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文档简介
1、数学实验报告班级: 序号: 姓名: 1 问题描述I、用蒙特卡罗方法计算以下函数在区间上的积分,并改变随机点数目观察对结果的影响。(1) y=1/(1+x), 0=<x=<1;(2) y= (exp(3*x)*sin(2*x), 0=<x=<2 ;(3) y=(1+x2)0.5, 0=<x=<2;(4) y=(1/(2*pi)0.5)*exp(-x(i)2/2), 0=<x=<2;(5) y=exp(x(i)/2)*(sin(x(i)2, 0=<x=<2*pi;(6) f(x,y)=exp(-x2-y2) 0=<x=<pi,
2、 0=<y=<sin(x);II、用蒙特卡罗法求解全局最优化及约束问题并通过图形做出评论,求下列函数的最大值。(1) f(x)=(1-x.2).*sin(3*x), -2*pi=<x=<2*pi;(2) max f(x)=x1*x2*x3,s.t.:-x1+2x2+2x3>=0,x1+2x2+2x3<=72,10<=x2<=20,x1-x2=10;(3) f(x,y)=(X.2+2*(Y.2)+X.*Y).*exp(-X.2-Y.2), abs(x)<1.5,abs(y)<1.5;2 问题分析与实验过程I、(1)使用均值估计法程序:f
3、unction p=shell1(a,b,n)z=0;x=unifrnd(a,b,1,n);for i=1:n u=(x(i)+1)(-1); z=z+u;endp=(b-a)*z/n;运行结果:p=shell1(0,1,1000)p = 0.6975>> p=shell1(0,1,10000)p = 0.6922>> p=shell1(0,1,100)p = 0.7001>> p=shell1(0,1,500)p =0.6890 结果分析:改变了四次随机点数,结果都趋近于0.69,说明积分值约等于0.69,但是点数越多,值越接近。 I、(2)使用均值估计法
4、程序:function p=shell2(a,b,n)z=0;x=unifrnd(a,b,1,n);for i=1:n u=(exp(3*x(i)*sin(2*x(i); z=z+u;endp=(b-a)*z/n;运行结果:>> p=shell2(0,2,1000)p = -24.4911>> p=shell2(0,2,100)p = -43.8720>> p=shell2(0,2,10000)p = -30.8699>> p=shell2(0,2,500)p = -23.2955>> p=shell2(0,2,100000)p =
5、-30.0058结果分析:改变了5次随机点数,结果变化较大,但是点数越多,值越接近真实积分值。所以积分值近似于-30。I、(3)使用均值估计法程序:function p=shell3(a,b,n)z=0;x=unifrnd(a,b,1,n);for i=1:n u=(1+x(i)2)0.5; z=z+u;endp=(b-a)*z/n;运行结果:>> p=shell3(0,2,100)p = 2.9293>> p=shell3(0,2,1000)p = 2.9516>> p=shell3(0,2,10000)p = 2.9512>> p=shell
6、3(0,2,100000)p = 2.9600结果分析:改变了四次随机点数,结果都趋近于2.95,说明积分值约等于2.95,而且点数越多,值越接近真实积分值。I、(4)使用均值估计法程序:function p=shell4(a,b,n)z=0;x=unifrnd(a,b,1,n);for i=1:n u=(1/(2*pi)0.5)*exp(-x(i)2/2); z=z+u;endp=(b-a)*z/n;运行结果:>> p=shell4(0,2,100000)p = 0.4783>> p=shell4(0,2,10000)p = 0.4777>> p=shel
7、l4(0,2,1000)p = 0.4765>> p=shell4(0,2,100)p = 0.4432结果分析:改变了四次随机点数,结果都趋近于0.47,说明积分值约等于0.47,而且点数越多,值越接近真实积分值。I、(5)使用均值估计法程序:function p=shell5(a,b,n)z=0;x=unifrnd(a,b,1,n);for i=1:n u=exp(x(i)/2)*(sin(x(i)2; z=z+u;endp=(b-a)*z/n;运行结果:>> p=shell5(0,2*pi,100)p = 22.0140>> p=shell5(0,2*
8、pi,1000)p = 20.2718>> p=shell5(0,2*pi,10000)p = 20.9394>> p=shell5(0,2*pi,100000)p = 20.7968结果分析:改变了四次随机点数,结果都趋近于20.8,说明积分值约等于20.8,而且点数越多,值越接近真实积分值。I、(6)使用均值估计法程序:function p=shell6(a1,b1,a2,b2,n)z=0;x=unifrnd(a1,b1,1,n);y=unifrnd(a2,b2,1,n);for i=1:n if y(i)<=sin(x(i); u=exp(-x(i)2-y(
9、i)2); z=z+u; endendp=(b1-a1)*(b2-a2)*z/n;运行结果:>> p=shell6(0,pi,0,1,100)p = 0.4368>> p=shell6(0,pi,0,1,1000)p = 0.3378>> p=shell6(0,pi,0,1,10000)p = 0.3674>> p=shell6(0,pi,0,1,100000)p = 0.3610结果分析:改变了四次随机点数,结果都趋近于0.36,说明积分值约等于0.36,而且点数越多,值越接近真实积分值。II、(1)使用蒙特卡罗法分析:将x在它被允许的范围内生
10、成多个随机的数值,利用max函数可以近似地求出结果。然后做出图像,进行结果的比较。程序:function f81(n)x=unifrnd(-2*pi,2*pi,1,n);y=(1-x.2).*sin(3*x);max(y)x=-2*pi:0.001:2*pi;y=(1-x.2).*sin(3*x);plot(x,y)xlabel('x');ylabel('y');运行结果:>> f81(1000)ans = 32.3293>> f81(10000)ans = 32.4002>> f81(100000)ans = 32.4006
11、做出函数的图像,并且标出最高点的值结果分析:可以看到,蒙特卡罗法求出的最大值接近于32.4,而从图中可以看出最大值是32.33,求出的结果比较符合。II、(2)使用均值估计法分析:由于x1=x2+10,所以可以消元,使其变为两个自变量x2和x3。x2,x3在它们被允许的范围内生成多个随机的数值,利用max函数可以近似地求出结果。然后做出图像,进行结果的比较。程序:function f82(n)x2=unifrnd(10,20,1,n);x1=10+x2;x3=unifrnd(-10,20,1,n);for i=1:nif -x1(i)+2*x2(i)+2*x3(i)>=0 if x1(i
12、)+2*x2(i)+2*x3(i)<=72 y(i)=(x1(i)*(x2(i)*(x3(i); endendendmax(y)x2=10:0.1:20;x3=-5:21/100:16;X,Y=meshgrid(x2,x3);err1 = X+2*Y<10;err2 = 3*X+2*Y>62;X(err1) = nan;Y(err2) = nan;Z=X.*Y.*(X+10);surf(X,Y,Z)运行结果:>> f82(1000)ans = 3.3889e+03>> f82(10000)ans = 3.4357e+03>> f82(100
13、)ans = 3.3726e+03>> f82(100000)ans = 3.4441e+03 结果分析:可以看到,蒙特卡罗法求出的最大值接近于3400,而从图中可以看出最大值是3437,求出的结果比较符合。II、(3)使用蒙特卡罗法分析:x,y在它们被允许的范围内生成多个随机的数值,利用max函数可以近似地求出结果。然后做出图像,进行结果的比较。程序:function f83(n)x=unifrnd(-1.5,1.5,1,n);y=unifrnd(-1.5,1.5,1,n);z=(x.2+2*(y.2)+x.*y).*exp(-x.2-y.2);max(z)x=-1.5:0.1:1.5;y=-1.5:0.1:1.5;X,Y=meshgrid(x,y);Z=(X.2+2*(Y.2)+X.*Y).*exp(-X.2-Y.2);surf(X,Y,Z)运行结果:>> f83(1000)ans = 0.8105>> f83(10000)ans =0.8117 作出函数图,并且标出
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