不等式概念及性质知识点详解与练习_3957

1、名师总结精品知识点不等式的概念及性质知识点详解及练习一、不等式的概念及列不等式概念不等号“ ”、“”、“”、“”、“”设未知数不等式列不等式步骤列出代数式表示出不等关系1、不等式的概念及其分类（ 1）定义：用“” 、“”、“”、“”及“”等不等号把代数式连接起来，表示不等关系的式子。a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b 。（2）分类：矛盾不等式：不等式只是表示了某种不等关系，它表示的关系可能在任何条件下都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式；如 2 3， x2 0 绝对不等式：它表示的关系可能在任何条件下都成立，这样的不等式叫绝对不等式；条件不等式：在一

2、定条件下才能成立的不等式叫条件不等式。（3）不等号的类型：“”读作“不等于”，它说明两个量之间关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；“”读作“大于” ，它表示左边的数比右边的数大；“”读作“小于” ， 它表示左边的数比右边的数小；“”读作“大于或等于” ， 它表示左边的数不小于右边的数；“”读作“小于或等于” ， 它表示左边的数不大于右边的数；注意：要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。（4）常见不等式基本语言的含义：若 x 0，则 x 是正数；若 x 0，则 x 是负数；若 x 0，则 x 是非负数；若 x 0，则 x 是非正数；若 x-y 0，则 x

3、大于 y；若 x-y 0，则 x 小于 y；若 x-y 0，则 x 不小于y；若x-y 0，则x 不大于y；若xy 0（或x 0），则x， y同号；若xy 0y（或x 0），则x， y 异号；y（5）等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实中的数量关系， 等式表示相等关系， 不等式表示不等关系， 但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。2、列不等式：（ 1）根据已知条件列不等式，实际上就是用不等式表示代数式间的不等关系，重点是抓住关键词，弄清不等关系。（ 2）步骤：正确列出代数式；正确使用不等号知识要点总结注意问题不等式的概念表示不相等关系的式子1、“不大于

4、”应为“”列不等式两步骤： 正确列出代数式； 正确使用不等号2、“不小于”应为“”解题方法总结列不等式和列代数式以及列方程有相似之处，一般是先设出未知数，再用代数式表示出相关的量，通过寻找不等关系列出不等式，审题时要抓住关名师总结精品知识点键词。如“不超过” 、“不大于” 、“不小于”等。例 1：列不等式：x 的 2 倍与 y 的差是非正数；x 与 3 的差不小于5x2 y4m 1例 2：已知关于 x、 y 的方程组2 y，试列出使 x y 成立的关于 m 的不等式x9二、不等式的解和解集1、相关概念：不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值

5、范围叫做不等式的解的集合，简称解集；解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式；2、不等式的解和解集的区别与联系：区别：不等式的解是一些具体数值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示。联系：不等式的每一个解都在它的解集的范围内。3、用数轴表示不等式的解集： x -2表示为： x-2表示为： x 2 表示为：x 2 表示为：特别提示： 用数轴表示不等式的解集要注意两点：定界点： 一般在数轴上只标出原点和界点即可， 定边界点时要注意点是实心还是空心，若边界点含于集合为实心点，不含于解集为空心点；定方向： “小于向左，大于向右”。例 1、表示不等式组的解集如图所示，则不等式组的

6、解集是_例 2、 x 的解集在数轴上表示为如图所示的不等式组，求x 的解集三、不等式的性质1 、不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。（ 1）不等式基本性质有：一个数大于另一个数，则另一个数一定小于这个数；若a>b b<a ( 对称性 )一个数大于另一个数，另一个数大于其它数，则这个数一定大于其它数；若 a>b, b>c a>c ( 传递性 ) 不等式两边都加上 (或减去 )同一个数或同一个整式，不等号的方向不变； a>b a+c>b+c (c R) 不等式两边都乘以 (或除以 )同一个正数，不等号的方向不变； c>0 时， a

7、>b ac>bc 不等式两边都乘以 (或除以 )同一个负数，不等号的方向改变；c<0 时， a>b名师总结精品知识点ac<bc。特别提示：、在不等式两边同乘以（或除以）同一个数（或式）时，必须先确定这个数的性质符号，然后再确定是否改变不等号的方向；、如果不等式乘以0，那么不等号改为等号，所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不能为0，否则不等式不成立 ;（2 ）、运算性质有： a>b, c>da+c>b+d 。 a>b>0, c>d>0ac>bd 。 a&

8、gt;b>0an >bn (n N, n>1)。a>b>0>(n N, n>1)。应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。 一般地， 证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。 解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。2、不等式与等式性质的关系相同不管是等式还是不等式，都可以在它们的两边同加（减）一个数（整式），所得结果仍成立。不同在等式两边同乘（除以）一个正（负）数（整式），等式仍然成立；在不等式两边同乘（除以）一个正数（整式），不等号方向不变，在不等式两边同乘（除以）一个负数（

9、整式），不等号方向一定改变。3、不等式性质的应用：主要有以下三类问题：(1) 根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。(2) 利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。(3) 利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。2例 1、试判断4m+4m+5和 2(2m+1) 的大小例 2、若关于x 的不等式（ 1-a ） x 2 可化为 x2, 试确定 a 的取值范围1- a不等式的概念及性质练习题一、判断题（正确的打“” ，错误的打“×” ）1、不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变。（）2、如果 ab，那么 3 2a 3 2b

10、。（）3、如果 a 是有理数，那么8a 5a。（）4、如果 ab，那么 a2 b2。（）5、如果 a 为有理数，则a a。（）6、如果 ab，那么 ac2 bc2 。（）7、如果 x，那么 x 8。（）8、若 a b，则 a c b c。（ ）9、 x 0, y0, 则 x0（ ）y10、若 xy1x)0（）0, 则 ( y211、若 ab,c 0, 则 ac2bc20（）12、若 xz2yz2 ,则 xy（）名师总结精品知识点13、若 ab a, 则 b0（）14、若 abc, 则 ac（）b12,则12a（）15、若a二、填空题1、若 ab ，则1 a1 b ， 2a 12b 12020a

11、b2时，b时，0、当 a3、若 x0, 则xyy224、若 ac 2bc 2 ，则3a3b5、实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，用“”或“”填空：ab_0，2211， a_ ba b_0， ab_0， a _b ，a_1 （b a） _0b6、若 a b0，则27、用不等式表示“a 的 5 倍与 b 的和不大于8”为 _.8、a 是个非负数可表示为_.9、若 ba0,则11-ba10、若3a2a,则 a0三、选择题1、在数学表达式 -3<0; 4x+5>0; x=3; x2+x; x -4; x+2>x+1是不等式的有( )A.2 个B.3 个C.4 个D.5个2、若 m

12、，则下列各式中正确的是（）A m3 3 B 。3m3n C。 3m 3nD。 m 3 1n 3 13、若 a 0，则下列不等关系错误的是（）A a 5 a7B 。5a 7aC。 5 a7 a D 。 a 5 a 74、下列各题中，结论正确的是（）A 若 a 0，b 0，则 b a 0B 若 a b，则 a b 0C若 a 0， b 0，则 ab 0D若 a b， a 0，则 ba 05、下列变形不正确的是（）A 若 a b，则 b aB a b，得 b aC由 2x a，得 x a 2D由 x 2 y，得 x 2y6、有理数 b 满足 b 3，并且有理数a 使得 ab 恒成立，则 a 得取值范

13、围是（）A 小于或等于 3 的有理数B 小于 3 的有理数C小于或等于 3 的有理数D 小于 3 的有理数7、若 a b0，则下列各式中一定成立的是（）A a bB ab 0Ca b 0D a b8 、 若 ab ， 且 c 0， 那 么在下面 不 等 式 ac b c ac bcabac 2bc2 中成立的个数是（cc）A 1B 2C 3D 4名师总结精品知识点9、已知 a、b、 c 都是实数，并且a>b>c，那么下列式子中正确的是（）A ab bcB a b b cC a b b cabD cc10、下列由题意列出的不等关系中, 错误的是 ()A. a 不是是负数可表示为a&g

14、t;0B. x 不大于 3 可表示为 x <3C. m 与 4 的差是非负数 , 可表示为 x-4 0 D. 代数式2，可表示为2x +3 必大于 3x-7x +3>3x-7四、解答题1、用不等式表示下列数量关系。（1） a 与 b 的和大于 a 的 2 倍。 （ 2） a 的 1 与 b 的 1 的差是负数。23（3） x 与 y 之和的绝对值不大于x 的一半的相反数（ 4）a 与 b 两数和的平方不能大于3。（5） 3x 的绝对值不小于 5。（ 6） a 的 6 倍与 3 的差不大于 1。2ab,试比较ac2 与bc2 的大小， ac 与bc的大小。、若3aba且 a 是负数，求b的取值范围。、若五、应用题1、某校规定期中考试成绩的40%和期末考试成绩的60%的和