第6节 变换群与同构

1、近世代数1/13第第6节节 变换群与同构变换群与同构l 变换群的定义变换群的定义l 群的同构群的同构l 群的群的Cayley定理定理l 补充补充近世代数2/13变换群的定义变换群的定义定义定义1 设设S是一个非空集合。一个从是一个非空集合。一个从S到到S的映射称的映射称为为S的一个的一个变换变换. 一个从一个从S到到S的满射、单射或双射的满射、单射或双射(一一映射、一一映射、一一对应一一对应)称为称为S的一个的一个满射变换满射变换、单射变换单射变换或或一一一一变换变换.近世代数3/13变换群的定义变换群的定义定义定义2 设设S是一个非空集合，从是一个非空集合，从S到到S的所有一一变换的所有一一

2、变换之集记为之集记为Sym(S)，则称，则称Sym(S)对变换的合成对变换的合成“ ”构构成成一个群，称为一个群，称为S上的上的对称群对称群，记作，记作(Sym(S), ).群群(Sym(S), )的任一子群称为的任一子群称为S上的一个上的一个变换群变换群.定义定义2 一个非空集合一个非空集合S的若干个一一变换关于变换的的若干个一一变换关于变换的合成合成“ ”作成的一个群称为作成的一个群称为S的一个的一个变换群变换群.近世代数4/13群的同构群的同构定义定义3 设设(G1, )和和( G2, )是两个群。如果存在一个双是两个群。如果存在一个双射射f: G1 G2 ，且，且 x, y G1 有有

3、 f(x y) = f(x) f(y), 则称群则称群G1 与与G2 同构同构，记为，记为G1 G2 .而称而称f 是是G1到到G2的一个的一个同构同构(映射映射). 同构是一个等价关系。同构是一个等价关系。定理定理1(群的群的Cayley定理定理) 任意一个群都同构于某个变任意一个群都同构于某个变换群。换群。近世代数5/13群的自同构群的自同构定义定义4 设设(G, )是一个群。如果存在一个双射是一个群。如果存在一个双射f: G G ，且对，且对 x, y G有有 f(x y) = f(x) f(y), 则称则称f 是是G的一个的一个自同构自同构(映射映射).例如例如: 群群G上的恒等映射上

4、的恒等映射IG是是G的一个自同构的一个自同构. 设设(G, )是一个交换群。是一个交换群。 x G，f(x) =x-1，则则f 是是G的一个自同构的一个自同构(映射映射). 定理定理2 设设(G, )是一个群。是一个群。 G 的所有自同构之集的所有自同构之集A(G) 对映射的合成运算构成一个群，称为对映射的合成运算构成一个群，称为G的的自同构群自同构群。近世代数6/13群的自同构群的自同构定理定理3 设设(G, )是一个群。是一个群。 G 的所有内自同构之集是的所有内自同构之集是G的自同构群得一个子群。称为的自同构群得一个子群。称为内自同构群内自同构群. 设设(G, )是一个群。是一个群。a是

5、是G的一个固定元素。的一个固定元素。 x G， f(x) =axa-1，则则f 是是G的一个自同构的一个自同构(映射映射)。称称f 是由是由a确定的确定的G的一个的一个内自同构内自同构。 G的其他自同构称为的其他自同构称为外自同构外自同构.近世代数7/13补充补充命题命题1 非一一变换关于变换的合成所作成的群是存非一一变换关于变换的合成所作成的群是存在在的的.例例 令令M=1，2，3，4，G=f，g，其中，其中 f(1)=f(2)=1, f(3)=3, f(4)=4; g(1)=g(2)=1, g(3)=4, g(4)=3.则则G关于变换的合成运算作成一个群。关于变换的合成运算作成一个群。(单

6、位元单位元e=f，f与与g均有逆元，即自身均有逆元，即自身)近世代数8/13补充补充命题命题2 设设M是任一非空集合，是任一非空集合，G是由是由M的若干个变换的若干个变换作成的群。证明：作成的群。证明： G是是M上的一个变换群当且仅当上的一个变换群当且仅当M上的恒等变换上的恒等变换IM G.证证 必要性必要性: 设设G是变换群，则是变换群，则G的单位元就是的单位元就是M上上的恒等变换的恒等变换IM . 设设f 是一个一一变换是一个一一变换且且f G，e是是G的单位元，则的单位元，则 x M，有，有f (e(x)= f e(x)= f(x)，而，而 f是单变换，是单变换，所以所以e(x)=x，即

7、，即G的单位元的单位元e就是就是M上的恒等变换上的恒等变换IM .M上的恒等变换上的恒等变换IM G.近世代数9/13补充补充命题命题2 设设M是任一非空集合，是任一非空集合，G是由是由M的若干个变换的若干个变换作成的群。证明：作成的群。证明： G是是M上的一个变换群当且仅当上的一个变换群当且仅当M上的恒等变换上的恒等变换IM G.充分性充分性: 设设M上的恒等变换上的恒等变换IM G，则，则IM 显然为显然为G的的单位元。令单位元。令 f G，则由于，则由于G是群，所以存在是群，所以存在f -1 G，使得，使得f f -1= f -1 f = IM 。下面证明下面证明f是一一变换。是一一变换

8、。 x M，则存在，则存在y= f -1(x) M使得使得 f(y)= f ( f -1(x)= f f -1(x)= IM (x)= x，所以所以 f是满变换；是满变换；若若 x，y M，且，且f (x)= f (y)，则，则f -1 (f (x)= f -1 (f (y)，即即IM (x)= IM (y)，亦即，亦即x = y，所以，所以 f是单变换是单变换.近世代数10/13补充补充命题命题3 设设M是任一非空集合，是任一非空集合，G是由是由M的若干个变换作的若干个变换作成的群。证明：成的群。证明： G是是M上的一个变换群当且仅当有上的一个变换群当且仅当有M上的单射上的单射f G.证证

9、必要性显然成立必要性显然成立 . 下证充分性下证充分性. 设设f 是一个单变换是一个单变换且且f G，e是是G的单位元，则的单位元，则 x M，有，有f (e(x)= f e(x)= f(x)，而，而 f是单变换，是单变换，所以所以e(x)=x，即，即G的单位元的单位元e就是就是M上的恒等变换上的恒等变换IM . 因此，由命题因此，由命题2知，知， G是是M上的一个变换群上的一个变换群.近世代数11/13补充补充命题命题4 设设M是任一非空集合，是任一非空集合，G是由是由M的若干个变换的若干个变换作成的群。证明：作成的群。证明： G是是M上的一个变换群当且仅当上的一个变换群当且仅当有有M上的满

10、射上的满射f G.证证 必要性显然成立必要性显然成立 . 下证充分性下证充分性. 设设f 是一个满变换是一个满变换且且f G，e是是G的单位元，则的单位元，则 y M，存在，存在x M 使得使得f (x)= y。于是于是 e(y)=e(f (x)= e f (x)= f (x)=y ，即即G的单位元的单位元e就是就是M上的恒等变换上的恒等变换IM . 因此，由命题因此，由命题2知，知， G是是M上的一个变换群上的一个变换群.近世代数12/13补充补充例例 令令M=1，2，3，4，G=f，g，其中，其中 f(1)=f(2)=1, f(3)=3, f(4)=4; g(1)=g(2)=1, g(3)=4, g(4)=3.则则G关于变换的合成运算作成一个群关于变换的合成运算作成一个群.(单位元单位元e=f，f与与g均有逆元，即自身均有逆元，即自身) f与与g既不是单变换也不是满变换既不是单变换也不是满变换.定理定理 设设A和和B是有限集，是有限集，A=B，则，则f:AB是单射是单射当且仅当当且仅当f是满射是满射.近世代数13/13补充补充变换群：变换群：由一一变换作成由一一变换作成非变换群：非变换群：只能由既不是单变换也不是满变换的变只能由既不是单变换也不是满变换的变 换作成换作成不是满变换的单变换不能构成群。不是满变换的单变换不能构成群。不是单变换的满变换不能构成群