函数及基本初等函数4函数的奇偶性与周期性课件

1、注：若注：若函数函数 f(x) 不具有上述性质不具有上述性质, 则则称称 f(x) 不具有奇偶性不具有奇偶性; 若若函数同时具有上述两条性质函数同时具有上述两条性质, 则则 f(x) 既是奇函数既是奇函数, 又是偶函数又是偶函数.例例: 函数函数 f(x)=0( (xD, D关于原点对称关于原点对称) )是是既奇又偶函数既奇又偶函数. 相同相同 相反相反 奇函数奇函数 偶函数偶函数 奇函数奇函数 （3）奇函数奇函数: f(0)=0( (0 在定义域中在定义域中) ) 偶函数偶函数: f(x)=f(|x|)3 3、函数奇偶性的判定方法、函数奇偶性的判定方法 （1）.根据定义判定根据定义判定:首先

2、看函数的定义域是否关于首先看函数的定义域是否关于原点对称原点对称, 若不对称若不对称, 则函则函数是非奇非偶函数数是非奇非偶函数; 若对称若对称, 再判定再判定 f(- -x)=f(x) 或或 f(- -x)=- -f(x). （2）.利用定理利用定理, 借助函数的图象判定借助函数的图象判定: （3）.性质法判定性质法判定: 在公共定义域内在公共定义域内,两奇函数之积两奇函数之积( (商商) )为偶函数为偶函数;两偶函数之积两偶函数之积( (商商) )也为偶函数也为偶函数; 一奇一偶函数之积一奇一偶函数之积( (商商) )为奇函数为奇函数. ( (注意取商时分母不为零注意取商时分母不为零!)!

3、) 有时判定有时判定 f(- -x)=f(x) 比较困难比较困难, 可考虑判定可考虑判定 f(- -x) f(x)=0或判定或判定 = 1. f(x) f(- -x) 4.一些重要类型的奇偶函数一些重要类型的奇偶函数 函数函数f(x) axax(a0且且a1)为为_函数，函函数，函数数f(x) axax(a0且且a1)为为_函数；函数； 函数函数f(x) loga (a0，且，且a1)为奇函数；为奇函数； f(x) loga(x )(a0，且，且a1)为奇函数为奇函数偶偶奇奇例例2 思路思路分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性

4、的判断，要分别从系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或或x0来寻找等式来寻找等式f(x)f(x)或或f(x)f(x)成立，只成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的单调性。具有确定的单调性。 例例32010保定模拟保定模拟 已知函数已知函数yf(x)是定义是定义在在R上的不恒为零的函数，且对于任意上的不恒为零的函数，且对于任意x1，x2R，都有，都有f(x1x2)x1f(x2)x2f(x1)，则对函，则对函数数f(x)，下列判断正确的是，下列判断正确的是()A f(x)为奇函数为奇函数B f(x)为偶函数为偶函数C

5、f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数D f(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数B题型二题型二 函数奇偶性的性质及其应用函数奇偶性的性质及其应用2.2010江苏卷江苏卷 设函数设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数是偶函数，则实数a_. 思路思路 利用奇偶函数的性质，得到参数利用奇偶函数的性质，得到参数a满足的方程满足的方程 1 解析解析 本题考查函数的基本性质中的奇偶性，该知本题考查函数的基本性质中的奇偶性，该知识点在高考考纲中为识点在高考考纲中为B级要求级要求设设g(x)exaex，xR，由题意分析，由题意分析g(x)应为奇函数应为奇函数(奇函数奇函数奇函数偶函数奇

6、函数偶函数)，xR，g(0)0，则，则1a0，所以，所以a1.D f(xT)f(x) 周期性周期性 (1)定义：如果存在一个非零常数定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函，使得对于函数定义域内的任意数定义域内的任意x，都有，都有_，则称，则称f(x)为周期函数，其中为周期函数，其中T称为称为f(x)的周期若的周期若T中存在一中存在一个最小的正数，则称它为个最小的正数，则称它为f(x)的的_ (2)性质：性质：f(xT) f(x)常常写作常常写作f f ； f(x)的周期为的周期为T，则函数，则函数f(wx)(w0)也是周期函数，也是周期函数，且周期为且周期为_最小正周期最小正周期 112fx

7、afxfxafx 求 下 列 函 数 的 周 期 ： 12xabf axf bxx已知函数y=f有则函数关于对称 2,02abf axf bx 则函数关于对称,22ab caxbx若f+f=c函数关于对称 12,0,0 xababab函数y=f有对称轴为x=a,x=b则函数周期T=2对称中心为则函数周期为T=2 3,0aab关于,x=b对称,则函数的周期为T=4 1yfx特 殊 地 ：函 数为 偶 函 数 且 x=a关 于 对 称 ，则 函 数 的 周 期 为 T=2a 2yfx函数是奇函数且关于x=a对称，则函数的周期为T=4aB练练3. 3. 定义在定义在R R上的函数上的函数y yf f

8、( (x x) )满足满足f f( (x x) )f f( (x x) )，f f(1(1x x) )f f(1(1x x) )，当，当 x x1,11,1时，时，f f( (x x) )x x3 3，则，则f f( (2 009)2 009)的值是的值是( () )A A1 1 B B0 0 C.1 D C.1 D2 2 解析解析：由已知条件：由已知条件f(4x)f1(3x)f(2x)f(2x)f1(1x)f(x)f(x)，则函数，则函数yf(x)是周期为是周期为4的周的周期函数期函数f(2009)f(2009)f(45021)f(1)1.答案：答案：A已知已知f(x)是定义在是定义在R上的函数，且满足上的函数，且满足f(x)f(x1)1，当，当x0,1时，有时，有f(x)x2，现有三个命题：现有三个命题：f(x)是以是以2为周期的函数；为周期的函数；当当x1,2时，时，f(x)x22x；f(x)是偶函数是偶函数其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是_解析：解析：正确正确f(x)f(x1)1，(1)f(x1)f(x)1.(2)(2)(1)得得f(x1)f(x1)0，f(x1)f(x1)，则则f(x2)f(x)，f(x)是以是以2为周期的函数为周期的函数正确当正确当x1,