含的信息。进行回归。但是这样做会忽略了原时间序列中所包含的信息。 但是恩格尔和格兰杰在很多问题的研究中发现有些变量虽然不但是恩格尔和格兰杰在很多问题的研究中发现有些变量虽然不是稳定的时间序列，但是它们之间却存在长期的稳定关系，也就是是稳定的时间序列，但是它们之间却存在长期的稳定关系，也就是说它们之间存在协整关系。说它们之间存在协整关系。信信息息系系刘刘康康泽泽 一一

18、协整协整 1 单整或求积（单整或求积（integration） 如果时间序列如果时间序列xt是非平稳过程，而它的是非平稳过程，而它的d阶差分是平稳过程，则阶差分是平稳过程，则称称xt是是d阶单整阶单整，记为，记为i(d)。 2 协整（协整（cointegration） 如果时间序列如果时间序列xt和和yt是非平稳过程，但是它们的某个线性组合是非平稳过程，但是它们的某个线性组合xt-ayt是平稳过程，则称是平稳过程，则称xt和和yt是协整（协积）的是协整（协积）的。 如果如果xt和和yt都是都是i(d)的话，则就有可能是协整的。一般消费和价的话，则就有可能是协整的。一般消费和价格、两个相近替代的

19、价格等都有可能是协整序列。格、两个相近替代的价格等都有可能是协整序列。信信息息系系刘刘康康泽泽 2 协整检验协整检验 恩格尔和格兰杰（恩格尔和格兰杰（1987）考虑了协整的各种检验法，我们在这）考虑了协整的各种检验法，我们在这里讨论其中的两种。里讨论其中的两种。 假设假设xt和和yt都是一阶求积的都是一阶求积的i(1)。 方法一：协整回归方法一：协整回归dw 检验检验 首先估计如下协整回归方程首先估计如下协整回归方程tttyxu 其中的其中的dw 统计值统计值212()ttteede 残差残差信信息息系系刘刘康康泽泽 如果如果xt和和yt都是一阶求积的都是一阶求积的i(1)，则预期，则预期u也

20、是也是i(1) ，那么上述回，那么上述回归的归的dw 统计量就应该接近于零，两个序列将不具有协整关系。所统计量就应该接近于零，两个序列将不具有协整关系。所以我们建立如下检验：以我们建立如下检验： 原假设原假设h0：d=0 若计算得到的若计算得到的dw 统计值小于临界值，则认为统计值小于临界值，则认为xt和和yt 不具有协不具有协整关系。整关系。显著性水平显著性水平%dw 统计量值统计量值扩充扩充df-t 统计值统计值10.5113.7750.3863.17100.3222.84信信息息系系刘刘康康泽泽 方法一：扩充方法一：扩充df-t 检验检验 首先协整回归首先协整回归tttyxu 得到残差为

21、得到残差为ttteyx 然后作如下回归然后作如下回归11122ttttptptuuuuu 对对 的的t 统计值进行检验，如果它小于临界值，则认为统计值进行检验，如果它小于临界值，则认为xt和和yt 不不具有协整关系。具有协整关系。 信信息息系系刘刘康康泽泽 二二 误差修正模型（误差修正模型（ecm） 仍然假设仍然假设xt和和yt都是一阶求积的都是一阶求积的i(1)。对于自回归模型对于自回归模型012131tttttyxyxu01213111(1)ttttttyxyxxu31012112(1)()11tttttyxyxu 模型模型1称为称为误差修正模型误差修正模型。信信息息系系刘刘康康泽泽012

22、11()tttttyxyxu 将上述模型的参数修改一下，得将上述模型的参数修改一下，得 如果如果xt和和yt是协整的是协整的, 为了估计其中的参数，恩格尔和格兰杰提出了两步估计法：为了估计其中的参数，恩格尔和格兰杰提出了两步估计法： 首先估计协整回归首先估计协整回归 ，得到残差，得到残差 第第2步做回归：步做回归：tttyxu ttteyx 0121ttttyxeu 使用使用ols法就可以得到要估计的参数。法就可以得到要估计的参数。信信息息系系刘刘康康泽泽第六节第六节 自回归条件异方差模型自回归条件异方差模型 一一 自回归条件异方差（自回归条件异方差（arch）模型）模型 对于面板数据而言，既有时间序列序列，又有横截面数据，因对于面板