第十七章反比例函数

1、第十七章 反比例函数【知识概念图表】知识要点（定义、公理、定理、公式、法则）（一）反比例函数1.反比例函数的意义一般地，形如（k为常数，k0）的函数称为反比例函数。其中x是自变量，y是函数。2.反比例函数的图象与性质反比例函数（k为常数，k0）k的符号k>0K<0图象双曲线性质当k>0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x值的增大而减小。当k<0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y随x值的增大而增大。（二）实际问题与反比例函数建立反比例函数模型解决实际问题，主要取决于两个变量的积是一个非零的定值，这个定值就是反比例系数k的值

2、。深度理解反比例函数意义中，形式上看可以是商式：，也可以是积式：；k为常数，并且k不等于0；自变量x不能为0，相应的函数y也永远不为0；反比例关系的实质就是两个变量的积为非0常数，即xy=k(k0)。思维拓展反比例函数的图象无限接近两坐标轴，但与两坐标轴永远没有交点。【易混易错剖析】1.易将反比例函数的性质与正比例函数的性质相混淆。正比例函数反比例函数关系式y=kxy=kx-1图象形状直线双曲线系数取值k>0K<0k>0K<0图象位置第一、三象限第二、四象限第一、三象限第二、四象限函数增减性y随x值的增大而增大y随x值的增大而减小在每一象限内，y随x值的增大而减小在每一

3、象限内，y随x值的增大而增大与坐标轴交点原点永无交点典型示例：选择：函数y=kx+b(b>0)和y=(k0)，在同一坐标系中的图象可能是（ ） A B C D常见错误：选A、C、D均有。解析点评：本题主要考查一次函数与反比例函数的图象与性质。根据题目告诉的解析式：y=kx+b(b>0)可知：直线与x轴交于正半轴，因而D选项肯定不对；然后再由y=kx+b(b>0)和y=(k0)分析，若k<0,则-k>0,那么直线应从左到右呈现下降趋势，双曲线在一、三象限内，因而A选项是不对的；若k>0，则由解析式y=kx+b(b>0)可得其趋势是从左到右呈现上升趋势的，

4、而双曲线y=(k0)中的系数-k<0,因而，双曲线的图象应在二、四象限内，所以B选项是正确的，而C选项就不正确了；所以综合上述分析，正确的答案只能是：B。本题启示：一定要高度熟悉一次函数和反比例函数的图象特征和相关性质，要明确解析式中各个字母的职能：一次函数解析式中，一次项系数k管直线的趋势的，当k>0，直线从左到右呈现上升趋势，y随着x的增大而增大，当k<0,直线从左到右呈现下降趋势，y随着x的增大而减小，b管直线与y轴的交点的位置的，b>0,交点在y轴的正半轴上，b<0，交点在y轴的负半轴上，b=0,此时是正比例函数，图象与y轴的交点在原点；反比例函数解析式中

5、，系数k>0时，双曲线在一、三象限，在各自象限内，y随着x的增大而减小，k<0时，双曲线在二、四象限内，在各自象限内，y随着x的增大而增大；解此类题通常要分类讨论，直接求解对照或采用排除法去解较为合适。2.在理解反比例函数性质时容易忽视“在每一象限内”这句看似不起眼的话。这句话实质是限定了反比例函数的性质是就一个分支而言的，也就是说性质中所归纳的不是将两个分支上的点的对应值放在一起来比较的，所以在用时一定要小心。典型示例：填空：已知一个一次函数y=2x-k的图像与反比例函数y=(k0)的图像交于点P（a,-3a）,若点（-2，y1），（1,y2），（3,y3）都在这个反比例函数的图

6、像上，请求出k的值 ；请写出y1,y2,y3大小关系： 。常见错误：填（许多同学空着）或填2;y1y2y3。解析点评：本题主要考查利用两函数解析式求交点坐标及待定字母的值的方法与技巧、方程组的解法、反比例函数的图像与性质及数形结合的思想等知识点。题目告诉了一次函数y=2x-k的图像与反比例函数y=(k0)的图像交于点P（a,-3a）,没有经验的同学会很茫然，不知从哪儿下手，其实不要怕，要敢于尝试，既然这个横纵坐标都含有待定字母a的点是直线y=2x-k与双曲线y=(k0)的交点，那么这对有序数对就应该同时满足这两个解析式，代入试试，当我们将P的坐标代入y=2x-k后，经过化简我们会发现：a=k，

7、再将P（a,-3a）代入y=(k0)经过化简，我们得到：k=-3a2,这样就得到一个关于a与k的方程组：，解之得：a1=k1=,a2=k2=0,而k0，所以a2=k2=0不合题意，应舍去。所以k=,所以反比例函数关系式就是。由于k=0，所以根据反比例函数的性质，它的图像的两个分支分布在二、四象限，这里千万要注意：有的同学对于反比例函数的性质掌握得并不准确，大致记得当k0时，图像分布在二、四象限，y随x的增大而减小。忽视了一句话“在各自象限内”，什么意思？就是说如果两个点不在同一象限内的图像上，就不一定是“y随x的增大而减小”的。因而，当几个点不在同一象限内的函数图像上时，千万不可乱用这条性质。

8、怎么办？一是直接代入解析式计算出y1,y2,y3的值，从而可以比较大小；二是用图像观察法，既直观又简便。如图，根据三个点的横坐标分别是：-2，1，3，可以在图像上大致找到点的位置，然后把它们对应的纵坐标也在y轴上标示出来，这样就一眼可以看出xyy1y3y2O3-21y1,y2,y3大小关系是：y1y3y2。因而，正确的答案为：k=;y1y3y2。本题启示：只要告诉了某几个图像的交点坐标，不管它是否含有待定字母，都应当代入解析式去建立关于待定字母的方程组，以便找到解决问题的突破口；对于反比例函数的性质的理解一定要准确，当k0时，双曲线的两个分支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x值的增大而

9、减小；当k0时，双曲线的两个分支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x值的增大而增大；对于跨象限的情况，一定要具体问题具体分析；解答函数问题，往往要结合图像去观察去分析，将数与形有机的结合起来是我们思考和解决函数问题的重要的思想与方法。3.易忽视反比例函数中的比例系数的几何意义。其实从反比例函数的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，这两垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积就是等于反比例系数的绝对值的；若从反比例函数图象上任意一点向某一坐标轴作垂线，以这点、垂足和原点为顶点的直角三角形的面积是等于反比例系数的绝对值的一半的。典型示例：填空：如图，点C，D是双曲线在第二象限内的分支上的两点，分别经过C

10、，D两点向x轴，y轴作垂线，如果S1+S2=6，则S3= 。常见错误：有填5的，也有填1的。CDxyoS1S3S2解析点评：本题主要考查反比例函数的图像与性质，以及象限内的点的坐标与点到坐标轴的关系。由于C，D两点都在双曲线上，并且第一个点到x轴和到y轴的距离正好是等于反比例系数的绝对值的，即S1+ S3= S2+ S3=5，所以S1+ S2+ 2S3=10，题目又告诉了：S1+S2=6，所以得：6+2S3=10，所以得：2S3=4，则S3=2。因而正确的答案就是: S3=2.本题启示：从反比例函数图像上任意一点分别向x轴，y轴作垂线，则两垂线与坐标轴所围成的矩形的面积是等于反比例系数的绝对值

11、的。这就是反比例系数的几何意义之一。就以上题为例来说明这个结论的论证过程，若设点C的横坐标为m，（m0），则C到y轴的距离就是m，由于点C在双曲线上上，所以其纵坐标就是：，所以点C到x轴的距离就是，因而两条垂线与两条坐标轴所围成的矩形的面积就等于：m×()=5;同理可证得点D向两坐标轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形的面积也是等于5的。这个值正好是反比例系数5的绝对值。从反比例函数的图像上的任意一点向某一坐标轴作垂线，并将这点与原点连接起来，则所围成的三角形的面积始终是等于反比例系数的绝对值的一半的。这也是反比例系数的另一几何意义。证明同上，不再赘述。本题还渗透有整体思想，图中的S1和

12、S2并不知道各是多少，但题目告诉了它们的和是5，那么在题目的解答过程中，无需分别去求S1和S2的值，就可以直接将其和S1+S2=6代入求解，从而得到S3的值，简单快捷，运用整体思想，优势明显。4.在使用待定系数法求含有两个及以上解析式的问题时，往往设成了同一个待定字母导致解题出错。典型示例：已知yab ，a 与 x+2 成正比例，b 与成反比例，并且当 x 2 时，y 6，当 x 3时，y 5，求 y 与 x 的函数关系式，并指出y是x的什么函数？常见错误：解：由于因为a 与 x+2成正比例，b 与成反比例，所以可设：a=k(x+2),(k0)， ，又因为yab ，所以，又当 x 2 时，y

13、6，当 x 3时，y 5，所以或，所以，所以y与x的关系是：或，它们都是一次函数。解析点评：本题主要考查正比例函数和反比例函数及一次例函数的概念及运用待定系数法来求函数解析式的方法。根据定义：一般地，形如y=kx(k 是常数，k0)的函数，叫做正比例函数；一般地，形如(k 是常数，k0)的函数，叫做反比例函数；所以由a 与 x+1 成正比例，b 与成反比例，根据定义可设a=k1(x+2),(k10)， ，这里要特别注意：一个正比例函数，一个反比例函数，在定义中虽然其系数都是k，但在同一道题目中，这两个系数是不一定相等的，所以在具体问题中，在设解析式时，是要必须区分开来的，因而一个设为k1,另一

14、个就应与其不同设为k2，上述错误就是没有区分这两个不同的系数才产生了的。由于题目最终是要求y与x的函数关系，所以通过代换，要把a，b替换掉，因而就得到：，又由于题目告诉了：当 x 2 时，y 6，当 x 3时，y 5，我们将这两对对应值代入得：所以得：，解得：，所以得：，显然由一次函数定义“一般地，形如 (k，b 是常数，k0)的函数，叫做一次函数”可判定y是x的一次函数。就这样问题得到了解决。正确解题过程是：解.因为a 与 x+2成正比例，b 与成反比例，所以可设：a=k1(x+2),(k10)， ，又因为yab ，所以，又当 x 2 时，y 6，当 x 3时，y 5，所以得：，解得：，所以

15、得：，显然y是x的一次函数。本题启示：本题主要考查了三个函数的定义，这三个定义中都有一个词：“形如”什么意思？就是“形式上看象这样的”意思。其实正比例函数也好，反比例函数也罢，不仅仅是指形式上的关系，更主要的还是在量的关系上，当然不是说一个量变大，另一个量也随之变大，就是正比例函数，这种理解是错误的，同样说一个量变大，另一个量随之变小，这就是反比例函数，这种理解也是极其不正确的。应该说，如果两个变量的商是等于一个非零的常数，那么这两个变量就是成正比例关系的；如果两个变量的积是等于一个非零的常数，那么这两个变量是成反比例关系的。至于一个量变大，另一个量变小，那不仅仅是正比例，反比例，还有一次函数

16、，二次函数，甚至于三角函数都有的变化趋势特性，变量变量不变叫变量吗？所以有些同学在初学时形成的狭隘的理解，必须予以纠正。待定系数法是中学要掌握的重要的思想方法之一，通常先设一个含有待定字母的关系式，然后根据题目中两个变量的几对对应值（有时是图像上的点的坐标），代入变量中，置换出一个只含有待定字母的二元一次方程组，解出这个方程组，就求出了待定字母（系数）的值，从而就求得了函数的解析式，这种先设函数关系式，再解含待定字母的方程组，最后得到所要求的函数关系式的方法，就叫待定系数法。是我们求函数关系式常用的方法。但要特别注意：若在一道题目中，要设两个或以上的解析式，一定要将所设的系数加以区分，千万不要

17、设成相同的字母了。求待定字母的过程，实质上是解二元一次方程组的过程，所以要根据其系数特征，灵活选取消元方法，也是要注意的地方，特征抓得准，求解就简单，出错率就低，反之出错率就高。【考点命题突破】考点分析: 必考点：根据已知条件确定反比例函数的解析式，理解并应用反比例函数的性质，能用反比例函数模型解决某些实际问题；常考点：在直角坐标系中画出反比例函数的图象双曲线，能用反比例系数的几何意义解决相关问题；少考点：反比例函数图象的对称性。中考热点：近年对反比例函数的考查有强化的趋势：题型更加新颖，综合难度更大，能力要求更高。常将反比例函数与其他函数（正比例函数、一次函数及二次函数），与几何图形（直角三

18、角形、矩形、圆等），与实际应用题结合出难度较大的综合题。考查方式：填空、选择题以及大量的解答题，包括图象信息题。考点1数形结合思想在反比例函数与正比例函数的图象中的应用（2011贵州贵阳）如图，反比例函数y1=和正比例函数y2=k2x 的图象交于A（-1，-3）、B（1，3）两点，若k2x，则x的取值范围是（ ）（A）-1x0 （ B）-1x1 （C）x-1或0x1 （D）-1x0或x1 解题思路：要求k2x时x的取值范围，其实就是要确定当函数时对应的自变量的值。一要抓住交点坐标，二要看清图象。要注意的是：要分象限去确定。显然第三象限内交点左边部分和第一象限交点以左且在y轴以右的部分，即自变量

19、相同时，曲线在直线上方的部分，因而x的取值范围就是x-1或0x1。答案：C考点2 反比例函数与一次函数的图象与性质、分式方程的解法、待定系数法的综合应用题（2011浙江台州）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点M，N，已点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为1，根据图象信息可得关于x的方程=的解为（ ）A. 3,1 B. 3,3 C. 1,1 D.3，-1解题思路：由于告知了点M的坐标为（1，3），所以这一对对应值应满足双曲线和直线的解析式，代入求得m=3,同时得到kb=3.所以反比例函数解析式为，又点N也在双曲线上，且N的纵坐标为1，代入得到它的横坐标为3，所以N（3，1）。而点N也

20、在直线上，所以得：3kb=1.由解得：，又m=3，所以方程=就是，是个分式方程，去分母，整理得：，解整式方程得：经检验，它们都是原方程的根。所以答案就为：A.答案：A考点3 用待定系数法确定函数解析式、由函数解析式求交点坐标、由关键点的坐标间接求三角形面积“三法”综合应用问题（2011四川成都） 如图，已知反比例函数的图象经过点（，8），直线经过该反比例函数图象上的点Q(4，)(1)求上述反比例函数和直线的函数表达式；(2)设该直线与轴、轴分别相交于A 、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结0P、OQ，求OPQ的面积解题思路：第一问先由已知条件的图象经过点（，8），代入可得反比例系数

21、k=4,又点Q(4，)也在双曲线上，所以可计算得：m=1，即点Q(4，1),再将点Q(4，1)代入一次函数解析式中得到：b=5，所以就得到双曲线的解析式为，直线的解析式为.第二问，要求OPQ的面积，关键是要求出点A和B两个点的坐标，方法是将直线和双曲线的解析式联立成方程组，解出它们的坐标，即得点P（1，4）和点Q（4，1），又易求出点点A为（5，0）、点B的坐标为（0，5），所以可用间接方法求出OPQ的面积。答案：解：（1）由反比例函数的图象经过点（，8），可知，所以反比例函数解析式为，点Q是反比例函数和直线的交点，点Q的坐标是（4，1），直线的解析式为.（2）如图所示：由直线的解析式可知图像

22、与轴和轴交点坐标分别为A（5，0）、B（0，5），由反比例函数与直线的解析式可知两图像的交点坐标分别为点P（1，4）和点Q（4，1），过点P作PC轴，垂足为C，过点Q作QD轴，垂足为D， SOPQ=SAOB-SOAQ-SOBP =×OA×OB-×OA×QD-×OB×PC=×25-×5×1-×5×1=.难点突破和易错警示难点突破： 用观察法：以交点为分界线，找出曲线在直线上方的部分所对应的横坐标的范围。易错警示：由于双曲线永远不与两坐标轴相交，所以在第一象限的部分一定不要写成“x<1”，还要大于0。易错警示：由于三步的三种方法，环环相扣，所以只有保证前面的计算不出错误，才能为后面提供正确数据，避免因小失大，前功尽弃。【中考典题回顾】例1（2011甘肃兰州）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上。若点A的坐标为（2，2），则k的值为（ ）A1B3C4D1或3xyOABCD答案：D例2（