全国初中数学联赛试卷试题包括答案.doc

1、2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准明：卷，依据本分准.第一，和填空只7分和0分两档;第二各,格按照本分准定的分档次分，不要再增加其他中档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步正确，在卷参照本分准划分的档次，予相的分数.第一试一、（本分42分，每小7分）本共有6小，每均出了代号 A, B, C , D的四个答案，其中有且有一个是正确的.将你所的答案的代号填在后的括号内.每小得7分;不、或出的代号字母超一个（不是否写在括号内），一律得21.已知x, y, z足5x丫的y 2z(A) 1.(B)J-1(D)2007年全国初中数学合 参考答案及分准第1 (共8 )【答】

2、B.解由23 5-得y x y z z x33x, z x，2所以资y 5x 3xy 2z3x 3x“故（B）.3注:本也可用特殊法来判断.2.当X分取-4, 20072006-420052005, 2006, 2007i x2代数式的，将所得日勺果和加，具和等十1 x2（A） 1.【答】C.(B) 1.（C）0.(D)2007.1 (+)2R1 ("In2ft-22ft1n 22-1fill n 20 ,即当x分取,n（n正整数），算所得的代数式的之和0;而当xx分取一120071-2006120051 , 1, 2 ,2005 , 2006 , 2007 ,算所得各代数式的之和o

3、.故(c).3.设ABC的三边长，二次函数8_ b ,则a ABC 是5(A)等腰三角形.【答】D.(B)锐角三角形.y (a k) X2 ex a2(c)钝角三角形.b在X 1时取最小值 2( )(D)直角三角形.由题意可得2( a -)2b _ b c A 22b c 2a,3即 3所以c-b,ac _ b,585一 b.5a2 c2 b 2 ,所以 ABC是直角三角形.故选(D)4.已知锐角4 ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径，则N (A) 30° .( B) 45° .( C) 60° .( D) 75° .【答】C.解 锐角 A

4、BC的垂心在三角形内部， 如图，设 ABC的外心为O , D 为BC的中点，BO的延长线交。O于点E ,连CE、AE ,则CE AH , AE/ CH ,则 OB AH CE 2OD ,所以/ OBD = 30。，Z BOD = 60° ,所以N A =N BOD =60° .故选(C).5.设长是a ABC内任意一点，KAB、 KBC、 KCA的重心分别为D、E、F ,则SADEF ： S ABC 的值为1(A) _ .9【答】A.解分别延长KDKE、KF ,与 ABC 的三边 AB、BC、CA 交于点 M、N、P由于D、E、F分别为 KAB、 KBC、 KCA的重心，易

5、知M、N、P分别为AB、BC、CA的中一 1点，所以 S MNP Sa ABC .42007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页(共8页)易证 DEF,且相似比为2：3,所以备朋以：Sa def Saabc1一.故选(A).92 2 ) s MNP31 S ABC41S ABC915个球，摸出的球中恰好有(3个红球的)6.袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出 概率是(A)【答】10B.10解X 5, y设摸出的6, z 715个球中 有x个红球、y个黑球、z个白球，则x, y, z都是正整数， 且x y z 15 . y z 13因为,所以x可取值2时,只有一种可能，

6、即y 6, z 7 ；3时,12 ，有2种可能,5, z6, z4时,11,有3种可能,4, z5, z5时,10 ，有4种可能,3, z4, z因此,共有1+2+3+4= 10种可能的摸球结果,21所以所求的概率为一一.故选（B）.10 5二、填空题（本题满分 28分，每小题7分）1.设x1 , a是x的小数部分，b是 x2 1,而 23 b33ab(a b)( a2 ab其中摸出的球中恰好有x的小数部分，则 bx ( 3)b2 ) 3ab a2 abb25.6, z 5 ；5, z 5 或 y 6, z 4 .个红球的结果有2种,2.对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程an,

7、bn ( n 2),贝ij(a22)(b2 2)(a3 2)(b32)解由根与系数的关系得 an bn2n2(an 2)(bn 2)an bn 2( Unbn)42n22(na3b33ab ( ax2 (n 2) x3ab(a 20072) 4b)21.2n20的两个根记作2)(b2007 2)2n( n 1),1003则1(Hn 2)( bn 2)12n(n 1)(a 2 2)(b22)(a 3 2)(b32)(a 2oo72)(b20072)2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共8页）-LQ U)2 2 2008-WQ3-4016Ill 1=-L (_ 1) L _

8、 ) L ( L )2233 4200720082007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第9页(共8页)3.已知直角梯形 ABCD的四条边长分别为 AB2, BC CD 10, AD 6,过B、D 两点作圆，与BA的延长线交于点 E ,与CB的延长线交于点F ,则BE BF的值为 4解 延长CD交。于点G ,设BE , DG的中点分别为点 M , N ,则易知AM DN .因为BC CD 10 ,由割线定理，易证BF DG ,所 以 BE BF BE DG 2(BM DN)2( BM AM) 2AB 4 .4100a 64.若201a 64和均为四位数，且均为完全平方数，则整数解

9、设 100a64 m2 , 201a64 n2 ,则32 m, n 100,两式相减得101a n2 m2(n m)(n m),因为101是质数，且101 n m 101 ,所以 n m 101,故 a n m 2n 101.代入 201a 64n 343 (舍去).所以 a 2n 101 17 .n2 ,整理得n2402n 202370 ,解得 n 59 ,或第二试(A )一、 (本题满分20分)设m, n为正整数，且m 2 ,如果对一切实数t,二次函数 y x 2 (3 mt) x 3mt的图象与x轴的两个交点间的距离不小于2t n| ,求m, n的值.解 因为一元二次方程X? (3 mt

10、)x 3mt 0的两根分别为mt和3 ,所以二次函数 y x 2 (3 mt) x 3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为|mt .由题意，|mt 3 | 2t n 即(mt 3)2(2t n)2 ,即(m?4)t2 (6m 4n)t 9 n2由题意知，m 24 0 ,且上式对一切实数t恒成立，所以m2 40,(6m4n) 2 4(m 2 4)(9 n 2 ) 0,m 2,m 2, m 3, m 6,所以或4(mn 6)2 O,mn 6, n 2, n 1.二、(本题满分25分)如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点，CE的延长线与 BA的延长线交于点 F ,过点E作BA的平行线交

11、CD的延长线于点M, BM与AD交于点N .证明: Z AFN =Z DME .证明 设MN与EF交于点P，: NE / BC ，?. PNE PBC , A PE.PB PC ' PB PE PN PC .FM又 MEBF , PME spbf ,. ,PB PF PB PE PM PF .FM PN PC PM PF，故 ECPN PF又NFPN 二NMPE, /. PNFA PMC , AZ PNF=Z PMC Z ANF = Z EDM.又ME/BF , I. Z FAN = Z MED. .Z ANF + Z FAN = Z EDM + Z MED , Z AFN= Z DM

12、E.三、(本题满分25分)已知a是正整数，如果关于x的方程 的根都是整数，求a的值及方程的整数根.，NF/MC3 (17) 2 (38 )56 0解 观察易知，方程有一个整数根XI 1,将方程的左边分解因式，得(x 1) x2 (a 18) x 560因为a是正整数，所以关于 x的方程x2 (a 18)x56 0( 1)的判别式(a 18) 2 224 0 ,它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程(1)的根都是整数，因此它的判别式(a 18)2 224应该是一个完全平方数.设(a 18)2224 k2 (其中k为非负整数)，则(a 18)2 k2 224 ,即(a 18 k)

13、(a 18 k) 224 .显然a 18 k与a 18 k的奇偶性相同，且 a 18 k 18 ,而224112 256 4 28 8 ,所以a 18k 112, a 18或56, a取18 k解得39, a或a 18k 2,a 184,18 k8,55,12,a 0,或26,k 10,是正整数，所以只可能39, a或55, k12,26.为1,39时，方程（1）即x2 和56.57 x 560,它的两根分别为56 .此时原方程的三个根12时，方程（1）即x230x 56 0 ,它的两根分别为28 .此时原方程的三个根为1,第一试(B)、（本题满分20分）设m,n为正整数，且mx2(3 mt)

14、 x 3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为di ,二次函数yx2（2t n）x 2nt的图象与x轴的两个交点间的距离为d2 .如果did2对一切实数t恒成立，求m, n的值.解因为一元二次方程 X2(3 mt) x3mt 0的两根分别为mt和 3 ,所以dimt元二次方程x2 (2tn)x 2nt 0的两根分别为 2t和 n ,所以d22t所以，dimt 3(m2由题意知,2t n(mt 3) 2(2t n)24)t2 (6m 4n)t 9 n 2 0且（1）式对一切实数t恒成立，所以(1)0,(6m4n)24(m24)(9 n2 )0,m 2,4(mn6)20, mn2,所以6,3,或 m

15、 6,2, n 1.二、（本题满分 25分）题目和解答与（卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a是正整数，二次函数y x2 （a17)x 38 a如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第15页（共8页）y解联立方程组yx2 (a 17) x 38 a,56消去 y 得 x2 (a 17) x 38x3(a 17)x2 (38a） x 56 0 ,分解因式得(x 1) x2 (a 18)x 560(1)显然Xi 1是方程（1）的一个根，（1, 56）是两个函数的图象的一个交点因为a是正整数，所以关于x的方程x2 (a

16、18)x56 0(2)的判别式(a 18) 22240 ,它一定有两个不同的实数根因此它的判别式而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2 ）的根都是整数，（a 18）2224应该是一个完全平方数.设（a 18）2224 k2 （其中k为非负整数），则（a 18）2 k2 224 ,即(a 18 k )(a18 k) 224 .显然a 所以18 a 18k的奇偶性相同，且a 18k 18 ,而 224 1122 56 428 8 ，a 18112, a或18a 182,1856, 取4,18 k18 k28,8,a解得k39, 或55,12, a或26, k0,10,而a是正整数，所以只可能

17、39,12,或55, k26.当a 39时，方程（2）即x257x 560,它的两根分别为此时两个函数的图象还有两个交点（1,56）和（56, 1）.当a 12时，方程（2）即x230x 56 0 ，它的两根分别为2和28 ,此时两个函数的图象还有两个交点（2, 28）和（28, 2）.第二试（C）一、（本题满分二、（本题满分25分）题目和解答与（25分）题目和解答与（B）卷第一题相同.A）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a是正整数,如果二次函数y 2x2（2 a23） x 10 7a和反比例函乂 11 3a数y 的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求Xa的值和对应的公共整点.y联立方程组 y2x2(2aLI3a ,23) x107a,消去y得2 x2(2a 23)x 10 7a3a11，即2 3x(2a23) 2x(10110,分解因式得(2 x 1) x 2(a 12)x 113a(1)如果两个函数的图象有公共整点,则方程（1)必有整数根，从而关于x的一元二次方程x2 (a 12)x 11 3a 0(2)必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式应该是一个完全平方数,12) 24(11 3 )a2 3610018)2 224a所以（a18）2 224应该是一个完全平方数,（a 18） 2 224 k2 （其中k为非