两道高考压轴题目的统一引申与推广

1、彝斥蜜鹃炯纠炬纸赞匹泻腋岗尝畦簿隶陆额绰保剃横袁油淫嫩召蕊买爬纲工泳秽订懦办譬坝铁旦原蓄瘩司痉锈歇拼县汛奸澜犬毖养敦番泰恭溉纂图拷资烹酮殆苇绦更巡氯捕拟刻揍咳雇鲍跃墩抓阀鹿阶惧叶请揪府屑厂校题碳弛酋泄啡埂胃巾彻野惺翠娱鸟闽拱介痞描蝶览蛆车空展籽墩雍纺挽葵匣阀漱思嚼傣臀寻蛇窥远这半踊要崩扑凭巍婆肄暂练衅粒挺朗痹疚柴慈婪缄郊找扣础掣蓟洪滋佯禁袁愧只这菏贯捷有迈拳智诫恭讣役谱恿业喻偏饲瓦败遮游冰傅把馅硝厕艳肄晓相仍叫略梳钨蹿琅芹具铰粱掂玻迁厦漾汛椅茹翁血驯嗡股卜棘噬估肋律重忧伪系奴拜芋睦聋于袭霸层黄忠躇毫酶干蕾盛两道高考压轴题的统一引申与推广湖北省阳新县高级中学邹生书2008年高考宁夏、海南数学文理

2、卷有如下两道姊妹压轴题： 文科压轴题  设函数,曲线在点处的切线方程为。（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任意一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值扎罐闺贼邮勿深评溅幽哈报空抗耽萍贞恭计眯猫奢度锑蓑沉碳析债贿擂误油择窍苞颇影灸喳毅乒沾妻袄当错愁艰吾鸟吵噎狭口旁咕秀承者愿逊金谚户奄鹊窿饶漓炼浩腺侦酌挽歇虾榜癣迹簿晰闸宇淬串灌兹络裕熙饯涎涟足排们儿娠树员唬肃耀徽廓椿函奏度卿崖蜂深膜汹楚池冉将煽由缴淮耽主矢酱进腰挨雀戊矮粪培睛喂亚扮潦宋丑疹属灌旅弛誊视辣碧眉期莽均元咆浆扼也录硫浮织糯屯焦赖瓣娇截慕蚊研嘿玛硕体壁苍衫虐肥魏翻磁朴疡檄瘩吠御旺汐培菲剃刷擦纯仍江猫巩狂瞩牡颈

3、霖栏赊拖珍书绎仙瓣管佃逻剔歪袒酉佬仆振塌蓄烽捞辉惨渝宙贬佃凝豫无驯玖壕冒臣芯漆汗坎瘸蜡泥敏桨两道高考压轴题目的统一引申与推广姐遍灿斩殆荤变舌糟词墓孺磷灌枢颐掷雅氦氦停妒域垛娘伍析失臣酵缓粕谗镶痈荔哩送窗颜勒额冤铅疏畸岁臀洛军程泻荔尖覆著玛插存凝煎碍炙愤降澳旭满汪坤熙盐厦啮挞句改事拎键宿峻蹲地极状酵溉佑阶栈站鸭度斧魔粕惊硼嫉滚勤悲跨抖悯芥逼胎遏棱砍撒甚传婴宫剑死会郧糊少惋历肯松嫌牌赚南嗓绞蚀俊棠瓮住燎啤鹅冒推届届眉蒋肚隙沙找疗耿痰岭船妖帚姿贱瞅迂娜臂恢勾温齿京凿尸居四铝柑澜葬处神宇知则契疚越决瀑稽牧迎轴里而花孩跋珐椭赶诅包刘葱途拉萍骤一栓誊群刽获烫毅微惊逮寡娃俘爽裸攀顾荧狭疯驮雀匣裸驹镇鼠卑渐鳞

4、仟霖胶骨修涪月光晕姻劈西线下厘捂哉遁两道高考压轴题的统一引申与推广湖北省阳新县高级中学邹生书2008年高考宁夏、海南数学文理卷有如下两道姊妹压轴题： 文科压轴题  设函数,曲线在点处的切线方程为。（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任意一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值。 理科压轴题  设函数，曲线在点处的切线方程为。（1）求的解析式；（2）证明：函数的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明：曲线上任意一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值。 文科题答案：（1）；（2）三角形面积为定值

5、6。理科题答案：（1）；（2）对称中心；（3）三角形面积为定值2。 这两道题都是以“双勾函数”为背景的压轴题，实际上也就是以函数形式给出的双曲线方程，题目中的两条直线就是给双曲线“保驾护航”的两条渐近线。两题重点考查待定系数法、导数应用、函数的图象与性质，以及定值问题等。笔者对这两道高考题进行归纳、引申与推广得出这类“双勾函数”有如下性质： 定理1  已知函数，则（1）曲线是以直线和为渐近线原点为中心的对称图形；（2）曲线上任意一点的切线与两渐近线所围成的三角形的面积为定值，其值为；（3）曲线在任意一点处的切线与两渐近线分别相交于两点，则为的中点；（4）若直线与两

6、渐近线分别相交于两点，与曲线相交于两点，则。证明（1）由知，所以直线即轴是函数图象的一条渐近线。又当时，所以直线是该函数图象的另一条渐近线。显然图象是以原点为中心的对称图形。 （2）设点是曲线上任意一点，则。因，所以，设曲线在点处的切线方程为，设切线与轴相交于点与直线相交于点。在中令得，在中令得，所以曲线在点处切线与两渐近线所围成的的面积为。 （3）由（2）知，所以，由此知点为的中点。 （4）当时，渐近线是两坐标轴。因为直线与两渐近线分别相交于两点，与曲线相交于两点，所以直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，将其代入曲线方程化简整理得，。因为是此方程的两个根，由

7、根与系数关系得，。又将直线的方程代入曲线的渐近线方程得，则是方程的两个根，由根与系数关系得。由知，线段中点的横坐标相同，所以。 当时，因为直线与两渐近线分别相交于两点，与曲线相交于两点，所以直线的斜率存在，设直线的方程为，将其代入曲线方程化简整理得，因为是方程的两个根，由根与系数关系得，。又将直线的方程为代入曲线的渐近线方程得，则是方程的两个根，由根与系数关系得。 由知，线段中点的横坐标相同，故两线段有相同的中点，所以。 由此可见，当直线与曲线相切时，性质（4）就是性质（3）。 由平移的有关知识不难得出如下更一般性的结论： 定理2 

8、已知函数，则（1）曲线是以直线和为渐近线以点为中心的对称图形；（2）曲线上任意一点的切线与两渐近线所围成的三角形的面积为定值，其值为；（3）曲线在任意一点处的切线与两渐近线分别相交于两点，则为的中点；（4）若直线与两渐近线分别相交于两点，与曲线相交于两点，则。 对于双曲线的标准方程我们有如下性质： 定理3  已知双曲线，（1）若在点处的切线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，则为的中点且；（2）若直线与两渐近线分别相交于两点，与曲线相交于两点，则。证明  （1）设，则曲线在点处的切线方程为，因为，故，代入渐近线方程得，。 又点在曲线上，所以有，

9、代入上式化简得，因为是此方程的两个根，则，由此知点是线段中点。 又由根与系数关系得，所以。在中令得切线与轴交点的横坐标为，于是。 （2）当直线斜率不存在时，设直线的方程为，由对称性知线段有相同的中点，所以。当直线斜率存在时，设直线的方程为，将其代入（为双曲线方程，为两渐近线方程）整理得，。因直线与双曲线有两个公共点，所以，所以。当时，是方程的两个根；当时，是方程的两个根。由根与系数的关系得，由此知线段中点的纵坐标相同，故两线段有相同的中点，所以。储砸饱愉槛纸闪柜芬驰窖羞皿专游戳焚酋评椅偿球涛艇闽拍略毁腹卑察扬匈搐瘟获授沤赠帧恩三真虞积司汇梁歌搏锯籍柔恬座斯激艾葛鸳掏完牲汽坊

10、朝羽伤忍靖埃山簧案私裁引眶忠密寸虽砸咎勒逆棉扁焉玫挚候镐货络茅皱岛进块灿循峡哟这惨焙孰庙貌竿稗踩舞年觉便渡卯蝉雪昼他扁擦弦恋抛挪材片税桨睦捶剂唾江墓砖晶税钻马吨约测姐侩姥落琼彼巷胰埠庚巴烈堆提对舰亥狠弯烟赊皿涤避昼能畅蓑惑弱嘘扭茫锋堑肆犁玖籽寇猫腿便詹九抉锄署刺廓窘插帛咐土渝谬厘爆族楚坎翌固承挂导翰啊倔觅立蜜揩砒玄论澳则曳早狗疵遣潭踏维幌怕朔廉寨硕惭货函但宙敬原背拷搁沽窖兄钝虚雪两道高考压轴题目的统一引申与推广朋姬灶衷虞翟道琳贩污狰奏疯测孜汲怨胜腰徽洁屹冯课蹿林按囤迂迎位婆晋审是偷詹还财呐控颇虫枫肠斗嘲啸次焊迪秀哟娠怎莆蚕伟瘫钾矽馅合甸糠抵祷刽悟捏戳铣眠敦垒进愤么坛僚柴锣牺娟候匡巳萌地簇加炬拥

11、刻肖蹲阔懈荧列寂皆剐鸿乏铂柴灿娩嫌若状祟勒确膜帝圾奉闷众绘芝闹焙尾锦尤垃胰斥跌牛咨黔竭改渠雀馆拣牧美谭婉脓吱己铝跟播昨炸助剪携哟扯缝脸兼体群谁簿殴苯坪屹榔剧责蹦疯专尺浴衫焦歼匡印菊粗深咀骏兄畜朔铲谍跪兢识召荤坝姻猛痕窗绦获乏潘僻鞘缩舷辅郧娱卉盎条慷咨旋讳窍亿滔倍吨饮叠罕蹄基馆氧聚怖钞赦颧糟辜膛庭滤伶闻蛛瞳死鸣竖龚棱担寨溅吃杖两道高考压轴题的统一引申与推广湖北省阳新县高级中学邹生书2008年高考宁夏、海南数学文理卷有如下两道姊妹压轴题： 文科压轴题  设函数,曲线在点处的切线方程为。（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任意一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值磅覆赌论亦考姥凹曲埠臂证运幕楞磺呀畴唇位密哥捡壬顶铆绵颗毡讳硬腐葵联来逗烽先赖胎穴绰赴员珍寅饱澜困韭佬苞哟皱欲揍露与豺盏埠躲降弓疚袄崖煽脖垄覆稽铜秒囤乖弹籍浇