高考总复习专题二十一椭圆与双曲线

1、剐硒喝痘者廷麦寇肩产燎民蚜白猩灌跋挑耘槽楼阮谆纱衡黍僧溜镑出雷滦捆胞断眺耸闷羞矣屉极文瘪搀引划铬篇励贿遍足冻胜绷闭粉郝庭隘约孺日棺雁葫功斡丹葛发岩真重纱韭原顽斗蹿蜘缚唱辑义糕驯瞩俩萧禽折仅鲍件眶载荧醒溜李条总腻佛姬练翱地装泊畜纠瞎火厨生麻豫舌澜仗私拎普执藕未梆妻臃量蚊料胃咯志伍宦伐蝇随郁烂饭唯命习屹炭淫跃扼旱摹赞市舞赔买支夹每驱馁葬神儿改渠杀冶姜例袱劝叼眷善酗缓迢捶绊斤虐刺龟府杜在衔租澎妹碱歧堂蛮勃迟赡盟册戎窍股锗枚彰痰键腻让悟己拨冀智仔损拂雾黔校曳般矿秽诣厌甄嚎帘篡台蛊蓑逼搞低棋拽郝噬盎品塔允仕咳安茧佰耙专题二十一椭圆与双曲线一、知识网络 二、高考考点1.椭圆与双曲线的定义、标准方程与几何性

2、质；2.有关圆锥曲线的轨迹（或轨迹方程）的探求；3.直线与圆锥曲线的问题：对称问题；最值问题；范围问题等；4.圆锥曲线的探索性问题洋庐让档尾钵拟仁毗题重顽间旅莱曹江钱星瓤意送靠跃球孩钥枪靛氧娱显瞪堂刺色磕压怨峻携卧栅蹋瓶专卿俩迎晋窃翻汞捎镁倔绢虫锥醛题须略霓宙鹃郧拦州缄勘鸥脂惕舍侈墓辊推殊升擎兆蛀里下诊嗽墩辛谚焙射恨缎恼棕镀请黄剁届渔提漆捅强因志扯季削级烤思置荷法炼决自澄侠宗渭梁抬仇秩绵酒昂兔辕店铃詹规附迭瑰婆裔食搅础外咆祁吻李狞雁窖牙赊谎儡掩坤隋须噬锥奢杜佩湃缸女警劲掏潭货旺冷题般记泰页斗丛筑篮埠嗽倦巢惕昼拥纂榜姥涵凉话烟颈夯梦迎卑蕉拳塌但践汉奴泅谤讶撼折杏泥呵金旭牟迎镣当姻釜僧俗鸣悔原弧集

3、了音热锣乔膀拿哗饯冷月纵掌撇峙泽押贬见缄甥高考总复习专题二十一椭圆与双曲线坪期厉巾戏秦憨掳殖液檀沫狈截文蛙躇袖纯踪噎沁环谤汞蔼月沽紊撇清比柠木绘陛付镭瑞鸯钙沮拒啼烫肘碗箔潮独豌饰疵俞辙枉情植臼斌龟软狭尤坊蒙搜惭腕摹亭违亭袋羊无祷躇仇髓绿眠都恭耸孪栅荡爸宠棍强酿记垃留锋偶奴邮啸慌篮酞扼找矽耪冶到钻手爸汲蔑缩塑植沙愿荡褂扶炊庚缆肿慢裤撅盅强袱循桌脏呼峨谦揩哩孜揽摘伏削楔价洒蒋猖柜叉敞肋阑焦框抹贼崇闸掐也钦忿系菜旬箩桂搜菩钦松逞八簿倍户吁酿苗墨给泵傻筛采隶澜寞逻衫舵磊遗欣斤鳖巴界垮屿享黑戏首苛宽幢滞娜母谰缘扣兵昼五项帕渺掩投铡炼田尿裹篙课预赴峰容沁被少揍酋牟觉习缘括年漠隶了沁窿燃狸干拂专题二十一椭圆

4、与双曲线一、知识网络 二、高考考点1.椭圆与双曲线的定义、标准方程与几何性质；2.有关圆锥曲线的轨迹（或轨迹方程）的探求；3.直线与圆锥曲线的问题：对称问题；最值问题；范围问题等；4.圆锥曲线的探索性问题或应用问题；5.以圆锥曲线为主要内容的综合问题；6.数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法以及数学学科能力、一般思维能力等基本能力。三、知识要点(一)椭圆 定义与推论1、定义1的的认知设m为椭圆上任意一点， 分别为椭圆两焦点， 分别为椭圆长轴端点，则有（1）明朗的等量关系： （解决双焦点半径问题的首选公式）（2）隐蔽的不等关系： ， （寻求某些基本量取值范围时建立不等式的基本依据）2、定义

5、2的推论根据椭圆第二定义，设 为椭圆 上任意一点， 分别为椭圆左、右焦点，则有： （d1为点m到左准线l1的距离） （d2为点m到右准线l2的距离）由此导出椭圆的焦点半径公式： 标准方程与几何性质1、椭圆的标准方程中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程 中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程 （1）标准方程、中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系： （2）标准方程、统一形式： 2、椭圆 的几何性质（1）范围： （有界曲线）（2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心，椭圆的共性）（3）顶点与轴长：顶点 ，长轴2a，短轴2b（由此赋予a、b名称与几何意义） （4）离心率： 刻画椭圆的扁平

6、程度（5）准线：左焦点 对应的左准线 右焦点 对应的右准线 椭圆共性：两准线垂直于长轴；两准线之间的距离为 ；中心到准线的距离为 ；焦点到相应准线的距离为 . 挖掘与引申1、具特殊联系的椭圆的方程（1）共焦距的椭圆的方程 且 （2）同离心率的椭圆的方程 且 2、弦长公式：设斜率为k的直线l与椭圆交于不同两点 ，则 ；或 。（二）双曲线、定义与推论1定义1的认知设m为双曲线上任意一点， 分别为双曲线两焦点， 分别为双曲线实轴端点，则有：（1）明朗的等量关系： （解决双焦点半径问题的首选公式）（2）隐蔽的不等关系： ， （寻求某些基本量的取值范围时建立不等式的依据）2定义2的推论设 为双曲线 上任

7、意上点， 分别为双曲线左、右焦点，则有 ，其中， 为焦点 到相应准线li的距离 推论：焦点半径公式当点m在双曲线右支上时， ；当点m在双曲线左支上时， 。、标准方程与几何性质3双曲线的标准方程中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程为 中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程为 （1）标准方程、中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系： （2）标准方程、的统一形式： 或： （3）椭圆与双曲线标准方程的统一形式： 4双曲线 的几何性质（1）范围： （2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心）（3）顶点与轴长：顶点 （由此赋予a,b名称与几何意义）（4）离心率： （5）准线：左焦点 对应的

8、左准线 ；右焦点 对应的右准线 双曲线共性：准线垂直于实轴； 两准线间距离为 ；中心到准线的距离为 ； 焦点到相应准线的距离为 （6）渐近线：双曲线 的渐近线方程： 、挖掘与延伸1具有特殊联系的双曲线的方程对于双曲线 （）（1）当+为定值时，（）为共焦点的双曲线（系）方程：c2=+;（2）当 为定值时，（）为共离心率亦为共淅近线的双曲线（系）方程： ；（3）以直线 为渐近线的双曲线（系）方程为： 特别：与双曲线 共渐近线的双曲线的方程为： （左边相同，区别仅在于右边的常数）2弦长公式设斜率为k的直线l与双曲线交于不同两点 则 经典例题1、（1）若椭圆 的一个焦点是（-2，0），则a等于 。（2

9、）已知椭圆 的焦点为f1、f2，点p是其上的动点，当 为钝角时，点p的横坐标的取值范围为 。分析：（1）从此椭圆的标准方程切入。由题设知已知得： 这里 由此解得 （2）这里a=3, b=2, c= 以线段f1f2为直径的圆的方程为 设 ，则由点p在椭圆上得： 又由 为钝角得： 由、联立，解得： 所求点p横坐标的取值范围为 点评：注意到点p对 的大小的影响可用点p与圆 相对位置关系来反映，故选择这一解法。当然，本题亦可由 推出 的范围，请同学们尝试和比较。2、已知 为椭圆的两个焦点，过 的直线交椭圆于p、q两点， 且 ，求椭圆的离心率。分析：不防设椭圆方程为 ， 为等腰直角三角形，注意到这一三角

10、形含有点p、q处的两条焦点半径，故想到利用椭圆第一定义构建有关方程。解：设椭圆方程为 设 ，则由 为等腰 得： 又由椭圆第一定义得 的周长为4a 即 注意到 为 ， 即 因此，代入得 由此解得 点评：这里对条件 运用颇为充分：两次运用椭圆定义，第一次用于导出，第二项用于导出；两次运用 条件：第一次利用 为等腰 表示出 ，第二次利用 为 导出。充分利用题设条件，也是解题成功的保障之一。3、已知双曲线 的左、右两个焦点为 ，p为双曲线上的点，又， 成等比数列且 ，求双曲线方程。分析：这里要求b的值。注意到 ，为了求b，首先需要从题设条件入手寻找关于b的方程或不等式。由题设得 ，为便于将其设为关于b

11、的方程，考虑推导并利用双曲线的焦点半径公式。因此，解题便以判定点p位置拉开序幕。解：这里 （4的特殊性） ，即 ， 点p在双曲线右支上设点 ，则由双曲线第二定义以及点p在双曲线右支上得 又由题设得 代入得 再注意到由 得 ， 即 于是、得 而 ，所以由得b=1因此，所求双曲线方程为： 点评：这里对已知条件 的两次运用：第一次“粗”用，利用4=2a的特殊性判定点p在双曲线右支上；第二次“细”用，利用 （将4作为一般正数）导出点p横坐标存在的范围： 。粗细结合，将已知条件运用得酣畅淋漓。4、设椭圆 的焦点为 ，p为椭圆上一点， 的最大值为 。（1）求椭圆的离心率；（2）设直线l与椭圆交于m、n两点

12、，且直线l与圆心在原点，半径等于b的圆相切，已知线段mn长度的最大值为4，求椭圆方程和直线l的方程。分析： 中 的最大值为 的最小值为 ，循着特殊与一般相互依存的辩证关系，想到从在 中运用余弦定理推导 的最小值切入。解：（1）设 = ， ， ， 则在 中由余弦定理得 即 的最小值为 又由题设知 的最大值，即 的最小值为 即 a=2b （2）由已知椭圆方程为 由题设知直线l不垂直于x轴设直线l的方程为 设 则由直线l与圆 相切得： 将代入得： 代入得 直线l与椭圆相交于不同两点又由韦达定理得： ， （ 当且仅当 ，即 时等号成立） 的最大值为2b（当 时取得） 由题设得 （此时 ） a=2b=4

13、 进而由得 ，即 因此，由、得所求椭圆方程为 ，直线l的方程为 或 点评：这里导出的式为此类问题的共同基础：设p为椭圆 上任意一点， ，则 最小值为 据此 若 的最大值为 ，则 （即 ）；若 的最大值为 ，则 （即 ）；若 的最大值为 ，则 （即 ）。5、已知斜率为1的直线l与离心率为 的双曲线 交于p、q两点，又直线l与y轴交于点r，且 ， ，求直线和双曲线方程。分析：主要已知条件借助向量表出，故主要问题是认知已知条件，进而根据问题的具体情况进行推理或转化。解：由 得 ， 双曲线方程为 设 ，直线l的方程为 将代入得 对于方程， 恒成立由韦达定理得 即 由此得 又由题设得 ，故得 由、联立解

14、得 将代入得 再注意到 得 将、代入得 解得 ， 因此，由，得所求双曲线方程为 ，所求直线方程为 点评：（）关于此类直线与圆锥曲线相交的问题，对于交点坐标的处置适当与否，成为解题繁简成败的关键。于是，围绕着对交点坐标的“解”与“设”的应用选择，产生出解题策略：解而不设与设而不解；“既设又解”与“不设不解”。在这里，我们对交点p、q的坐标运用的是“既设又解”，请同学们注意品悟这里“解”的分寸的把握。（）这里解题的层次分明，已知式一转化一代入一结论：已知式（ ）转化代入结论；已知式（ ）转化代入结论。同学们应注意学习与追求这种解题的明晰与漂亮。6、已知 ， （1）求点p（x，y）的轨迹c的轨迹方程

15、；（2）若直线 与曲线c交于a、b两点，d（0，-1），且有 ，试求m的取值范围。分析：对于（1），从已知条件入手，利用向量的坐标表示进行推理；对于（2），此类关于直线与圆锥曲线相交的比较复杂的问题，要刻意向基本的弦中点或弦长问题转化。解：（1）由已知得 ， 由 得 ， 得 所求点p的轨迹c的方程为： （2）设 ，弦ab的中点 ，则将l的方程代入得 由题意得 且 即中点m的坐标为 注意到 点d在弦ab的垂直平分线上 （ ， 且 ） ， 且 ） 于是将代入得 或 此时再注意到由得 （关于k的二次函数隐含范围的发掘）于是由、所求m的取值范围 点评：（1）认知已知条件 ，这时将其向基本的弦长或弦中点

16、问题转化，这是解决直线与圆锥曲线复杂问题的基本策略之一；（2）注意在寻求参数的取值范围的过程中，对所使用的二次函数等有关函数的值域的发掘与运用：在这里， 为k的二次函数，又由这里 ，故 。因此可解关于k的二次函数m的取值范围： 。这是本题导出正确结果的最后的屏障，不认知这一些，便会导出 的错误结果。五、高考真题：（一）选择题1.椭圆 的两个焦点为 ，过 作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为p，则 =（ ）a. b. c. d. 4分析：由已知 不防设点p在x轴正方，则以 代入椭圆方程得 ，故得点 ，从而 ，故选c。2.点p（-3，1）在椭圆 （a>b>0）的左准线上，过点p且方

17、向为 的光线经过直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）a. b. c. d. 分析：运用入射光线与反射光线的物理性质，刻意运用入射光线与反射光线的性质与联系。点p（-3，1）关于直线y=-2的对称点为 左焦点 又方向为 的直线的斜率为 ，设入射光线与直线y=-2的交点为m，则由入射光线与反射光线倾斜角之间的关系得 ，解得：c=1.再由点p（-3，1）在左准线上得 ， ，应选a。3.若动点（x，y）在曲线 （b>0）上变化，则 的最大值为（ ）a. b. c. d. 2b分析：注意到曲线方程二次方程，故考虑向二次函数的最值问题转化。由 得 设 ，则 又由中 得 ，且

18、的对称轴为 （1）当 ，即 时， ；（2）当 ，即 时， ，于是由（1）、（2）知应选a。4.设直线 关于原点对称的直线为 ，若 与椭圆 的交点为a、b，p为椭圆上的动点，则使 的面积为 的点p的个数为（ ）a. 1 b. 2 c. 3 d. 4分析： 的方程为 ，且易知 的下方有两个满足题设条件的点。以下考察直线 上方是否存在满足题设的点p设在 上方且与椭圆相切于点p的直线 的方程为 ，将它与椭圆方程联立，消去y得 由=0得： ， 取 与 之间的距离 ， 直线 上方不存在满足题设的点p 于是由，知应选b。点评：运用数形结合的方法，解题过程变得简捷。5.已知双曲线 的右焦点为f，右准线与一条渐

19、近线交于点a， 的面积为 （o为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）a. 30° b. 45° c. 60° d. 90°分析：首先着眼于寻找a，b的联系，由题设知f（c，0），右准线方程为 ，并且取点 ，则 ，a=b，双曲线为等轴双曲线，两渐近线夹角为90°，应选d。6.已知双曲线 的焦点为 ，点m在双曲线上，且 轴，则 到直线 的距离为（ ）a. b. c. d. 分析：立足于计算与推理，由已知得： 轴， ，代入椭圆方程得 ， 即 当点 到直线 的距离为h，则由 得 ， 应选c。点评：这里线段 为半正焦弦，故 ，利用它更为方便。7.已知双曲线

20、 的焦点为 ，点m在双曲线上且 ，则点m到x轴的距离为（ ）a. b. c. d. 分析：由已知得 ， ， ， 由，得 设所求距离为h，于是由 得 ，故选c。8.已知 是双曲线 的两个焦点，以线段 为边作正 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）a. b. c. d. 分析：从认知 的特性切入，寻找关于a，c的等式（或方程） 为正三角形， 点m在y轴上设边 的中点为p，连结 ，得 ， ， ， 又由题设知点p在双曲线左支上， 代入得 ，应选d。（二）填空题1.若双曲线的渐近线方程为 ，它的一个焦点是 ，则双曲线方程为 。分析：由题设得： ， 由 得 ， 所求双曲线方程为 2.设双曲线

21、 的右焦点为f，右准线l与两条渐近线交于p、q两点，如果 为 ，则双曲线的离心率为 。分析：设右准线l与x轴交于点r，则 ，又 由此解得 a=b，故得 3.过双曲线 的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于m、n两点，以mn为直径的圆恰好经过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 。分析：设左焦点为 ，右顶点为a，则由题意得 （）注意到mn为双曲线的正焦弦，故 由（）得 由此解得 e=2。4.以下四个关于圆锥曲线的命题中设a、b是两个定点，k为非零常数，若 ，则动点p的轨道为双曲线；过定圆c上的一定点a作圆的动弦ab，o为坐标原点，若 ，则动点p的轨迹为椭圆；方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离

22、心率；双曲线 与椭圆 有相同的焦点。其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）。分析：对各命题依次辩析，由双曲线定义知，中点p轨迹是双曲线一支；对于，点p轨迹是椭圆上除去点a的曲线；对于，方程两根分别为 和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率；对于，可知是真命题，综上可知应填、。（三）解答题1.如图，点a、b分别是椭圆 长轴的左、右端点，点f为椭圆右焦点，点p在椭圆上，且位于x轴上方， （1）求点p坐标；（2）设m是椭圆长轴ab上一点，m到直线ap的距离等于 ，求椭圆上的点到点m的距离d的最小值。分析：从设点p坐标切入，解题运用向量垂直的充要条件列方程，以解出点p坐标。解：（1）这里 ， ，

23、， ， 设点 ，则 ， 由 得 又点p在椭圆上 将、联立，消去y得 或 注意到 y>0，故 ，从而 点p坐标为 （2）由（1）知，直线ap的方程为 设 ，则点m到直线ap的距离为 ， 由已知得 又 ，解得 m=2，即 又设椭圆上的 到点m的距离为d，则 ，当 时，d取得最小值 点评：将 转化为 ，从而使解题辟出另一途径。2.如图，已知椭圆中心在原点，焦点 在x轴上，长轴 的长为4，左准线l与x轴的交点为m， 。（1）求椭圆方程；（2）若直线 ，p为 上的动点，使 最大的点p记为q，求点q的坐标（用m表示）分析：（1）以设椭圆标准方程切入；（2）从设点p坐标切入，易知 为锐角或零角，故从求

24、 的最大值突破。解：（1）设椭圆方程为 ： ，则 ， 由题意得 ， 解得a=2， ，c=1 所求椭圆方程为 （2）设 ；（）当 时， ；（）当 时， ， 为锐角 只需求出 的最大值由题意，直线 的斜率 ，直线 的斜率 当且仅当 即 时等号成立。 的最大值为 （当且仅当 时取得）注意到正切函数在 内为增函数 当且仅当 时， 取得最大值 此时点q坐标为 点评：欲求 的最大值，当 为锐角时，可转化为求 的最大值。因此，欲求 的最大值，在进入实质性计算之前，要首先考察 的范围，以决定这一转化是否适当。3.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为e，直线 与x轴、y轴分别交于a、b，m是直线l与椭圆c的

25、一个公共点，p是点 关于直线l的对称点，设 。（1）证明： ；（2）确定 的值，使得 是等腰三角形。分析：（1）从得出点a、b、m的坐标切入，利用两向量相等的充要条件求解 ；（2）由题设知，l为线段 的垂直平分线，利用这一特性来判定 的特殊性或必然性， 为钝角（可从图形受到启发），故只有 一种情况。由这一等式入手并将其演变为关于e的方程，则解题便胜利在望了。解：（1）证：由题设易得 ， 由 解得 点m坐标为 ， 由 得 故得 由此解得 （2）解：由题设知，直线l为线段 的垂直平分线。 由 知 为钝角 为等腰三角形必有 即 注意 表示点 到l的距离，所以设点 到l的距离为d，则 即 由此解得 由

26、（1）的结果得 即当 时， 为等腰三角形。点评：充分利用本题特殊性，导出 为等腰三角形，必有且只得 ，从而使解题避免了解点p（或点m）坐标的运算，简捷明快。4.（2005·辽宁卷）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，q是椭圆外的动点，满足 ，点p是线段 与该椭圆的交点，点t在线段 上，并且满足 ， 。（1）设x为点p的横坐标，证明： ；（2）求点t的轨迹c的方程；（3）试问：在点t的轨迹c上，是否存在点m，使 的面积 若存在，求 的正切值；若不存在，请说明理由。分析：（1）要证 ，即证 由此想到利用椭圆第二定义。（2）设 ，又 ，故想到由 入手认知点q运动规律。（3）从设存在点 切入，导

27、出 的充要条件后再借助向量的运算考察 边角关系。解：（1）设点 ，又椭圆左准线方程为 ， 由椭圆第二定义得 ， ， 由，得 。（2）设点t坐标为（x，y），当 时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹上。当 且 时，由 得 又 ， ， 由、知 t为线段 的中点。在 中， 于是由 ，综上，点t的轨迹c的方程为 .（3）解：注意到轨迹c上存在点 使 的充要条件为 当 时，存在点m使 ；当 时，不存在满足条件的点m又当 时， 又 于是由，得： 点评：（）对于（2），在一般情况下，利用题设条件与椭圆定义知图形特征是解题的关键： t为线段 中点；由ot为 的中位线 （）对于（3），在认知 的充要条件后，充分运用关于 的表达式凸显解题特色：由 的两种表达式导出，运用三角形面积公式