函数的单调性与凹凸性课件

1、3.4函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性1. 单调性判别法单调性判别法2. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用3. 曲线凹凸性与拐点的概念曲线凹凸性与拐点的概念4. 曲线凹凸性与拐点的判别法曲线凹凸性与拐点的判别法一、单调性的判别法一、单调性的判别法定理定理设函数设函数)(xfy 在在,ba上连续上连续, , 在在),(ba内可导内可导(1)则函数则函数)(xfy 在在,ba上单调增加上单调增加;(2)则函数则函数)(xfy 在在,ba上单调减少上单调减少;证证),(,21baxx 且且,21xx 应用拉氏定理得应用拉氏定理得)(

2、 )()(1212xxfxfxf ),(21xx , 012 xx),(ba内内, 0)( xf若在若在),(ba内内, 0)( xf若在若在若在若在),(ba内内, , 0)( xf).()(12xfxf 在在)(xfy ,ba上单调增加上单调增加. .若在若在),(ba内内, , 0)( xf).()(12xfxf )(xfy 在在,ba上单调减少上单调减少. .则则, 0)( f则则, 0)( f例例 1讨论函数讨论函数1 xeyx的单调性的单调性. 1 xey又又).,( : D解解在在)0 ,(内，内，, 0 y函数单调减少；函数单调减少；在在), 0(内，内，, 0 y函数单调增加

3、函数单调增加.注：注：函数的单调性是一个区间上的性质，函数的单调性是一个区间上的性质，完完数在这一区间上的符号来判定，数在这一区间上的符号来判定，的导数符号来判别一个区间上的单调性的导数符号来判别一个区间上的单调性.要用导要用导而不能用一点处而不能用一点处单调区间的求法单调区间的求法问题问题: 如何确定函数在定义域内各部分区间上函如何确定函数在定义域内各部分区间上函数的单调性数的单调性. .定义定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的若函数在其定义域的某个区间内是单调的, ,则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间. .注意注意:导数等于零的点和不可导点导数等于零的点和不可导点

4、, ,均可能是单调均可能是单调区间的分界点区间的分界点. .方法方法: 用方程用方程0)( xf的根的根来划分函数来划分函数)(xf的定义区间的定义区间, ,然后判断区间内导然后判断区间内导数的符号数的符号. .)( xf不存在的点不存在的点及及完完例例 2讨论函数讨论函数32xy 的单调区间的单调区间.解解).,( : D332xy ),0( x当当0 x时，时， 导数不存在导数不存在. 当当时，时，0 x, 0 y在在0 ,(上单调减少；上单调减少；当当时，时， x0, 0 y在在 , 0上单调增加；上单调增加；单调区间为单调区间为0 ,(，.), 0 注意注意区间内个别点导数为零不影响区

5、间的单调性区间内个别点导数为零不影响区间的单调性.例如，例如，,3xy , 00 xy但是但是),( 上单调增加上单调增加.完完例例3 确定函数确定函数31292)(23 xxxxf的单调区的单调区解解).,( : Dxxxxf12186)(2 ),2)(1(6 xx解方程解方程0)( xf得得. 2, 121 xx当当1 x时，时，, 0)( xf)(xf在在1 ,(上单调增加；上单调增加；当当21 x时，时，, 0)( xf)(xf在在2 , 1 上单调减少；上单调减少；间间.)(xf在在), 2上单调增加；上单调增加；当当 x2时，时，, 0)( xf单调区间为单调区间为,1 ,(,2

6、, 1)., 2 例例 4试证明：试证明： 当当0 x时，时，.21)1ln(2xxx 证证作辅助函数作辅助函数,21)1ln()(2xxxxf 因为因为)(xf在在), 0 上连续，上连续，在在), 0(内可导，内可导，xxxf 111)(,12xx 当当0 x时，时，, 0)( xf又又. 0)0( f故当故当0 x时，时，, 0)0()( fxf所以所以.21)1ln(2xxx 完完且且例例 5证明方程证明方程015 xx在区间在区间)0 , 1( 内内有且只有一个实根有且只有一个实根.证证 令令, 1)(5 xxxf因因)(xf在闭区间在闭区间0 , 1 上连续，上连续， 且且)1(

7、f1 , 0 )0(f1 . 0 根据零点定理根据零点定理)(xf在在)0 , 1( 内有一个零点内有一个零点.另一方面，另一方面， 对于任意实数对于任意实数,x有有)(xf 154 x, 0 所以所以)(xf),( 内单调增加，因此曲线内单调增加，因此曲线在在)(xfy 与与x轴至多只有一个交点轴至多只有一个交点.综上所述可知，综上所述可知， 方程方程015 xx在区间在区间)0 , 1( 内有且只有一个实根内有且只有一个实根.二、曲线凹凸的概念二、曲线凹凸的概念问题问题 如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?定义定义 设设)(xf在区间在区间I内连续内连续, , 若对若对I上任意上

8、任意两点两点,21xx恒有恒有,2)()()2(2121xfxfxxf 则称则称)(xf在在I上的图形是上的图形是凹的凹的.若对若对I上任意上任意两点两点,21xx恒有恒有,2)()()2(2121xfxfxxf 则称则称)(xf在在I上的图形是上的图形是凸的凸的.定理定理 2 设设)(xf在在,ba上连续上连续, ,在在),(ba内具有二内具有二阶导数阶导数, ,若在若在),(ba内内(1), 0)( xf则则)(xf在在,ba上的图形是凹的上的图形是凹的;证明证明 在情形在情形(1), ,设设1x和和2x为为,ba内任意两点内任意两点,且且,21xx 记记,2021xxx 并记并记1002

9、xxxx ,h 则则,01hxx ,02hxx 由拉格朗日中值公式由拉格朗日中值公式, ,得得(2), 0)( xf则则)(xf在在,ba上的图形是凸的上的图形是凸的. .,)( )()(1000hhxfxfhxf ,)( )()(2000hhxfhxfxf 其中其中, 101 . 102 两式相减两式相减, ,即得即得)(2)()(000 xfhxfhxf .)( )( 2010hhxfhxf 对对)( xf在区间在区间,1020hxhx 上上格朗日中值公式格朗日中值公式, ,得得hhxfhxf)( )( 2010 ,)( 221hf 再利用拉再利用拉格朗日中值公式格朗日中值公式, , 得得

10、hhxfhxf)( )( 2010 ,)( 221hf 其中其中.1020hxhx 按情形按情形(1)的假设的假设, , 0)( f故故, 0)(2)()(000 xfhxfhxf即即),(2)()(000 xfhxfhxf 亦即亦即),2(2)()(2121xxfxfxf 所以所以)(xf在在,ba上的图形是凹的上的图形是凹的. .完完例例 6判定判定)1ln(xxy 的凹凸性的凹凸性.解解因为因为,111xy 2)1(1xy , 0 所以，题设函数在其定义域所以，题设函数在其定义域), 1( 内是凹的内是凹的.完完例例 7判断曲线判断曲线3xy 的凹凸性的凹凸性.解解,32xy ,6xy

11、当当0 x时，时，, 0 y曲线在曲线在0 ,(为凸的；为凸的；当当0 x时，时，, 0 y曲线在曲线在), 0 为凹的；为凹的；注意到点注意到点)0 , 0(是曲线由凸变凹的分界点是曲线由凸变凹的分界点.曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法定义定义连续曲线上凹凸的分界点称为连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点曲线的拐点. .拐点的求法拐点的求法:根据定义知根据定义知, ,如果如果)( xf在点在点0 x的左右两侧邻近的左右两侧邻近处异号处异号, ,则点则点)(,(00 xfx就是曲线的一个拐点就是曲线的一个拐点, ,如如果进一步要求函数果进一步要求函数)(xf在区间在区间),(ba内具有二阶

12、内具有二阶连续导数连续导数, ,则在这样的点处必有则在这样的点处必有; 0)( xf此外此外, ,使函数使函数)(xf的二阶导数不存在的点的二阶导数不存在的点, ,也可也可能是使导数能是使导数)( xf符号发生变化的分界点符号发生变化的分界点. .综上所述综上所述, ,判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法综上所述综上所述, ,判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的步骤步骤为为:(1)(2)并求出使并求出使)( xf不存在的点不存在的点;(3)检查其邻近左、检查其邻近左、右两侧二阶导数右两侧二阶导数)( x

13、f的符号的符号, ,确定曲线的凹凸确定曲线的凹凸区间和拐点区间和拐点. .);( xf求函数的二阶导数求函数的二阶导数解出全部实根解出全部实根, , 0)( xf令令对步骤对步骤(2)中求出的每一个点中求出的每一个点,x)(xf )(xf)0 ,(0)32, 0(32),32( 0 0 凹的凹的拐点拐点)1 , 0(凸的凸的拐点拐点)2711,32(凹的凹的例例8 求曲线求曲线14334 xxy的拐点及凹、凸的区间的拐点及凹、凸的区间.解解易见函数的定义域为易见函数的定义域为),(,121223xxy .3236 xxy令令, 0 y得得, 01 x.322 x,32, 0所以所以, ,0 ,

14、(),32曲线的凹间为曲线的凹间为凸区间为凸区间为拐点为拐点为)1 , 0(和和).27/11, 3/2(例例 9求函数求函数32bxay 的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解y ,)(13132bx y ,)(9235bx 函数函数y在在bx 处不可导，处不可导，但但bx 时，时，, 0 y曲线是凸的，曲线是凸的，bx 时，时，, 0 y曲线是凹的曲线是凹的.故点故点),(2ab为曲线为曲线32bxay 的拐点的拐点.内容小结内容小结1. 单调性判别法单调性判别法设函数设函数)(xfy 在在,ba上连续，上连续，在在),(ba内可导内可导),(, 0)()1(baxxf )(xf在在,ba

15、上上单调增加单调增加;),(, 0)()2(baxxf )(xf在在,ba上上单调减少单调减少;若函数若函数)(xfy 在定义区间上连续，在定义区间上连续， 除在有限除在有限个点不可导以外个点不可导以外)(xf 存在且连续，存在且连续， 只要用只要用)(xf 2. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用定理中的区间换成其它有限或无限区间，定理中的区间换成其它有限或无限区间， 结论结论仍然成立仍然成立 .的零点和的零点和)(xf 不存在的点划分不存在的点划分)(xf的定义区间，的定义区间，便能确定便能确定)(xf的单调区间的单调区间 .3. 曲线凹凸性与拐点的概念曲线凹凸性与拐点的概念定义定义 设设)(xf在在),(ba内连续，内连续， 若对若对),(ba内内任意两点任意两点,21xx恒有恒有,2)()(22121xfxfxxf )( 则称则称)(xf在在),(ba内的图形是内的图形是(向上向上)凹凹(或凸或凸)的的.4. 曲线凹凸性与拐点的判别法曲线凹凸性与拐点