不等式与绝对值不等式教案

1、学习必备欢迎下载第三十一讲含绝对值的不等式回归课本1.绝对值不等式的性质： (aR)(1)|a|0(当且仅当 a 0 时取“” )；(2)|a|±a；(3) |a|a|a|；(4)|a2|a|2a2；a |a|(5)|ab| |a|b|，|b| |b|.2两数和差的绝对值的性质：|a| |b|a±b| |a|b|.特别注意此式， 它是和差的绝对值与绝对值的和差性质 应用此式求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件|a b| |a|b|? ab0；|a b| |a|b|? ab0；|a| |b|ab|? (ab)b0；|a| |b|ab|? (ab)b0.3解含绝对值不等式

2、的思路： 化去绝对值符号， 转化为不含绝对值的不等式 解法如下：(1)|f(x)|a(a>0)? a f(x) a；(2)|f(x)|a(a 0)? f(x) a 或 f(x)a；(3)|f(x)|g(x)? g(x) f(x) g(x)；(4)|f(x)|g(x)? f(x) g(x)或 f(x)g(x)；(5)|f(x)| |g(x)|? f(x) 2g(x) 2.(6)含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如 |xa|xb| m 或|x a| |xb|m(m 为正常数 )的不等式，利用实数绝对值的几何意义求解较简便考点陪练1.设 ab>0，下面四个不等式中

3、，正确的是() |ab|>|a|； |a b|<|b|； |ab|<|ab|； |ab|>|a|b|.学习必备欢迎下载A和B和C和D和解析： ab>0，a， b 同号，|a b| |a|b|，和正确答案： C2如果 x 是实数，那么使 |x| 2 成立的必要且不充分条件是()A |x 1|1C |x 1|3B |x1| 2D|x1| 1解析： |x| 2?2x2.又 |x 1|1? 2 x0；|x1|2? 3 x 1；|x1| 3? 4 x2； |x1|1? 0x2，|x|2? |x 1| 3.答案： C3(天津八校联考 )如果 a、b 是满足 ab 0 的实数，

4、则下面结论一定不正确的是()A |a b|>|a b|B |a b|<|a b|C |a b|<|a| |b|D |a b|<|a|b|解析：当 ab>0 时，则 A 正确， B 错， C 错， D 正确当 ab<0 时，则 A 错， B 正确， C 错， D 错一定不正确的为 C.答案： C4不等式 1|x 1|3 的解集为 ()A (0,2)B(2,0) (2,4)C(4,0)D (4， 2)(0,2)解析： 1|x1| 3? 1 x13 或 3x 1 1? 0 x2 或 4x 2.不等式的解集为 (4， 2)(0,2)答案： D学习必备欢迎下载5不等式

5、 |x22x 1| 2 的解集是 _解析： |x22x 1|2?x2 2x12 或 x22x1 2，由 x22x12 得 (x1)20，故 x 1；由 x22x12 得 x 3 或 x1.综上知，原不等式解集为x|x3 或 x 1 或 x 1 答案： x|x 3 或 x 1 或 x1类型一绝对值不等式的性质应用解题准备： |a| |b|a±b|a| |b|，当 ab0 时， |ab|a| |b|，当 ab0 时，|a b|a|b|.【典例 1】 (1)设 xy<0， x，yR，那么正确的是 ()A |x y|>|xy|B |xy|<|x|y|C |x y|<|

6、xy|D|xy|<|x| |y|已知， |a|b|，n|a|b|，则 m，n 之间的大小关系是 _(2)|a|b| m|ab|ab| 解析 (1)解法一：特殊值法取 x1， y 2，则满足 xy 2<0，这样有 |xy| |1 2|1，|x y|1 (2)|3，|x| |y|123，|x| |y|1 2|1，只有选项 C 成立，而 A 、 B、 D 都不成立解法二：由 xy<0 得 x， y 异号，易知 |xy|<|x y|，|x y|x| |y|，|xy|>|x| |y|，选项C 成立， A 、B、 D 均不成立(2)因为 |a| |b|ab|，学习必备欢迎下载

7、|a|b|所以 1，即 m1，|ab|又因为 |ab|a| |b|，|a|b|所以 1，即 n1，所以 m1n.|ab|点评 绝对值不等式性质的重要作用在于放缩，放缩的思路主要有两种：分子不变，分母变小，则分数值变大；分子变大，分母不变，则分数值也变大注意放缩后等号是否还能成立类型二含绝对值不等式的解法解题准备：若不等式中有多个绝对值符号，一般可用数形结合和区间讨论两种方法1数形结合是根据绝对值的几何意义在数轴上直接找出满足不等式的数，写出解集，或构造函数，画出图象，由图象直接写出未知数的取值范围，得出解集；2分区间讨论是先求出绝对值内因式的根，这些根把实数集分成若干个区间，在每个区间上解不等

8、式，最后求出并集，即为原不等式的解集(2)解法一： |x1|>|x3|，学习必备欢迎下载两边平方得 (x1)2>(x3)2，8x>8，x>1.原不等式的解集为 x|x>1 解法二：分段讨论当 x1 时，有 x 1>x3，此时 x?；当 1<x3 时，有 x 1>x3，此时 1<x 3；当 x>3 时，有 x1>x 3 成立，x>3.原不等式解集为 ?x|1<x3 x|x>3 x|x>1 类型三含绝对值不等式的证明解题准备：把含有绝对值的不等式等价转化为不含有绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法等进行证明，其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法证法二：当 a b 时，原不等式显然成立，当 a b 时，| 1 a2 1 b2 | 1a2 1b2|1 b21a2<|a2b2| | a b ab | |ab|，|a|b|ab|学习必备欢迎下载原不等式