概率论与数理统计期末必备复习资料ppt课件

1、浙江师范大学浙江师范大学 1事件间的关系包含关系：事件A发生必然导致B发生，记为相等关系： ，记为A=B。积事件：事件A与B同时发生，记为AB。和事件：事件A或B至少有一个发生，记为 差事件：事件A发生而B不发生，记为A-B。互斥事件：事件A、B不能同时发生，即 ，又称A、B为互不相容事件。逆事件：“A不发生这一事件称为A的逆事件，记为 ，A与 又称为对立事件。ABABABABBA且AAAA, AASASA事件间的关系与事件的运算事件间的关系与事件的运算浙江师范大学浙江师范大学 2浙江师范大学浙江师范大学 3事件的运算律交换律：结合律：分配律：对偶律De Morgan德摩根律：减法：;ABBA

2、ABBA()()AB CA BC()();ABCABC()()();AB CACBC()()()ABCABAC;ABAB;ABABABAB浙江师范大学浙江师范大学 4 概率：做n次反复实验，事件A发生的次数记为 ，当n很大时，假设频率 稳定在常数P附近，那么称P为随机事件A发生的概率，记作P(A)=P。概率的公理化定义：设E是随机实验，S是样本空间，对E的每个随机事件A，赋予一个实数P(A)，假设它满足：非负性：规范性： ，S为样本空间必然事件可列可加性：假设事件 中 那么那么称P(A)为事件A的发生概率。An/Ann( )( )()nfAP A n 0( )1P A( )=1P S12,nA

3、 AA,ijA Aij1212()()()P AAP AP A浙江师范大学浙江师范大学 5概率的性质概率的性质有限可加性：有限个两两互斥的事件 那么 是A的对立事件，那么 那么一 ，当A，B互斥即 时 推行：12,nA AA()( )( )()P ABP AP BP AB1212()()()()nnP AAAP AP AP AA 1P AP A AB()= ( )( )P BAP BP A( )0,P( )1P S ( )1P A ()( )( )( )P ABCP AP BP C()()()P ABP ACP BC()P ABCAB()( )( )P ABP AP B浙江师范大学浙江师范大学

4、 6预备知识：陈列、组合预备知识：陈列、组合分类计数原理(加法原理)：设完成一件事有k类方法，每类分别有 种方法，那么完成这件事情共有 种方法.分步计数原理(乘法原理)：设完成一件事有k个步骤，第一步有 种方法，,第k步有 种方法，那么完成这件事情共有 种方法.陈列：从n个不同元素中取出m个元素，按一定次序排成一列. 陈列数：从n个不同元素中取出m个元素的一切陈列的个数记为注：(1)(1)mnAn nnm0! 112,km mm12kmmm12km mmkm1m!()!nnm11,mmnnAnA,mnA等能够概型古典概型等能够概型古典概型浙江师范大学浙江师范大学 7组合：从n个不同元素中取出m

5、个元素并成一组(与顺序无关). 组合数：从n个不同元素中取出m个元素的一切组合的个数，记为,mnCmnC!()!nm nm!mnAm(1)(1)!n nnmm浙江师范大学浙江师范大学 8等能够概型古典概型等能够概型古典概型定义：具有以下性质的随机实验称为等能够概型实验的样本空间的元素只需有限个实验中每个根身手件发生的能够性一样等能够概型中事件概率的计算公式： n为随机实验的总的结果数，即样本点的总数，k为事件A包含的结果数。 kP An浙江师范大学浙江师范大学 9定义：事件A已发生的条件下事件B发生的概率，称为条件概率，记为P(B|A)。例 将一枚硬币抛掷两次，察看其出现正面的情况，设A=至少

6、有一次为正面H，B=两次掷出同一面，求P(B|A)解：样本空间S=HH,HT,TH,TT,A=HH,HT,TH, B=HH,TT。那么可得： P(B|A)1/3条件概率的计算公式：ABA中包含的基本事件中包含的基本事件 |P ABP BAP A条件概率条件概率浙江师范大学浙江师范大学 10乘法定理：设P(A)0，那么有P(AB)=P(B|A)P(A)推行：P(AB)0，那么有P(ABC)=P(C|AB)P(AB) = P(C|AB) P(B|A)P(A)设 为n个事件 ，且121()0nP A AA12,nA AA(2)n 12121121()(|) ()nnnnP A AAP AA AAP

7、A AA1211122211(|,) (|,)(|) ( )nnnnP AA AAP AA AAP AA P A浙江师范大学浙江师范大学 11全概率公式全概率公式划分：设S为实验E的样本空间， 为E的一组事件，假设 那么称 为样本空间S的一个划分.例 E：掷骰子察看点数 是S的一个划分 不是S的一个划分123=1 2 34 56BBB， ，12,nB BB, ,1,2,ijB Bij i jn12nBBBS12,nB BB1 2 3 4 5 6S ，123=1 2 33 45 6CCC， ，浙江师范大学浙江师范大学 12全概率公式全概率公式定理：设随机实验E的样本空间为S，A为E的事件. 为S

8、的一个划分，且 那么 ，称之为全概率公式。注：全概率公式给出我们一个用来计算在众多缘由 的作用下事件A发生概率的方法. 由因得果12,nB BB()0(1,2, )iP Bin1122nn( )( |) ()( |) ()( |) ()P AP A B P BP A B P BP A BP B12,nB BB浙江师范大学浙江师范大学 13贝叶斯公式由果溯因贝叶斯公式由果溯因设E的样本空间为S，A为E的事件. 为S的一个划分，且 ，那么 为贝叶斯Bayes公式.称 为先验概率；称 为后验概率.( )0, ()0.(1,2, )iP AP Bin12,nB BB1122nn()( |) ( )(

9、| )=( )( |) ()( |) ()( |) ()iiiiP ABP A B P BP B AP AP A B P BP A B P BP A B P B()iP B(|)iP BA浙江师范大学浙江师范大学 14条件概率 条件概率小结缩减样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式浙江师范大学浙江师范大学 15独立性独立性独立事件：两事件A、B，A发生对B发生没有影响，B发生也对A没有影响，那么称两事件相互独立.即P(A|B)=P(A)且P(B|A)=P(B)，那么P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)例 抛甲，乙两枚硬币，A=甲出现正面H，B=乙出现正面H，问A，B同

10、时发生的概率.定理 四对事件 中有一对相互独立，那么另外三对也相互独立.独立与互斥的区别： A，B相互独立：P(AB)=P(A)P(B)； A，B互斥：P(AB)=0。, ;A BA BA BA B； ； 浙江师范大学浙江师范大学 161212112,2, ,kjnkiiiijnA AAnknP A AAP AA AA定义：设为 个随机事件，若对 均有：则称相互独立多个事件的独立多个事件的独立浙江师范大学浙江师范大学 17定义定义 随机实验的结果可以用一个实值变量表示，随机实验的结果可以用一个实值变量表示，这个变量的取值是随机的，但又服从一定的统计规这个变量的取值是随机的，但又服从一定的统计规

11、律性，这种变量称为随机变量，通常用律性，这种变量称为随机变量，通常用X X，Y Y，Z Z表表示。示。中心问题：将实验结果数量化中心问题：将实验结果数量化随机变量分为离散型和延续型：随机变量分为离散型和延续型：离散型：离散型：X X的取值是有限个或可列无限个。的取值是有限个或可列无限个。延续型：延续型：X X的取值是延续的。的取值是延续的。esxX=f(e)为S上的单值函数，X为实数 浙江师范大学浙江师范大学 18分布律分布律 称为离散型随机变量X的分布律，分布律可用列表的方式直观的表示出来(1,2, )kkP Xxp kXkp1p1x2xnx2pnp1、写出能够取值即写出了样本点2、写出相应

12、的概率即写出了每一个样本点出现的概率分布律概率分布分布律概率分布浙江师范大学浙江师范大学 191212 0 1Xkp1.1.两点分布，又称为两点分布，又称为(0-1)(0-1)分布分布(0-1)分布的分布律为也可以写为对随机实验，假设样本空间只包括两个元素，即 ，那么一定能在S上定义一个服从(0-1)分布的随机变量，令例 抛硬币一次，定义随机变量X为出现正面的次数，那么 0 1Xkp1-p p1()(1),0,1kkP Xkppk12 ,Se e120 1 eeXee0 1 X反面正面三种重要的离散型随机变量三种重要的离散型随机变量浙江师范大学浙江师范大学 202.2.二项分布二项分布随机实验

13、E只需两个能够结果：A和 ，那么称E为伯努利实验。设P(A)=p(0p1),那么将伯努利实验独立地反复进展n次，称为n重伯努利实验。X表示n重伯努利实验中事件A发生的次数，X一切能够取值k=0,1,2,n。求PX=kPX=k记q=1-p，随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记为当n=1时，即为(0-1)分布。(1)kkn knC ppA 1P Ap ,0,1,2,kn00()nnkkn knkkP XkC p q()nqp1 ( , )Xb n p浙江师范大学浙江师范大学 21假设随机变量X的概率分布律为称X服从参数为的泊松分布，记() 0,1,2, 0!keP Xkkk，( )X 3.3.

14、泊松分布泊松分布(Poisson(Poisson分布分布) )Poisson定理 设 是一个常数，n是恣意正整数，设 ， 那么对于任一固定的非负整数k，有 0nnplim(1)!kkknknnnneCppk 浙江师范大学浙江师范大学 22当 时近似公式近似效果更佳。10100npn，20,0.05, 1, kn kkknnpeC ppnpk二项分布与泊松分布有 以下近似公式 ：当时其中！浙江师范大学浙江师范大学 23定义：设X为一个随机变量，x是恣意实数，函数 称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数。由分布函数的定义，有( )F xP Xx1221P xXxP XxP Xx21()( )F

15、 xF x分布函数分布函数( )F x 的几何意义：xX注注: 分布函数分布函数F(x)在在x处的函数值表示处的函数值表示x落在区间落在区间 上的概率。上的概率。浙江师范大学浙江师范大学 24 (1) (2)F(x)是一个不减函数 (3)对于离散型随机变量，假设分布律为 那么其分布函数( )kkxxF xP XxP Xx0( )1F x,()lim( )1xFF x ,()lim( )0 xFF x kkP Xxp分布函数分布函数1221 0()()( )P xXxF xF x( )F x 的性质：浙江师范大学浙江师范大学 25定义：对于随机变量X的分布函数 假设存在 非负的函数 使对于恣意实

16、数 有： ( ),f x( )( )xF xf t dt( ),F x, x( )f x其中 称为X的概率密度函数，简称概率密度。 那么称X为延续型随机变量，概率密度概率密度浙江师范大学浙江师范大学 2600()( )( )( )xxF xxF xP xXxxf xF xlimlimxx ( )f x 的性质：1) ( )0f x +2) ( )1f x dx211221123) () ( ) 0 xxxx xxP xXxf t dtP Xa对于任意的实数 ，4) ( ) ( )( )f xx F xf x在连续点 ，( )f x即在的连续点( )yf x1x2x1面积为12 P xXx浙江师

17、范大学浙江师范大学 271.1.均匀分布均匀分布定义：设延续型随机变量X具有概率密度函数 那么称X在区间(a,b)上服从均匀分布。记为注：X落在(a,b)上任一子区间内的概率只依赖于子区间的长度，而与位置无关。1 ( )0 axbf xba其他三种重要的延续型随机变量三种重要的延续型随机变量( , )XU a b 1c lcacclblP cXcldtcbaba 设 -与 无关浙江师范大学浙江师范大学 28均匀分布的分布函数0 ( ) 1 xaxaF xaxbbaxb f x0bxa1b a F x0bxa1浙江师范大学浙江师范大学 29定义：延续型随机变量X的概率密度为 称X服从参数为 的指

18、数分布，记为指数分布的分布函数1 0( ) (0)0 xexf x其它 0 0( ) (0) 1 0 xxF xex2.2.指数分布指数分布浙江师范大学浙江师范大学 30定义：设延续型随机变量X的概率密度为 其中 为常数，那么称X服从参数为 的正态分布也称为Gauss分布，记为,(0) 2()2212( )()xf xex , 2( ,)XN 三种重要的延续型随机变量三种重要的延续型随机变量3.3.正态分布正态分布浙江师范大学浙江师范大学 31 f(x)图形的性质：关于 对称结论：当 时，获得最大值 固定，改动 ，f(x)的图形不变，沿x轴平移 固定，改动 ，由最大值 知， 越小，图形越尖，X

19、落在 附近的概率越大。 时， ，即曲线以X轴为渐近线。 分布函数F(x)x0, hPhxPxh x12( )f12( )fx ( )0f x 22()()22221122( )ttxxF xedtedt浙江师范大学浙江师范大学 32规范正态分布 时，称X服从规范正态分布， 概率密度函数 分布函数 结论： 的函数值见第382页规范正态分布表 例 ，求(0,1)XN0,12212( )xxe2212( )tx xedt()1( )x x ( ) x(0,1)XN 2.013.25PX浙江师范大学浙江师范大学 33正态分布转变为规范正态分布引理 假设 ，那么结论： ，那么它的分布函数，可写成： 正态

20、分布的问题都可以经过线性变换转化为规范正态分布，然后查书中第382页规范正态分布表得解例 ，求(0,1)XZN( )()XxxF xP XxP2( ,)XN 2( ,)XN 1212xxXP xXxP21()()xx(1,4)XN01.6PX浙江师范大学浙江师范大学 34随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布离散型离散型随机变量的函数分布律的求法：找出Y=g(X)的一切能够取值找出每个值对应的X取值，将对应概率相加例 设随机变量X具有分布律求 的分布律。X -1 0 1 2 -1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4 0.2 0.3 0.1 0.4kp2YX问题提出：知随机变量X的概率

21、分布，且知Y=g(X)， 求Y的概率分布。关键是找出关键是找出Y Y的等价事件。的等价事件。浙江师范大学浙江师范大学 35延续型 延续型随机变量的函数分布的求法：求Y=g(X)的取值范围分段讨论在取值范围外的y，在取值范围内的y， ( )0Yfy 11( ) ()( )( )YXFyP YyP g XyP XgyFgy111( )( )( )( ) ( )YYXXfyFyFgyfgygy浙江师范大学浙江师范大学 36( ),( )0 ( )0)() XXfxxg xg xYg XY ：设，或。， 则 具有概率密度为：定定理理( ( )( ) , ( ) 0, XYfh yh yyfy其他min

22、( (),() max( (),()( )( )ggggh yxyg x其中，浙江师范大学浙江师范大学 37第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征浙江师范大学浙江师范大学 38定义：定义：111() 1,2,kkkkkkkkkkkXP Xxpkx pXE Xx pE Xx p绝对收设离散型随机变量 的分布律为：若级数则称级数的和为随机变量的，数学期记望为即 敛， , 0，有2( )( ).D XP XE X切比雪夫不等式的等价方式2()()1.D XP XE X 注：注： 1. 切比雪夫不等式可用来估计不是服从正态分布的随切比雪夫不等式可用来估计不是服从正态分布的随机变量落在机变量

23、落在E(X)附近的概率。附近的概率。 2. 切比雪夫不等式的主要作用是进展概率论的实际研切比雪夫不等式的主要作用是进展概率论的实际研讨。讨。浙江师范大学浙江师范大学 47第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布浙江师范大学浙江师范大学 48样本样本总体：实验中全部能够的察看值研讨对象的全体，如一批灯泡，一个总体对应于一个随机变量X。个体：每个能够察看值称为个体组成总体的每个元素，如某个灯泡抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进展察看的取值过程。随机样本：随机抽取的n个个体的集合(X1,X2,Xn), n为样本容量。简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,Xn)1. 每个Xi与X

24、同分布2. X1,X2,Xn是相互独立的随机变量阐明：后面提到的样本均指简单随机样本。浙江师范大学浙江师范大学 49统计量：设统计量：设 是总体是总体X X的样本，那么函数的样本，那么函数 假设不包含任何未知参数那么称为样假设不包含任何未知参数那么称为样本本 的一个统计量。的一个统计量。 221231232123323121, 1 2 2 3 max, 1 4 5 iiNXXXXXXXXXXXXX 思考题：设在总体中抽取样本其中 已知，未知指出在哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？答：只有(4)不是统计量。统计量统计量12,nXXX12,ng XXX12,nXXX简言之，样本的不含任何未知参

25、数的函数。简言之，样本的不含任何未知参数的函数。浙江师范大学浙江师范大学 50常用的统计量常用的统计量样本平均值：样本方差：样本均方差：样本k阶(原点)矩：样本k阶中心矩：11niiXXn22111niiSXXn22111niiXnXn22111niiSSXXn11,1,2,nkkkiiAXXkn11,2,3,nkkiiBXXkn浙江师范大学浙江师范大学 51统计学三大分布统计学三大分布 22122221,0,1 1,2, 11ininiXXXXXNinnn 设设随随机机变变量量相相互互独独立立， 则 则称称 服 服从从自自由由度度为为 的的， 指 指式式右右端端包包分分布布记记为为含含的的独

26、独立立自自由由变变义义度度定定：量量的的个个数数 20,1 ,XNYnX YXtnttt nY n 设设并并且且相相互互独独立立， 服服从从自自由由度度为为 的的 分分布布，记记 则 则称称随随变变量量为为机机定定义义： 221211212212, ,/,/ UnVnX YU nFn nFFF n nV nnn设设且且独独立立， 则 则称称随随机机变变量量服服定定义义：从从自自由由度度的的 分分布布，记记为为 其 其中中称称为为第第一一自自由由度度，称称为为第第二二自自由由度度浙江师范大学浙江师范大学 52 2 分分布布的的一一些些重重要要性性质质： 22221. ,2nEn Dn设则有222

27、11221212122. ,YnYnY YYYnn设且相互独立，则有22分布的可加性性质 称为，可推广到有限个的情形： 221211,mmiimiiiiYnY YYYn设且相互独立，则 22222,01,nnfny dyn为分布的上对给定的概率称满足条件的点上 分位点的分位值可查点分布表. 2n02分布的分位点x( )f x0.1,25n例：20.12534.381浙江师范大学浙江师范大学 53 20,1 ,XNYnX YXtnttt nY n 设设并并且且相相互互独独立立， 服服从从自自由由度度为为 的的 分分布布，记记 则 则称称随随变变量量为为机机定定义义： , 01,tnh t dtt

28、nt ntt对给定的称满足条件的点为分布的。 分布的上 分位点可上位点查分分布表t分布 121222 1, nnntt nh ttnn 分布的概率密度为： tn f xx0t分布的分位点10n 313x( )f x1n 4n 2021t分布的密度函数1( )( )tntn 浙江师范大学浙江师范大学 54 221211212212, ,/,/ UnVnX YU nFn nFFF n nV nnn设设且且独独立立， 则 则称称随随机机变变量量服服定定义义：从从自自由由度度的的 分分布布，记记为为 其 其中中称称为为第第一一自自由由度度，称称为为第第二二自自由由度度F分布 1112122211212

29、21212 ,2,0 2210,nnnnF n nnnn nyyynnn y n分布的概率密度为：其它11221( ,),(,)FF n nFF n n性质：则 浙江师范大学浙江师范大学 55121212,1212, 01,;,Fn nf x n ndxFn nF n nFn nF 对于给定的称满足条件的点为分布的。的值可分位点查上分布表0 x12 f x21,20nn225n 210n F分布的密度函数0 x12,Fn n( )f xF分布的分位点111221( ,)(,)Fn nF n n0.955,10F例如：例如：0.05110.211.10,54.74F浙江师范大学浙江师范大学 56

30、z,0,1 ,01XNZP XZZ此外 设标若满足准正态条件 分布的上则称点为分位点。1ZZ 浙江师范大学浙江师范大学 57第七章第七章 参数估计参数估计浙江师范大学浙江师范大学 58 121212121;, 1,2, ,1 1,2, ,1121,212kkkvvknnvviiXF xXkE XE XvkXXXXvAXvkkAknA 设总体 的分布函数为是待估计的未知参数，假定总体 的 阶原点矩存在，则有：对于样用样本矩作为总体矩的估计，即本其 阶样本：矩是：令 12122 ,12kkAkkk 解此方程即得的一个矩估计量矩估计法矩估计法浙江师范大学浙江师范大学 59最大似然估计的求法最大似然估

31、计的求法写出似然函数求 ，使得 为 的最大值，求法如下： 求使得方程 又 在同一 处获得极值，因此， 的最大似然估计值可从方程 中求得 称 为似然方程( )0L 的( )L( )L( )L( )( )LL与l nln ( )0Lln ( )0L1.1.单参数单参数浙江师范大学浙江师范大学 602.2.双参数双参数似然函数似然方程121122ln ( ,)0 ln ( ,)0 LL 1211221212( ,);,;,;, nLp xp xp x最大似然估计法最大似然估计法浙江师范大学浙江师范大学 61估计量的评选规范估计量的评选规范 对总体的未知参数可用不同方法求得不同的估计量，如何评价好坏？

32、 通常用三条规范检验：无偏性，有效性，相合性 无偏性 ,nEliEm E若那么若则称为估计量 的偏差渐近称 是 的无偏估计量 12,nXXEX满足 则称定义是 的一若参数 的估计个无偏量：估计量。浙江师范大学浙江师范大学 62 有效性 121212 , DD设是 的两个无偏估计， 如果对一切成立，且至少对某一个上式中的不等式成立， 定 则称 比义：有效。浙江师范大学浙江师范大学 63相合性1,0 0, nnXXnlim P设为参数 的估计量， 若对于任意，当时， 依概率收敛于 ， 定 即有：义成立 则称 为 的相合估计量：，或一致估计量浙江师范大学浙江师范大学 642, N单个正态总体的情形2

33、212, 1nXXXNXS 来自和分别为样本均值和方差 置信度为1. 均值 的置信区间 21 已知时, 0,1XXNn是 的无偏估计 由 21XPZn 有221P XZXZnn 即22,XZXZnn置信区间为： 正态总体均值与方差的区间估计正态总体均值与方差的区间估计2Z1222Z浙江师范大学浙江师范大学 65 22 未知时1431Xt nSn由第页定理三有： 22111XPtntnSn 有22111SSP XtnXtnnn 即221 ,1SSXtnXtnnn置信区间为： 2t1222t浙江师范大学浙江师范大学 6622. 方差的置信区间设 未知22214311nSn由第页定理二有： 2221

34、2221111nSPnn 有2222221211111nSnSPnn 即222221211,11nSnSnn置信区间为： 1-?思考题:均方差 的置信度为的置信区间是什么22212122浙江师范大学浙江师范大学 67Thank You!浙江师范大学浙江师范大学 68第八章第八章 假设检验假设检验浙江师范大学浙江师范大学 69问题：设X ，知，未知。给定 ，问 ？)(2，N00假设. 0100：，：HH 称为原假设(零假设)， 称为备择假设(对立假设)。0H1H经过某种方式确定常数k。假设 ，那么接受 ，假设 ，那么回绝 (接受 )。0 xk0H0 xk0H1H犯两类错误的概率： 假设 为真而被回绝，我们称为犯第一类错误(又称犯“弃真错误，其