2.1数列的通项公式与递推公式PowerPoint 演示文稿

1、第2课时 数列的通项公式与递推公式按照一定顺序排列的一列数称为按照一定顺序排列的一列数称为数列数列. .( (数列具有数列具有有序性、可重复性、确定性有序性、可重复性、确定性) )1.1.数列的定义：数列的定义：2.2.数列与函数的关系数列与函数的关系: :数列可以看成以正整数集数列可以看成以正整数集 （或它的有限子集（或它的有限子集1,21,2，nn）为定义域的函数）为定义域的函数 当自当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值列函数值. .反过来，对于函数反过来，对于函数y=fy=f（x x）, ,如果如果f f（i i）（i=1,2,

2、3i=1,2,3，）有意义，那么我们可以得到一个）有意义，那么我们可以得到一个数列数列f f（1 1），），f f（2 2），），f f（3 3），），f f（n n），）， * *N Nn na =fa =f（n n）1.1.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式前几项的特征写出它的一个通项公式; ;( (重点）重点）2.2.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；式的异同；3.3.掌握

3、由一些简单的递推公式求数列的通项公式掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式. . （难点）（难点）我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项. .探究点探究点1 1 数列的通项公式数列的通项公式注：数列与函数的关系注：数列与函数的关系y=fy=f（x x）a an nn n （正整数集（正整数集N N或它的有或它的有限子集限子集1,2,3, ,n)1,2,3, ,n)项项通项公式通项公式函数值函数值自变量自变量如果数列如果数列 的第的第n n项与序号项与序号n n之间的关系可以用一个之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式式子来

4、表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. .n na a 3nan12nna【即时练习即时练习】 写出下面数列的一个通项公式写出下面数列的一个通项公式: :例例： 写出下面数列的一个通项公式，使它的写出下面数列的一个通项公式，使它的前前4 4项分别是下列各数：项分别是下列各数：11111234211 11（） ， ， ， ；（ ） ， ，；变式：变式： 写出下面数列的一个通项公式，使它写出下面数列的一个通项公式，使它的前的前4 4项分别是下列各数：项分别是下列各数：；，）（；，）（0202241312111 【解析解析】（1 1）这个数列的前）这个数列的前4 4项的绝对值都是项的绝对值都是序

5、号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的一个通项公式为所以，它的一个通项公式为 n+1n+1n n（-1-1）a =a =n n（2 2）这个数列的前）这个数列的前4 4项构成一个摆动数列，奇项构成一个摆动数列，奇数项是数项是2 2，偶数项是，偶数项是0 0，所以，它的一个通项公，所以，它的一个通项公式为式为【互动探究互动探究】1.1.根据数列的前若干项写出的通根据数列的前若干项写出的通项公式的形式唯一吗？请举例说明项公式的形式唯一吗？请举例说明. .提示：不一定唯一提示：不一定唯一. . .n n+ +1 1n na a = =（- -1 1）

6、1 20212sin1cos.2，n n为为奇奇数数n n，n n为为偶偶数数nnnn如如：例例（2 2）中中通通项项公公式式还还可可以以写写成成a =a =，n n或或a =a =或或a =na =n 2.2.根据数列的前若干项一定能写出通项公式吗？根据数列的前若干项一定能写出通项公式吗？请举例说明请举例说明. .提示：不一定能写出提示：不一定能写出. .如如：2 2精精确确到到1 1, ,0 0. .1 1, ,0 0. .0 01 1, ,0 0. .0 00 01 1， 的的不不足足近近似似值值构构成成的的数数列列1 1, ,1 1. .4 4, ,1 1. .4 41 1, ,1 1

7、. .4 41 14 4， . . . . 就就无无法法写写出出通通项项公公式式. .注意：注意：一些数列的通项公式不是唯一的一些数列的通项公式不是唯一的不是每一个数列都能写出它的通项公式不是每一个数列都能写出它的通项公式例例2 2 图中的三角形图案称为谢宾斯基图中的三角形图案称为谢宾斯基(Sierpinski)(Sierpinski)三角形三角形. .在下图四个三角形图案中，在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4 4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象坐标系

8、中画出它的图象. .【解析解析】如图，这四个三角形图案中着色的小三如图，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为角形的个数依次为1,3,9,27.1,3,9,27.则所求数列的前则所求数列的前4 4项项都是都是3 3的指数幂，指数为序号减的指数幂，指数为序号减1.1.所以所以, ,这个数列这个数列的一个通项公式是的一个通项公式是 在直角坐标系中的图象如图所示在直角坐标系中的图象如图所示. . .n n- -1 1n na a = =3 3O3 36 69 912121515181821212424272730301 12 23 34 4n n- -1 1n na a = =3 3 根据数列

9、的前几项的值，写出数列一个通项公式：根据数列的前几项的值，写出数列一个通项公式：（1 1）3,5,7,9,113,5,7,9,11，.（3 3）0,1,0,1,0,10,1,0,1,0,1，.（5 5）7,77,777,77777,77,777,7777，.2 24 46 68 81 10 0（2 2） ， ， ， ， ， . .3 3 1 15 5 3 35 5 6 63 3 9 99 91 11 11 11 11 1（4 4） - -， - -， - -， . .2 2 1 1 2 22 22 23 3 2 24 42 25 5 【变式练习变式练习】【解解析析】n n（1 1）a a =

10、=2 2n n+ +1 1. .n n2 22 2n n（2 2）a a = =. .（2 2n n）- -1 1n nn n1 1+ + （- -1 1）（3 3）a a = =. .2 2n nn n1 1（4 4）a a = = （- -1 1）. .2 2n nn nn n7 7（5 5）a a = = （1 10 0 - -1 1）. .9 9探究点探究点2 2 数列的递推公式数列的递推公式1.1.观察以下数列，并写出其通项公式：观察以下数列，并写出其通项公式：思考：思考：除用通项公式外，还有什么办法可以确除用通项公式外，还有什么办法可以确定这些数列的每一项？定这些数列的每一项？（1

11、 1）1,3,5,7,9,111,3,5,7,9,11，（2 2）0 0，-2-2，-4-4，-6-6，-8-8，（3 3）3,9,27,813,9,27,81，n nn na a = = 3 3n na a = = 2 2n n- -1 1n na = -a = -（2 n-12 n-1）【解解析析】12112132nn-132nn-1（1）1）a =1，a =1，a =3 =1+2= a +2，a =3 =1+2= a +2， a =5= a +2， a =5= a +2，.，.，a = a+2.a = a+2.1 1n nn n- -1 1 （2 2）a a = =0 0，. . . .

12、，a a = = a a- -2 2. .1 1n nn n- -1 1（3 3）a a = =3 3，. . . .，a a = =3 3a a2.2.观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型. .模型一：模型一：自上而下自上而下1 1 4=1+34=1+3，第第1 1层钢管数为层钢管数为4 4，即，即第第2 2层钢管数为层钢管数为5 5，即，即第第3 3层钢管数为层钢管数为6 6，即，即第第4 4层钢管数为层钢管数为7 7，即，即第第5 5层钢管数为层钢管数为8 8，即，即2 25 5= =2 2+ +3 3，3 36 6= =3 3+ +3 3

13、，4 4 7=4+37=4+3，5 58 8= =5 5+ +3 3，n nn n若若用用a a 表表示示钢钢管管数数，n n表表示示层层数数，则则可可得得出出每每一一层层的的钢钢管管数数为为一一数数列列，且且a a = = n n+ +3 3. .模型二：模型二：上下层之间的关系上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1 1， 对于上述所求关系，若知其第对于上述所求关系，若知其第n-1n-1项，即可项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要求出其他项，看来，这一关系也较为重要. .1211213232nn-1nn-1即即a = 4a

14、 = 4，a = 5 = 4+1= a +1a = 5 = 4+1= a +1， a = 6 = 5+1= a +1 a = 6 = 5+1= a +1，以以此此类类推推：a = a+1a = a+1（2 2n n7 7）n n1 1n nn n- -1 12 21 13 32 23 3. .如如果果一一个个数数列列 a a 的的首首项项a a = =1 1，从从第第2 2项项起起每每一一项项等等于于它它的的前前一一项项的的2 2倍倍再再加加上上1 1，即即a a = = 2 2a a+ +（1 1 n n 1 1），那那么么a a = =2 2a a + +1 1= =3 3，. . . .

15、a a = =2 2a a + +1 1= =7 7, ,n nn n- -1 1像像这这样样给给出出数数列列的的方方法法叫叫做做，其其中中a a = = 2 2a a+ +（1 1 n n 1 1）称称为为. .递递推推公公式式也也是是数数列列的的一一递递推推法法递递推推公公式式种种表表示示方方法法.在数列在数列aan n 中，已知中，已知a a1 1=2=2，a a2 2=3=3，a an+2n+2=3a=3an+1n+1-2a-2an n（n1n1）写出此数列的前六项）写出此数列的前六项. .【解题关键解题关键】通过观察，此题的递推公式是数列通过观察，此题的递推公式是数列中相邻三项的关系

16、式，知道前两项就可以求出后中相邻三项的关系式，知道前两项就可以求出后一项一项. .【解析解析】a1=2，a2=3，a3=3a2-2a1=33-22=5，a4=3a3-2a2=35-23=9，a5=3a4-2a3=39-25=17,a6=3a5-2a4=317-29=33.【即时练习即时练习】【互动探究互动探究】已知数列已知数列aan n 的第一项是的第一项是1 1，以后各项，以后各项由公式由公式a an-1n-1=2a=2an n-2-2给出，写出这个数列的前五项给出，写出这个数列的前五项. .【解题关键解题关键】可先将公式变形为可先将公式变形为a an n=1+ a=1+ an-1n-1.

17、.根据递根据递推公式写出数列的前几项，可由推公式写出数列的前几项，可由a a1 1=1=1及及a a2 2=1+ a=1+ a1 1，求，求出出a a2 2这一步是解题的关键这一步是解题的关键. .【解析解析】aan-1n-1=2a=2an n-2,-2,aan n=1+ a=1+ an-1n-1. .又又a a1 1=1,a=1,a2 2= a= a3 3= a= a4 4= a= a5 5= =1212123,27 ,415,831.16例例3 3 设数列设数列aan n 满足满足写出这个数列的前写出这个数列的前5 5项项. .【解析解析】由题意可知由题意可知1 12 21 13 34 4

18、2 23 35 54 41 11 1a a = = 1 1， a a = = 1 1+ += = 1 1+ += = 2 2， a a1 11 11 13 31 12 25 5a a = = 1 1+ += = 1 1+ += =， a a = = 1 1+ += = 1 1+ += =，a a2 22 2a a3 33 31 13 38 8 a a = = 1 1+ += = 1 1+ += =a a5 55 5.1 1n n+ +1 1n nn n 已已知知a a = = 2 2，a a= = 2 2a a ，写写出出前前5 5项项，并并猜猜想想a a观观【解解析析】2 22 23 31

19、12 23 33 34 44 45 54 45 5n nn n方方法法一一：a a = =2 2，a a = =2 2 2 2= =2 2 = =4 4，a a = =2 2 2 2 = =2 2 = =8 8， a a = =2 2 2 2 = =2 2 = =1 16 6，a a = =2 2 2 2 = =2 2 = =3 32 2， 察察猜猜想想a a = =2 2 . . 【变式练习变式练习】123451-1-1-1-1-22-1-2-31-11122 242 482 8162 16322222 .2222222 . 方方法法二二：， ， ，即即，观观察察猜猜想想 所所以以（）， 所

20、所以以（）， 又又也也符符合合上上式式，所所以以 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaanaaaaaanaa 1.1.数列数列aan n 中，中，a a1 1=-1=-1，a an+1n+1=a=an n-3-3，则，则a a3 3等于（等于（ ）（A A）-7 -7 （B B）-4 -4 （C C）-1 -1 （D D）2 2【解析解析】选选A.aA.a2 2=a=a1 1-3=-1-3=-4,a-3=-1-3=-4,a3 3=a=a2 2-3=-4-3=-7.-3=-4-3=-7.A A2.2.数列数列0 0，2 2，4 4，6 6，的递推公式可以是（的递

21、推公式可以是（ ）（A A）a an+1n+1=a=an n+2 +2 （B B）a an+1n+1=2a=2an n（C C）a an+1n+1=a=an n,a,a1 1=0 =0 （D D）a an+1n+1=a=an n+2,a+2,a1 1=0=0【解析解析】选选D.D.选项选项A A、B B中没有明确中没有明确a a1 1的大小，故选的大小，故选项项A A、B B不是；选项不是；选项C C中，中，a a2 2=0, a=0, a3 3=0,a=0,a4 4=0,=0,则选项则选项C C不是；选项不是；选项D D中，中，a a2 2=2,a=2,a3 3=4,a=4,a4 4=6,=

22、6,则选项则选项D D是正确是正确D D3.3.下列数列满足下列数列满足a an+1n+1= = 的是（的是（ ）(A)1,1,1,1, (B)2,2,2,2,(A)1,1,1,1, (B)2,2,2,2,(C)3,1,3,1, (D)-1,1,-1,1,(C)3,1,3,1, (D)-1,1,-1,1,【解析解析】选选A.A.因为选项因为选项A A中中, a, a1 1=1=1，a an+1n+1= = 则能则能依次求出依次求出a a2 2=a=a3 3=a=a4 4=1.=1.n1an1a，A A125.5.根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五

23、项，并归纳出通项公式五项，并归纳出通项公式. .* *1 1n n+ +1 1n n* *n n1 1n n+ +1 1n n* *1 1n n+ +1 1n n（1 1）a a = = 0 0，a a= = a a + + （2 2n n- -1 1）（n nN N ）. .2 2a a（2 2）a a = =1 1，a a= =（ n nN N ）. .a a + +2 2（3 3）a a = =3 3，a a= =3 3a a - -2 2（n nN N ）. .【解解析析】1 12 23 34 45 52 2n n（1 1）a a = =0 0，a a = =1 1，a a = =4 4，a a = =9 9，a a = =1 16 6，所所以以a a = = （n n- -1 1）.1 12 23 34 45 5n n2 21 12 22 21 12 2（2 2）a a =