函数的单调性与最值(理课件课件

1、按Esc键退出返回目录2.2函数的单调性与最值按Esc键退出返回目录按Esc键退出返回目录基础梳理自测基础梳理自测考点探究突破考点探究突破按Esc键退出返回目录基础梳理自测基础梳理自测构建能力大厦的奠基石构建能力大厦的奠基石按Esc键退出返回目录(1)单调函数的定义.知识梳理 1.函数的单调性 增函数增函数减函数减函数定定义义一般地一般地,设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为I,如果对于定义如果对于定义域域I内某个区间内某个区间D上的任意两个自变量上的任意两个自变量x1,x2.当当x1x2时时,都有都有 ,那么就说函数那么就说函数f(x)在区间在区间D上是增函上是增函数数当当x1x2时时,

2、都有都有 ,那么就说函数那么就说函数f(x)在区间在区间D上是减函上是减函数数按Esc键退出返回目录图图象象描描述述自左向右看图象是自左向右看图象是 自左向右看图象是自左向右看图象是 (2)如果函数y=f(x)在某个区间上是 或 ,则称y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间.答案：(1)f(x1)f(x2)逐渐上升的逐渐下降的 (2)增函数 减函数按Esc键退出返回目录2.函数的最值前提前提设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,如果存在实数如果存在实数M满满足足条件条件对于任意对于任意xI,都有都有 ;存在存在x0I,使得使得 .对于任意对于任

3、意xI,都有都有 ;存在存在x0I,使得使得 .结论结论M为最大值为最大值M为最小值为最小值答案：f(x)Mf(x0)=Mf(x)Mf(x0)=M按Esc键退出返回目录基础自测 1.下列函数中,在(0,3)上是增函数的是( ).A.f(x)= B.f(x)=-x+3C.f(x)= D.f(x)=x2-6x+43xx答案：C 按Esc键退出返回目录2.下列函数f(x)中满足“对任意x1,x2(0,+),当x1f(x2)”的是( ).A.f(x)=ex B.f(x)= C.f(x)=(x-2)2 D.f(x)=ln(x+3)1x答案：B 3.若函数f(x)=x2-2x+m在3,+)上的最小值为1,

4、则实数m的值为( ).A.-3 B.-2C.-1 D.1答案：B按Esc键退出返回目录4.已知函数f(x)为R上的减函数,则满足ff(1)的实数x的取值范围是 .5.函数f(x)=+2在3,4上的最大值为 ,最小值为 .1x11x答案：(-1,0)(0,1) 答案： 5273按Esc键退出返回目录1.已知函数y=f(x)定义域为I,若函数在区间a,b(a,bI)上单调递增(递减),能否说函数在定义域I上单调递增(递减)?提示:函数的单调性,从定义上看,是指函数在定义域的某个子区间上的单调性,是局部的特征.在某个区间上单调,在整个定义域上不一定单调.2.函数y=的单调递减区间为(-,0)(0,+

5、),这种表示法对吗?提示:首先函数的单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式的形式表示;一个函数如果有多个单调区间应分别写,分开表示,不能用并集符号“”联结,也不能用“或”联结.1x思维拓展 按Esc键退出返回目录3.函数的单调性、最大(小)值反映在其图象上有什么特征?提示:函数的单调性反映在图象上是上升或下降的,而最大(小)值反映在图象上为其最高(低)点的纵坐标的值.按Esc键退出返回目录考点探究突破考点探究突破拓展升华思维的加油站拓展升华思维的加油站按Esc键退出返回目录 一、函数单调性的判断【例1-1】 下列四个函数中,在(0,+)上为增函数的是( ).A.y= B.y=-log2x1

6、2xC.y=x2-2xD.y= 12x解析:画出各函数图象,由图象可知,选D.答案：D 按Esc键退出返回目录【例1-2】 讨论函数f(x)=(m0)的单调性.2mxx解:函数定义域为x|x2,不妨设x1,x2(-,2)且x1x2,f(x2)-f(x1)=-= =.22mxx211mxx2211212mx (x2)x (x2)(x2)(x2)m12122m(xx )(x2)(x2)m0,x1,x2(-,2),且x1x2,按Esc键退出返回目录x1-x20.0,即f(x2)f(x1),故函数f(x)在区间(-,2)上是增函数;同理可得函数f(x)在区间(2,+)上也是增函数.综上,函数f(x)在

7、(-,2),(2,+)上均为增函数.1221m(xx )(x2)(x2)按Esc键退出返回目录 方法提炼1.判断或证明函数的单调性,最基本的方法是利用定义或利用导数.利用定义的步骤是:设元取值作差(商)变形确定符号(与1比较大小)得出结论;利用导数的步骤是:求导函数判断导函数在区间上的符号得出结论.2.两个增(减)函数的和函数仍是增(减)函数,但两个增函数的差、积、商的函数单调性不确定,同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定.按Esc键退出返回目录3.对于复合函数y=fg(x),如果内、外层函数单调性相同,那么y=fg(x)为增函数,如果内、外层函数单调性相反,那么y=fg(x)为减函

8、数,即“同增异减”.请做针对训练5按Esc键退出返回目录二、求函数的单调区间【例2-1】 定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x20,+)(x1x2),有0,则( ).A.f(3)f(-2)f(1) B.f(1)f(-2)f(3)C.f(-2)f(1)f(3) D.f(3)f(1)f(-2)2121()()f xf xxx解析:由题意得,在0,+)上210,得f(3)f(-2)0,则x3.函数y=lo(x2-4x+3)的定义域为(-,1)(3,+).13g13g按Esc键退出返回目录方法提炼1.求函数的单调区间与确定单调性的方法:(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或

9、复合函数,求单调区间.(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义.(3)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.(4)图象法:如果函数是以图象形式给出的,或者函数的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间.按Esc键退出返回目录2.求复合函数y=fg(x)的单调区间的步骤:(1)确定函数定义域;(2)将复合函数分解成两个基本初等函数;(3)分别确定两基本初等函数的单调性;(4)按“同增异减”的原则,确定原函数的单调区间.请做针对训练1按Esc键退出返回目录三、求函数的最值【例3-1】 函数y=x+2在区间0,4上的最大值M与最小值N的和为 x .解析:函数y=x+2在其定义域上是增函

10、数,所以x=0时有最小值N=0,x=4时有最大值M=8,M+N=8.x答案：8 按Esc键退出返回目录【例3-2】 已知定义在区间(0,+)上的函数f(x)满足f=f(x1)-f(x2),且当x1时,f(x)0.(1)求f(1)的值,并判断f(x)的单调性;(2)若f(4)=2,求f(x)在5,16上的最大值.12xx按Esc键退出返回目录解:(1)令x1=x20,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.任取x1,x2(0,+),且x1x2,则1,由于当x1时,f(x)0,所以f0,即f(x1)-f(x2)0,因此f(x1)f(x2),所以函数f(x)在区间(0,+)上是单

11、调递增函数.12xx12xx按Esc键退出返回目录(2)f(x)在(0,+)上是单调递增函数,f(x)在5,16上的最大值为f(16).由f()=f(x1)-f(x2),得f()=f(16)-f(4),而f(4)=2,所以f(16)=4.f(x)在5,16上的最大值为4.12xx164按Esc键退出返回目录方法提炼1.求函数值域与最值的常用方法:(1)先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值.(2)图象法:先作出函数在给定区间上的图象,再观察其最高、最低点,求出最值.(3)配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方法求解.(4)换元法:对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,

12、再用相应的方法求值域或最值.(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后,再用基本不等式求出最值.按Esc键退出返回目录(6)导数法:先求导,然后求在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出值域或最值.2.对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应条件,对任意x1,x2在所给区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大小,或与1的大小(f(x)0).有时根据需要,需作适当的变形:如x1=x2或x1=x2+x1-x2等.请做针对训练212()()f xf x12xx按Esc键退出返回目录四、函数的单调性与不等式【例4】 (2011四川宜宾一诊)已

13、知定义在R上的函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)+f(y)+1,当x0时,f(x)-1.(1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是单调增函数;(2)若f(1)=1,解关于x的不等式:f(x2+2x)+f(1-x)4.按Esc键退出返回目录(2)由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)=5.由f(x2+2x)+f(1-x)4得f(x2+x+1)f(3),又函数f(x)在R上是增函数,故x2+x+13,解之,得x1,故解集为x|x1. 解:(1)令x=y=0得f(0)=-1.在R上任取x1x2,则x1-x20,f(x1-x2)-1,又f(x1)=f(x1-x2)+x2=f(x1-x2)+f(x2)+1f(x2),所以,函数f(x)在R上是增函数.按Esc键退出返回目录方法提炼1.函数的单调性是与不等式有直接的联系,对函数单调性的考查常常与解不等式、求函数值域、图象等相结合.2