_由依概率收敛推出阶收敛的条件

1、2齐齐哈尔师范学院学报（自然科学版第17卷第17卷第绷 曲年5月齐齐哈尔师范学院学报（自然科学版Journal ot Qiqihu Teachers* College （Natural Science）Voh 17 No. 2May 19970L牛摘要由依概率收敛推出旷阶收敛的条件晓钟_十尹秀生&学拓一拜泉第一中学设，依率收敛于G众所周知.此时：未处尸阶收敛于=知杲给G附加-些另外条件，刚可尸阶收敛于G点丈证明了几个这样的定理.它们推广了有关文献中的类似定理.关融词依慨李收敛尸阶收敛设(Qb,P)是概率空间.Q的元素记为3随机变量73) ©(3常简记成 £ R I

2、'V+8,(r>o),有时简记为 m，、定义1( i)设G«o=l,2,)为乩卩如果对于任意£>0都有P3 I J-< I+ 8),则称G依槪率收敛于S记为G-H(ii)称随机变量序列J为r(>0)阶平均收敛于随机变量G如果C.m 并且E I I J05-+8)“阶(平均)收敛记为J-<引理1 （C不等式）设&C是则B 1 G+G K" I G I + +EIGL),其中 C.= ：二0<r<lr>l.2齐齐哈尔师范学院学报（自然科学版第17卷注关于数列的G不等式为I ® +十a. 1 *&

3、lt;G( I 6 I+十 I a. 1 9 »其中G与引理l中的相同.当然，它可看作是引理1的特殊情形.推论1 如果eLE | 57 |0,则6L4此推论使我们在一些情形免除证明弓I理2设G-d.g(z)为实值连续函数，则g(G厶只C特别地.若厶G则对r>0, 有 I Gt I 0.引理3(控制收敛定理)若随机变量序列 上满足是可积随机变塑(从而 動存在八(2)二以概率1(或依概率)收敛于随机变量口则引理4设匕二GsrCr)为有界实值连续函数.则(1) limEg(G)=砌(2) lim£ | 心)一畑 | GO. (r>0)证 由引理2“(/)二sr(C 再

4、由有界控制收敛定理，就有(1)式成立.又由 9(G-(G，有I y(g)一sr(C I '厶0由G不等式可知丨9(G) y(G I '有界，再由有界控制 收敛定理，E 1 g(G)-g(C I 一E(0)引理 5 设 二“二“又 p(gm%)=i,则 pya5本文1996年7月7 B收到.引理8若彳厶=P（丨/ I >0 = 0.则P（|/|>c） = O；（ii） P（ I g士g I >2c） = 0<证 只证 ，令6>0.对自然数令“ =*涎=£ .因二G故有N-当 仏时PC. I GT I >y)V召，就取”=必,则P( I

5、 &厂§ I >£)V召,P( I g I >c+*=P( | ： | >< + *，l >C + P( I 3 I >c+召 | %| <c) <P( I g I >c) + P( I gY I >£)= P( I ST I >令)<帶.®°16于是.P（冷丨>c）<S（ I E I >c+三）<另讦=&“ iAL弓I理7若彳为乩卩且P（ | 4 I >c） = Of则对任何实值亟数只巧都有J ?（GdP = I ©

6、 l :>0.下面的定理i说明：对有公共界的随机变量序列 U.依概率收敛与任何>0阶收敛 是等价的叫定理1设对某常数c有"I / I >C = 0,则对任何实数 00而言彳-垃的充要条件是证只须证充分性取g（x） =(2c)当I工I <2cf当I #丨>2cf2齐齐哈尔师范学院学报（自然科学版第17卷则X。为有界实值连续函数.对如此的？及（GG利用引理4的（1）就有lim引（彳一。= 勿（0） = 0由引理6及7. J （2Cdp=0.从而有I4.-C I X引C = Jy(3一CdP=J v(V一十 IC3| <-4 I >tc= J I

7、/ 垃 I 5十J (2c)rd?= J |§ I VlO.I J-S I GI S Y I A*I I G苒由引理6及7有 J I g/ |dp=O从而|C严 I >2t证毕S I 5一7 I 'dLO,亦即 E | ；一< | 0.若G受控于。而“为r>0次可积则r阶平均收敛等价于依概率收敛. 定理2设P |彳| <祜=15=1.2,八）其中随机变最n满足E/V + 8（其中r>0为一实数，则对这个而S的充要条件是匕二；证 只須证充分性因为(二一 0二0,由引理2有丨/一.0因为P( | <. | </) = 1.由引理 5 就有

8、 P( | g |= 于是 I G I Vl+C小=1P(C, | ： I Wl+C”)=l又 0P( II >2(1 十GQ)P(G I G I >1+GQ + P(G | n I >1 + GQ = O第2期周晓神鋼h由依慨率收鐵椎出，祈收敏的条件故 P( I 一,W2(1+C.Q)=1总之:I=2(1+0/> 以概率成立且 2(1 +C")可积，还有|匚一彳丨二0.所以由控制收敛定理UrnE | GV 1 * = £0=0.定义2 设(Q,P,P)是概率空间.：是乩卩序列，若sup J I G I dy7(af+ 8)>i I«

9、J >则称啲积分一致可积.若对任给e>0t存在6>0,使得所有满足PCAy<d的事件札都 有 sup J I SI dpV“则称U.的积分一致绝对连续>>i *若supE | G | <4-oof即若supj 1 G 1 dY + °°，3 o卿称<的积分一致有界.若sup尸< | G | :>a0(af+ 8). a则称帖依概率有界弓1理8(!><：.的积分一致可积的充要条件是口的积分一致绝对连续且一致有界U)若依分布收敛.则«依概率有界化引理。 若：依槪率有界.且 |£|(r&g

10、t;0)的积分一致绝对连续.则 I S I '一致可积.证 对于e>0,由于丨彳的积分一致绝对连续，有6>0存在.使当PUX6时就有 (h = 1,2,).又因为彳> 依概率有界，对于上述的d>0有8>0使当a>0时就有P(lGl>a)Vd 5=1,2,.这样一来，当a>D时就有J一 5=1.2证毕定理3设对某,>0. | |，致可积，则的充要条件是匕二J证 充分性由Riesz定理，存在C.的子列G,使 J以概率1收敛于J由Fatou定理， 有J I 匕 I Pp= Jlim I £ |J | G I 'dpMwu

11、p J | "dY + 8.0Q gQQ可见icr可积由于丨g.r的积分一致绝对连续及|彳1可积.对任给e>o,存在/> 0当且PCAXd时就有J I I 7<>川=1 2.3J | ： | "d Y典AA又因/二U，故存在N,当 &N时巩| <.-< | >e)<d.这样一来，当nN时就总有J I 15= J | 一/ 15+ J I <.-< I dp°I c.-c I <I C.-C I >| 二一/ | <e)+C,C J I D I 5+ J I < I 5V+G

12、C+：kii >>这便证明了G-G由引理9及定理3,立即得到若对某的积分一致绝对连续则对这个尸齐齐哈尔师范:学院学报自然科学版第17卷而言，的充要条件是G丄< 这条结论也可由定理3的证明看岀，因那里仅用到 <*< 及丨g r的积分的一致绝对连续性。参考文献1华东师范大学.率论及敛理统计教程高等教育出版社 19832严士健等.療耶论基确科学岀版社.19823江泽坚吴智泉实变函敛论人民轶育出版tt，19624周晓钟.邹“成1K率论及飲理统计咸龙江人民出版社19835周晓神.HI机变序列牧敘性若干性质.齐齐哈尔环院学报99fW6 Ckopoxog Teopim Bcpo

13、hthoctoA COopKiixBiluja iukcuta 19B07中山大学慨率论ft研室.测度与MSX础广东HtttfclK社19818 周SS钟.孙广成译宴变柬购论习飽吉林人民出扳” 19829周晓钟.从与原子.齐齐哈尔师院学报1996(3)Conditions of ConvergenceOrder r Derived fromConvergenceinProbabilityZhou Xiaozhong (Department ofYin XiushiMaths ><No. 1Middle School of Baiquan County)Abstract Soppose con vergencenot necessarily converged onare given fmay converge onknown isconverges on 9 asconvergence in order r. If some