数列典型习题及解题方法

1、；高中数学数列基本题型及解法例2已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。分析：由于b和c中的项都和a中的项有关，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，数列b是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3&

2、#183;2当n2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2说明：1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用例3设数列an的前项的和Sn=（an-1） (n+),（1）求a1;a2; (2)求证数列an为等比数列。解: ()由,得 又,即,得. ()当n>1时, 得所以是首项,公比为的等比数列.例4、设a1=1,a2=,an+2=an+1

3、-an (n=1,2,-),令bn=an+1-an (n=1,2-)求数列bn的通项公式，(2)求数列nan的前n项的和Sn。解：（I）因故bn是公比为的等比数列，且 （II）由注意到可得记数列的前n项和为Tn，则例6数列中，且满足 求数列的通项公式；设，求；设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。解：（1）由题意，为等差数列，设公差为，由题意得，.（2）若，时，故 （3）若对任意成立，即对任意成立，的最小值是，的最大整数值是7。即存在最大整数使对任意，均有说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。.常用方法一 观察法例1：

4、根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，（2）（3）（4）解：（1）变形为：1011，1021，1031，1041， 通项公式为： （2） （3） （4）.观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。 二、定义法例2： 已知数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的(qR且q1)的等比数列，若函数f (x) = (x1)2，且a1 = f (d1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)，(1)求数列 a n 和 b n 的通项公式；解：(1)a 1=f (d1) = (d2)2，a 3 = f (d+1)= d

5、2，a3a1=d2(d2)2=2d，d=2，an=a1+(n1)d = 2(n1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q1)=(q2)2，=q2，由qR，且q1，得q=2，bn=b·qn1=4·(2)n1当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。三、      叠加法例3：已知数列6，9，14，21，30，求此数列的一个通项。解 易知 各式相加得一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解。四、叠乘法例4：在数列中， =1, (n+1

6、)·=n·，求的表达式。解：由(n+1)·=n·得，=··= 所以一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。五、公式法若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 求解。例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）。 （2）解： （1）=3此时，。=3为所求数列的通项公式。（2），当时 由于不适合于此等式 。 注意要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。 例6. 设数列的首项为a1=1，前n项和Sn满足关系求证：数列是等比数列。 解析：因为 所以 所以，数列是

7、等比数列。六、阶差法例7.已知数列的前项和与的关系是 ，其中b是与n无关的常数，且。求出用n和b表示的an的关系式。解析：首先由公式：得： 利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系，即其和为。七、待定系数法例8：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn解：设 点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，（b、为常数），若数列为等比数列，则，。八、 辅助数列法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从

8、而利用这个数列求其通项公式。例9.在数列中，求。解析：在两边减去，得 是以为首项，以为公比的等比数列，由累加法得= = = 例10.（2003年全国高考题）设为常数，且（），证明：对任意n1，证明：设， 用代入可得 是公比为，首项为的等比数列， （），即：型如an+1=pan+f(n) (p为常数且p0, p1)可用转化为等比数列等.(1)f(n)= q (q为常数)，可转化为an+1+k=p(an+k)，得 an+k 是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。例11：已知数的递推关系为，且求通项。即 例12： 已知数列中且（），求数列的通项公式。 例13.（07全国卷理21）设数列的首项（1）

9、求的通项公式；解：（1）由整理得又，所以是首项为，公比为的等比数列，得注：一般地，对递推关系式an+1=pan+q (p、q为常数且，p0，p1)可等价地改写成 则成等比数列，实际上，这里的是特征方程x=px+q的根。(2) f(n)为等比数列，如f(n)= qn (q为常数) ，两边同除以qn，得，令bn=，可转化为bn+1=pbn+q的形式。例14.已知数列an中，a1=， an+1=an+（）n+1，求an的通项公式。解：an+1=an+（）n+1 乘以2n+1 得 2n+1an+1=(2nan)+1 令bn=2nan 则 bn+1=bn+1 易得 bn= 即 2nan= an=(3) f(n)为等差数列例15.已知已知数列an中，a1=1，an+1+an=3+2 n，求an的通项公式。解： an+1+an=3+2 n，an+2+an+1=3+2(n+1)，两式相减得an+2-an=2 因此得，a2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1), an=。注：一般地，这类数列是递推数列的重点与难点内容，要理解掌握。(4) f(n)为非等差数列，非