28 导数在济分析中的应用

1、经济数学基础 第二章 一元函数微分学2.8 2.8 导数在经济分析中的应用导数在经济分析中的应用 一、边际分析 二、弹性分析 三、最优化分析经济数学基础 第二章 一元函数微分学1.边际函数边际函数边际经济变量边际经济变量一、边际分析一、边际分析 定义定义 经济学上把经济函数经济学上把经济函数 的导的导数数 ,称为函数称为函数 的边际的边际,记作记作 即即 并称并称 为函数为函数 在在 处的边际函数值处的边际函数值,记作记作 ，即，即 )(xfy )(xfy )(xfmy)(xfmy)(0 xf)(xfy 0 x0 xxmy0 xxmy)(0 xf经济数学基础 第二章 一元函数微分学2.经济学中

2、常用的边际概念经济学中常用的边际概念是是可可微微函函数数，则则设设成成本本函函数数)(xcc 称为边际成本函数. xxcxxcxcmcx )()(lim)(0 xxrxxrxrmrx )()(lim)(0边边际际收收益益（mr） 是是可可微微函函数数，则则设设收收益益函函数数)(xrr 称为边际收益函数。经济数学基础 第二章 一元函数微分学边际利润边际利润（mp）是是可可微微函函数数，则则设设利利润润函函数数)(xpp xxpxxpxpmpx )()(lim)(0称为边际利润函数。 例例1 设某产品的需求函数为设某产品的需求函数为 （ 为为需求量，为价格），求边际收入函数，以及需求量，为价格）

3、，求边际收入函数，以及 5050和和7070时的边际收入，并说明经济意义时的边际收入，并说明经济意义pq5100qp20q解解 由由 ,得得 ，pq5100)100(51qp经济数学基础 第二章 一元函数微分学)100(51)100(51)(2qqqqqr)2100(51)(qqr12)20(r0)50(r8)70(r 其经济意义为：当需求量为其经济意义为：当需求量为20个单位时，个单位时，若再多销售若再多销售1个单位产品，则总收入将增加个单位产品，则总收入将增加12个个单位；当销售量为单位；当销售量为50个单位时，若再多销售个单位时，若再多销售1个个单位产品，则总收入不会改变；而当销售量为单

4、位产品，则总收入不会改变；而当销售量为70个单位时，若再多销售个单位时，若再多销售1个单位产品，则总收个单位产品，则总收入反而会减少入反而会减少8个单位个单位经济数学基础 第二章 一元函数微分学)()()(000 xfxfxxfyy1、弹性、弹性函数的相对变化率函数的相对变化率xxyyxx 之之比比与与称为函数称为函数xxxxfy00到到从从)(两点间的两点间的相对变化率相对变化率（或（或弧弹性弧弹性）。）。1)弧弹性弧弹性二、弹性分析二、弹性分析 经济数学基础 第二章 一元函数微分学)()(lim00000 xfxfxxxyyexeyxxx)()(xfxfxexey时，当0 xxxyy的极限

5、称为在点的极限称为在点0 x的弹性（或点弹性）。记为的弹性（或点弹性）。记为的的弹弹性性函函数数。为为)(xf称称对对任任一一点点 x2）点弹性点弹性3）弹性函数弹性函数经济数学基础 第二章 一元函数微分学2例例)( ,)(为实数设axxfa的弹性函数。求)(xf,)(axxf解取对数,ln)(lnxaxf微商两边对x,)()(xaxfxf,)()(axfxfx。即axfxfxexey)()(表明：幂函数的弹性为常数，称为不变弹性函数表明：幂函数的弹性为常数，称为不变弹性函数。经济数学基础 第二章 一元函数微分学3例例）小小时时（公公里里货货车车以以匀匀速速6030/ xx公里某地，到200升

6、，分设汽油费用为/50小时，）升耗用汽油满足（/50032x小时。元如司机的工资为/8求最经济的度）。速度（即费用最小的速解货车运行的总时间为,200 x消耗汽油的费用：)()(时间消耗汽油数价格三、最优化分析三、最优化分析 经济数学基础 第二章 一元函数微分学.)(xxxg2005003502）（即即司机的工资xxw2008 )(所以总费用：)()()(xwxgxfxx2005003502）（.x2008 .51900 xx 5119002 xxf)(.2259500 xx 经济数学基础 第二章 一元函数微分学,)(0 xf令令,9510 x得得,9510 x舍去）(，注注意意609510，已已知知60 x时时，95100 x.)(0 xf，是在95100)(xxf，现在6030 x时时取取最最小小值值。在在60 xxf)(即即这这个个速速度度费费用用