(2021版)导数题型归类第四讲：构造证明的根

1、2021版导数题型归类第四讲构造证明不等式一、学习目标i了解常见的构造类型：移项构造、变型构造、替换构造等。2掌握常见的替换构造的根。二、重难点重点：替换的根难点：怎么看出替换的根三、引入构造除了常见的移项和变形构造以外，还有一类构造需要替换字母或是式子转换为根本 的不等关系，那么这类构造的根在哪里？四、过程【知识点】构造替换的常用根 ：ex x 1,当且仅当x=0时，取等号。变形：A组1)x e1x2)x In (x1)3)x 1InxB组4)In11xx15)In x1x6)xlnx1例题1.( 2021年湖北高考)函数 f(x) In x x 1, x (0,)，1)求函数f(x)的最大

2、值2)假设数列an , bn都是正项数列，且a1b1a2b2 ,anbn Db2,bn求证b1b2a? , a,1a1a2【稳固练习】1. (2021年全国)函数 f(x) (x 1)lnx x 1' 21 )假设xf (x) x ax 1恒成立，求实数 a的取值范围2)证明：(x-1)f(x)0【知识二】常见的构造方式：不等式的构造灵活多变，技巧性特别强，有些证明又特别复杂，是同学们最头疼的问题, 往往不知道从何处入手，苦苦冥想也找不到突破口。1, 直接构造：就是把证明的不等式，直接处理为一个函数，然后通过求极值最值等等明。2例题设a 0证明：，当x>0时，In x 2al n

3、x x 10恒成立2, 等价构造：对待证不等式进行重组整合，适当变形，找到其等价的不等式，观察其结构, 根据结构构造函数。例题求证：Inx1 2xe ex3, 特征构造：根据所证不等式的特征，展开联想，适当构造。例题.(2021辽宁)函数f(x) (a 1)l nx ax2 11 )当a1时，判断函数的单调性(修改正)2)设 a2，证明：对任意的 X1, X2 (0, ), f(x1) f(X2) 4x1 x?4, 变更构造：观察不等式结构，采用换元等手段，变形构造例题.(2007年山东)设函数f(x) x2 bln(x 1),其中b 01) 求函数的极值点1112) 证明对任意的正整数n,不

4、等式：In( 1)都成立。nnn5, 减元构造：多变量不等式，一般处理策略为消元或是把一个看作变量其他看作常量；当都不能处理的时候，通过变形，再换元产生一个新变量，从而构造新变量的函数。1例题函数 f(x) -x2 2x,g(x) log a, (a 0,a 1)，假设 h(x) f(x) g(x)，且h'(x)存在零点1) 求实数a的值2) 设 A(xyj, B(X2,y2),(X! x?)是函数 y g(x)的图像上的两点，g'(x) 业yix2 X!求证：x x0 x26，联想构造：根据条件特征，积极展开联想-借助和差求导，积商求导，直线斜率与导数关系等，恰当的构造所需的

5、函数。例题函数f(x)为(0,)上的非负可导函数， 且xf'(x) f(x) 0,对任意的正数a,b,且a<b，都有()A.af(a) f(b)B.bf(b) f(a)C.af(b) bf(a)D.bf(a) af(b)后记：导数作为压轴题，构造是最根本的考点考法。不同的题有不同的构造方法，法无定法。常见的思路和方法仅仅为我们提供一种积累，考试的时候本质还是在观察，分析，大胆实践和尝试。灵感也许就在你不停的尝试中闪现！五课堂稳固1,当0 x 时，求证：tan x23xx32, ( 2021年北京崇文区一摸)曲线 C : y eax.(i)假设曲线C在点(0,1)处的切线为y 2x m，求实数a和m的值；(n )对任意实数a，曲线C总在直线l：y ax b的上方，求实数b的取值范围六.课后作业1定义在R上的函数f(x),g(x)满足 丄凶 ax,且f'(x)g(x) f(x)g'(x), g(x)丄f ( 1)-，假设有穷数列f(n) , n N的前n项和为127，那么n=()g(1) g( 1)2g( n)128ax b2函数f (x)2 在点(-1，f(-1)处的切线为x+y+3=0x