几种特殊类型函数的积分(3)课件

1、15.4 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ;分部积分法 初等函数求导初等函数积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例本节内容: 2一、一、 有理函数的积分有理函数的积分)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函数:nm 时,)(xR为假分式;nm 时,)(xR为真分式有理函数相除多项式 + 真分 式分解其中部分分式的形式为kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和3例例1. 将下列真分式分解为部分分式 :;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx.)1)(

2、21 (1)3(2xx解解: (1) 用拼凑法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx4(2) 用赋值法6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB原式)2(xA2x233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故25x原式36x5(3) 混合法)1)(21 (12xx xA2121xCBx原式)21 (xA21x54代入等式两端分别令1 ,0 xC541215461CB52B51C原式 =x214512112xx6四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分: CaxAln) 1( nCaxn

3、An1)(1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2xqxpxNxMd. 32xqxpxNxMnd)(. 42) 1,04(2nqp变分子为 )2(2pxM2pMN 再分项积分 7例例2. 求.)1)(21 (d2xxx解解: 已知)1)(21 (12xx51x214212xx211xxx21)21 ( d52原式221)1 ( d51xx21d51xxx21ln52)1 (ln512xCxarctan518例例3. 求.d3222xxxx解解: 原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxCx21arctan23思考思考:

4、 如何求?d)32(222xxxx提示提示: 变形方法同例3, 并利用 P209 例9 . 9xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx例例4. 求求.d4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 10例例5. 求求.d)22(222xxxx解解: 原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2xx222)22()22d(

5、xxxx) 1arctan( x2212xxC11例例6. 求求解解: 原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx(见P283公式21)2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本题技巧注意本题技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常规方法较繁按常规方法较繁12按常规方法解:1d4xx第一步 令)(1224dxcxbxaxx比较系数定 a , b , c , d . 得) 12)(12(1224xxxxx第二

6、步 化为部分分式 . 即令) 12)(12(111224xxxxx121222xxDxCxxBxA比较系数定 A , B , C , D .第三步 分项积分 .此解法较繁 !13二二 、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设)cos,(sinxxR表示三角函数有理式 ,xxxRd)cos,(sin令2tanxt 万能代换t 的有理函数的积分1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则14例例7. 求求.d)cos1 (sinsin1xxxx解解: 令,2tanxt 则222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222co

7、ssinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd12215xxxxd)cos1 (sinsin1 2121tt212tt)1 (2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln2116例例8. 求求.)0(cossind2222baxbxax解解: 原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC说明说明: 通常求含xxxxcossincos,sin22及的积分时,xttan往往更方便 .的有理式用代换17例例9. 求. )0(d)co

8、ssin(12baxxbxa解法解法 1 xttan令原式 dx2)tan(bxax2cos2)(dbtatCbtaa)(1Cxbxaax)cossin(cos18xbxacossin例例9. 求求)0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 2 cos,sin2222babbaa令22baxbabxbaacossin2222sincos原式)(cosd1222xxbaCxba)tan(122Cbaxba)arctantan(122baarctan19例例10. 求求.dsinsin1cos2cos423xxxxx解解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令,sin xt 原式x

9、x42sinsin1xxxdcos)2(cos2xxx422sinsin1 ) 1(sin4221d) 1(tttttttd1t1221213)()d(211ttttCtt3arctan311Cxxsin3cosarctan312xsind202. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令., 的最小公倍数为nmp21例例11. 求.21d3xx解解: 令,23xu则,23 uxuuxd3d2原

10、式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC22例例12. 求.d3xxx解解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的最小公倍数 6 ,6tx 则有原式23tttt d65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令23例例13. 求.d11xxxx解解: 令,1xxt则,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln24内容小结内容小结1. 可积函数的特

11、殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .简便 , 25思考与练习思考与练习如何求下列积分更简便 ?)0(d. 1662axxaxxxxcossind. 23解解: 1.23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln612. 原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin12126例题例题 1.求不定积分解：解：.d)1 (126xxx令,1xt 则,1tx ttxd1d2, 故xxxd)1 (126161t)11 (2tttd)1(2tttd126ttttd)111(224551t331ttCt arctanCxxxx1