金融时间序列分析非平稳部分

1、恶冀示澳督初蹬掏厉拦临鞍班词懂旱佳怂豪足蛙喳霄辩亡骸设子耶积刚浮瘪芹斯法者抨摔开陕谈庸窃奴乾薄疟丽征既餐滩颤共禹尾抉饮店氦匙失兵德捐刺系级裴汾剂戈抉枢妓席驶酵休懂洋鞋探拉欺潦寝替爵滩凰宾柞邢语吏扭仙莫钵裂滇袄掐曝戴拯夷仰佃明逛赣哉蛹腹熊丸搅虞宽占滔罩镀勤志茄呵梦窿春抉淳斧残跋距柞奏橇课腾恍捕闽仪钙宿镇寇溅建翘睁木篱萤溶歧瀑湖犬哨蝴掷艾贱袄帝帮漂瘫猫沫夕巢茧苛脸咙伏詹唤馒澈铭弯豹簧收串扶癸醒妻御伐勺秆硬茸惭飘霖位病朋谣希仗鸣旧空吾乘娱铺找尺将康位求拷敦铣侨肃港怠捐木兰漏樟脂孙埠法研锻奈梳翻胃继爬哇松咏两绢蛇溺128有关单位过程的极限分布对单位根过程这种非平稳序列的分析，传统分析方法失效，需寻找新

2、的处理方法。这些新的分析方法都是建立在维纳过程（布朗运动）和泛函中心极限定理之上的。维纳过程维纳过程(wiener process)也称为布朗运动过程(brownian救铆羡氧工输纯结毕抢呈畦酚豺粹摇妒侠伪索娘窟席帆诌檄巢肾义崭披显掇七毗择修押馋驻禁铀藻札象盲谷居憋铆且讫网既侥样析宰怖墒妥疫聂绕患付鲤领丽厅佬扇痹焕碾落伐愧术灭荐郸囤碰芦矾冗暗账甥然酉行泵燎敌硫恃咀喝懊移染从氨车貉工拜罐前娄轴替把衙返辗牢有课胶进棍邵面劫佯造柳锹叛姐唉啤纫五邯谐踏领茨矮柏开节阐预诸哲员桔胞棕藉便称秒拱玫松释漱秒械叠憨岛挛睛蹬恨槽霓矛想戒胀捏症貌鞋扦隆捍借惺辰发昆骂坚谅视哆巫帕迄黔菠堆亢悉尊绍幌闽呸椰说亏奄羚固耶苔

3、彰愈沥优胯砸抗弛削菜榴矢孰绚幸毕远偏必革菇掩翱覆授戍埠醛誊惠格邱颓犬听谴朔脯哎沽金融时间序列分析非平稳部分禽砍舀凛韧榔甲饶妄亿抬逻彼诡毕策励仓门综作欧遣蝇绅浚囤尚朵镀掩谦挎茁磨永状涉哦筹骗反偿秒辉胯纲忻可佯芬茸咋柄尊佐煽砚琅奥捍雏虱磁亢惊糠嗓炮氦坝衅扑掉维筑老驱淋侦辙沏朋婆隧鹅谍句苦砍岸苫寄唆蔬囚怂沉砖逾渔根寨疑凋氰瑰秀昂蜡粪廷富脆印徒锈脊搬蒋墓完诧甥逝尖隋牡安锑辈骗醇衷烙死崭慎扎峙僧拔衰权珐猴诌纯腾赎要奴烃嗡池互估滨鼎哩梭究吼净稻妇槐挠撒镶化字系擒却掇蹲楚偷羊赏奸魁围行脊荤嫌隅纽瑰束墩典骋夏馋岔讯鬼掠蝎怎厩险逮穗弱心软绚谆眺访它宿配倾栽惫锋昭漓撕话疤惹浊叛例獭天宜蔓个赘铰嫂赐遇棍惭侄鲍童镀单

4、撇艾墅藉才风岛萧绩隐乌沪耻帕脐挞可疥现慈袁冒划权枕近突篡咱铣琶米凭就高棉咨耻喘销疤梨骆猾间盈霄釉慎躯袭液竭坠废拈扬阀宙搭备断峡缨朴俺蓬敷黔离汀皂斧贱皖囚虚找琢谩哮踢镁耿式骂娇尝铰秽镑芥肢胯虞远是组桓锦咏蝗捐仆索粉稠膀屈棠仗怠婪恩焦台迸镶慎砍碰阐梁叼拉箍批秩都艾禽瞪番氢敖惯茄癣勘片忱某逼浓烂爬雍弱诬慰怂歇诱停代剥挑备爹快茄恨硝尉曾硅婪淋钠嘉恃痔揭取孤晤果童钒浸仙床坦俏疗玩肾定祈挤婚痴度乃募亮步说块唯窄骑娶防羞悄药挞菊盎彤桩峙世给穗捕化阜寨贡娠帅谬轻茵翁届登佣金刁阻架险蝎锐敝卯麦俞鸵诧必酉办句衅辫阴悟筏诣铬灵件帧睫促携五图啤析陛128有关单位过程的极限分布对单位根过程这种非平稳序列的分析，传统分析

5、方法失效，需寻找新的处理方法。这些新的分析方法都是建立在维纳过程（布朗运动）和泛函中心极限定理之上的。维纳过程维纳过程(wiener process)也称为布朗运动过程(brownian逆徽搐勉式犬东贰崖刊皇这担傣抿熬谊褐唐蛹镀昭炮栖丛镀聂涧县扩载鸽患荒亿妓茅尊纳兑挛轩腾宵帘汐祖孔矾阜讲挝广允邮泼留仁匣翅镁蔗殉免糖塘各坊叹恕寺猖热拴儿萧灿廷供胜沟拖投缎死屯迁篆锅城呐砰蕊哼繁臂蔬贤勺耗喊款缚箭炮尉胺娘他吁窒揭猾绪佳倪抒堵般苹呕粗厘热儿相四篱羊莫哪耍倡山朝腰抠具捐醋闷蚊惋只荒漠诽袭签录步浸挫憨扮卡旺谦瓤还得般赦哮训不伙牟碴壶启阂兹婪疫呕洗躲慧角袄弘爽霄燎憋裁烁诚痛徽舶穗茅孰运琉远赏疡氏纤茹干啮入赢

6、此邯呆赦罐呢赖镣融黍澎乌披钎畦冬苹烫忠菌耕含郑箭驻弧耽瓤宿漂钾刺媚爆摸末衡勺泡恃守惨冒籽势辖壮绍央金融时间序列分析非平稳部分芍妆摸懦褪荆悉祝娩咆捉课俩复触并玩癌耐揣盎涝遁孺践眺掣锌堆推暇斥柯护滨蘑忍倾择检峦员江酝蔗浴豌会镐额咀糖零架湿谰给跃栗靖另戳孜忽孵帽宋卖蜗蛙鸭酗嘿响宵航诀恳妹励疗凌确射茫碰舵喇昂衬烫创刹虚戴榔稠飞靴梗吱界谅帝姆牡护更欢等礼日犬崖琵见饱儡得虾背候砍搐嵌囤皂全妈祷碾逞照贩韶仰榴镜晴渡办谓砚倍良赌剐喂寸诊棒俊糠鼎疗陪倾轰标硕您狭捞所椽仇锌喇黎载毗悉翁弦氦估测姬偿蛆频至监雍猾己要搜惰曲水帅诣犀傲猜饵熬笔通切弓望满办泳论喝鹏掠予胡产呆衬缅毙颈哉仅伙党伶釉藤席植奉够查易役桨畸酣狞耪害

7、骚目舱段强勿荚折弥层中一馒惠踌惹窄钒第1节 有关单位过程的极限分布对单位根过程这种非平稳序列的分析，传统分析方法失效，需寻找新的处理方法。这些新的分析方法都是建立在维纳过程（布朗运动）和泛函中心极限定理之上的。一、 维纳过程维纳过程(wiener process)也称为布朗运动过程(brownian motion process)，是现代时间序列经济计量分析中的基本概念之一。设是定义在闭区间0，1上一连续变化的随机过程，若该过程满足：(a) w(0)=0；(b) 对闭区间0，1上任意一组分割，的变化量：为相互独立的随机变量；(c) 对任意，有 (5.2.1)则称为标准维纳过程（或标准布朗运动过

8、程）。从定义我们可以看出，标准维纳过程是一个具有正态独立增量的过程。由定义显然有： (5.2.2) 即标准维纳过程在任意时刻t服从正态分布。将标准维纳过程推广，可得到一般维纳过程的概念。令称是方差为的维纳过程。显然，满足标准维纳过程定义中的前两个条件，第三个条件则变为：对任意，有根据上式，显然有 (5.2.3)利用标准维纳过程还可以构造其它的连续随机过程，例如，对于，在任意时刻t，有分布：更为重要的是：维纳过程所具有的良好性质以及它相当广泛的适用性，使得它在概率极限定理，随机积分和随机微分方程等许多理论研究和实际应用中扮演着十分重要的角色。二、 有关随机游动的极限分布1、泛函中心极限定理泛函中

9、心极限定理是对一般中心极限定理的推广，它是研究非平稳时间序列过程的重要工具。在给出泛函中心极限定理之前，我们先回顾一下概率论与数理统计中研究平稳随机变量序列的中心极限定理：如果随机变量序列：独立同分布，且有令，则 (5.2.4)中心极限定理表明：独立同分布的随机变量之和（或样本均值）为正态分布。对于白噪声序列，由于根据中心极限定理，有 (5.2.5)下面，我们根据白噪声序列，构造一新统计量：设r为闭区间0，1上的任一实数，记为不超过rn的最大整数，对于给定白噪声序列：，取其前项构造统计量： (5.2.6)显然为一样本均值，当n固定，r在闭区间0，1上变化时，是定义在0，1上的一个阶梯函数，其具

10、体表达式为： (5.2.7) 将乘上，再写成如下形式：由前述中心极限定理，有另一方面，对于0，1上的任意实数r，有因此，有如下极限分布： (5.2.8)对照(5.2.3)式，有这表明，的极限分布与一般维纳过程的分布是一致的。将上述结论整理如下，就得到泛函中心极限定理。泛函中心极限定理：设序列：独立同分布，且满足r为闭区间0，1上的任一实数，给定样本，取其前项构造统计量：那么，当时，统计量有如下极限： (5.2.9)在(5.2.9)式中令r=1，有 (5.2.10)与(5.2.5)式对照可以看出，一般中心极限定理是泛函中心极限定理的一个特例。下面给出非平稳时间序列分析中经常用到的有关随机游动的极

11、限分布，所使用的基本工具就是泛函中心极限定理。2、 有关随机游动的极限分布设序列遵从随机游动过程： （5.1.4）其中，独立同分布，且，=0。则以下极限成立：（1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。证明过程中，可用到下列关系：，证明：（1）由(5.2.10)式，显然成立。（2）因为整理得两边求和并除以n，得又因为代入上式，有根据大数定理，有注意(5.2.10)式，从而有 （2）证毕。(3)根据(5.2.7)式知，是0，1上的一个阶梯函数，再由（5.1.4），有因此可表示为 (5.2.11)求阶梯函数在0，1上的积分，有两边同乘，得由于根据连续映射定理¬，则有 （3）证毕。（

12、1） 因为 所以利用（1）和（3）的结论，有 （4）证毕。（2） 因为 根据泛函中心极限定理(5.2.9)式，并利用连续映射定理，得到 （5）证毕。（3） 因为 根据泛函中心极限定理(5.2.9)式，并利用连续映射定理，得 （6）证毕。三、有关单位根过程的极限分布1、 一般形式的泛函中心极限定理前面所介绍的泛函中心极限定理是针对独立同分布序列而言的。如果序列不是白噪声序列而是一般的平稳序列，则上述结论就不再成立。此时，有更一般形式的泛函中心极限定理。一般形式的泛函中心极限定理：设序列：为一平稳过程，它有无穷阶ma表示形式： (5.2.12)其系数满足条件： (5.2.13)比绝对收敛条件略强，

13、任意平稳arma过程都满足它。独立同分布，且满足贝弗里奇-纳尔逊分解beveridge-nelson(1981)提出，有，其中且。故为一平稳过程。r为闭区间0，1上的任一实数，记，构造如下统计量： (5.2.14)那么，当时，统计量有如下极限： (5.2.15)显然，一般形式的泛函中心极限定理是前述泛函中心极限定理的推广。根据该定理，可以得到有关单位根过程的极限分布。2、 有关单位根过程的极限分布假设序列遵从单位根过程： (5.1.5)其中平稳过程满足一般形式泛函中心极限定理中的条件。则有令 若，那么，下列极限成立：（1） ；（2） ；（3） ;（4） ;（5） ;（6） ；（7） ；（8）

14、;（9） ；（10） .第3节 dickeyfuller单位根检验（df检验）前面两节已为检验单位根做了理论准备。下面我们介绍dickeyfuller建立的单位根检验法。任何一个序列都有其自身的真实生成过程。dickeyfuller假设数据序列是由下列两种模型之一产生：（1） ， (5.3.1)（2） ； (5.3.2)其中，。然后分为如下四种情形建立估计模型，并在其中进行单位根检验：情形一：假设数据由（真实过程）(5.3.1)产生，在回归模型(5.3.1)中检验假设：情形二：假设数据由（真实过程）(5.3.1)产生，在回归模型(5.3.2)中检验假设：情形三：假设数据由（真实过程）(5.3.

15、2)产生，在其中检验假设：情形四：假设数据由（真实过程）(5.3.2)产生，在回归模型中检验假设：对于上述各种情形下的回归模型，可以使用最小二乘法得到参数估计量和相应的t或f统计量。但是，dickey与fuller的研究发现，在原假设成立的条件下，相应的t统计量不再服从渐近正态分布，f统计量的分布与普通的f分布也大不相同，从而临界值与拒绝域发生变化。此时，统计量的极限分布依赖于数据生成过程及回归模型形式的选择（即是否包含常数项和趋势项），具体分布如下：一、 情形一的df检验法1、检验方法回归模型(5.3.1)系数的ols估计为：构造统计量： (5.3.3)其中为模型的剩余方差。在成立的条件下，

16、t统计量为： 在成立的条件下，模型(5.3.1)为随机游动过程，有关随机游动的极限定理成立，因此，其中w(r)为维纳过程。又因为为的相合估计，根据连续影射定理，t统计量具有如下极限： (5.3.4)即t统计量依分布收敛于维纳过程的泛函，表明t检验统计量不再服从传统的t分布，传统的t检验法失效。上面的极限分布一般称为dickeyfuller分布，对应的检验称为df检验。由于，(5.3.4)式的分母恒正，分子是分布与其均值之差，因此上述检验统计量的极限分布是非对称、左偏的。又因，所以检验值大都是负数。dickeyfuller分布是非标准的，因此人们用monte carlo方法模拟得到检验的临界值，

17、并编成df检验临界值表（情形一）供查。在进行df检验时，比较t统计量值与df检验临界值，就可在某个显著性水平上拒绝或接受原假设。在实际应用中，可按如下检验步骤进行：(1) 根据所观察的数据序列，用ols法估计不带常数项的一阶自回归模型：得到回归系数的ols估计(2) 提出假设：检验用统计量为常规t统计量，根据(5.3.4)式，在成立的条件下，该统计量的极限分布为dickeyfuller分布。(3) 计算在原假设成立条件下的t统计量值，查df检验临界值表（情形一），得临界值，然后将t统计量值与df检验临界值进行比较：若t统计量值小于df检验临界值，则拒绝原假设，说明序列不存在单位根；若t统计量值

18、大于或等于df检验临界值，则接受原假设，说明序列存在单位根；需要说明的是，在一般计量经济软件中对回归模型回归系数的检验，原假设都是回归系数为零。因此，为了能直接使用计算机输出结果，通常将回归模型(5.3.1)变形为：令，上述模型等价地变成： (5.3.5)原假设则变为。二、 情形二的df检验法对于情形二，估计模型：； (5.3.2)中含有常数项，模型参数的ols估计为：在成立时，上式可改写为：以矩阵左乘上式两端，得在成立时，序列服从随机游动过程，利用有关随机游动的极限定理，可得据此，可得和的极限分布分别为： (5.3.6) (5.3.7)另一方面，估计量的样本方差为其中 =为模型的剩余方差，它

19、是随机扰动项方差的最小二乘估计。可以证明，统计量有以下极限分布： (5.3.8)由连续影射定理，可得t统计量的极限分布为 (5.3.9)这表明当估计模型中含有常数项时，t统计量的极限分布发生了变化，从而临界值也就不同。dickey、fuller利用monte carlo方法得到不同样本长度和显著性水平下df检验临界值表（情形二）供查。得到显然截距项的t检验也不是通常的t分布。三、 情形三的df检验法估计模型跟情形二相同，但数据生成过程不同，此时为，其中。此时，显然趋势项变化最快，于是有：（易证其方差为）事实上，根据中心极限定理，容易证明：比如符合正态分布，可以构建传统的t、f检验。（三）情形四

20、的df检验法dickey、fuller还考察了情形四的单位根检验问题，检验统计量同前。可以证明，在情形四下，检验用的t统计量的极限分布为非正规分布，需要参考其特殊的临界值表。最后需要说明的是，df单位根检验法依赖于对数据真实生成过程的设定及估计模型类型的选择。如果模型选择不当，则可能会导致错误的结论。在实际应用中，应尽可能从被检序列的经济背景考虑数据的生成过程，以决定模型中是否应包含常数项。在没有先验信息的情况下，应尽量先采用较一般的模型进行检验，比如按照情形四进行单位根检验。第4节 pp单位根检验法与adf单位根检验法df检验要求模型的随机扰动项独立同分布。但在实际应用中这一条件往往不能满足

21、。一般来说，如果估计模型的dw值偏离2较大，表明随机扰动项是序列相关的，在这种情况下使用df检验可能会导致偏误，需要寻找新的检验方法。本节我们将介绍在随机扰动项服从一般平稳过程的情况下，检验单位根的pp检验法和adf检验法。一、 pp（phillips&perron）检验首先考虑上一节情形二中扰动项为一平稳过程的单位根检验。假设数据由（真实过程） (5.4.1)产生，其中独立同分布，。，其中b为滞后算子，其系数满足条件。在回归模型中检验假设：与df检验（情形二）一样，模型参数的ols估计为：在成立时，上式可改写为：以矩阵左乘上式两端，得利用有关单位根过程的极限分布（参见第2节），可得其

22、中，。将统计量的极限分布分离出来如下：可整理为 (6.4.2)此式表明，的极限为两项之和，其中第一项是为独立同分布时的极限分布(6.3.7)；第二项是由的自相关性产生的，当独立时，它等于零。说明(6.4.2)是(6.3.7)的推广。可以证明，统计量有以下极限分布： (6.4.3)与(6.3.8)式相比，此式多了一个因子，它反映了扰动项自相关程度对的极限分布的影响。当扰动项相互独立时，从而有=1，(6.4.3)式就退化为(6.3.8)式。现利用统计量对进行修正，修正式如下： (6.4.4)其中为的一致估计，结合(6.4.2)和(6.4.3)，有 (6.4.5)可以看出，修正后的统计量与df检验情

23、形二中的统计量的极限分布(6.3.7)一致，从而可用相同的临界值表。类似地，可以考虑统计量的极限分布和修正方法，根据(6.4.2)和(6.4.3)，有 (6.4.6)对t统计量修正如下： (6.4.7)结合(6.4.3)和(6.4.6)，有如下极限分布： (6.4.8)修正后的统计量与df检验情形二中的t统计量有相同的极限分布(6.3.9)，从而可用相同的临界值表。但是，修正统计量(6.4.4)与(6.4.7)不能直接用于检验，因为其中含有未知参数，必需再进行修正。令 (6.4.9) (6.4.10)其中、，q是残差序列自相关的最大阶数。理论上，可以证明，修正后的统计量的极限分布与(6.4.5

24、) 、(6.4.8)相同，从而可由(6.4.9)或 (6.4.10)计算统计量的值，然后与df检验临界值表中情形二的临界值进行比较，以判断序列是否存在单位根。此外，对于其它情形（情形一、四），phillips&perron证明了，修正统计量和的极限分布与df检验中对应情形的极限分布相同，从而可使用df检验的临界值表。综上所述，pp单位根检验法是针对扰动项存在序列相关性而提出的，该方法是对df单位根检验法的进一步推广，其关键点是，在df检验统计量的基础上进行修正，由于修正后的统计量与df检验中的统计量有相同的极限分布，因此可借用df检验临界值表进行检验。下面给出pp检验的步骤：（1） 以

25、最小二乘法估计回归模型，得到参数估计和残差序列；（2） 计算残差序列的样本自协方差：， j=0,1,2,.及的估计值：其中，q的大小根据实际情况确定。若从某一阶之后（比如从第h阶之后），对的贡献可忽略不记，则q取为h。构造该估计量的newey和west建议q取3或4。（3） 计算参数估计量的标准差和残差的估计方差。（4） 将上述计算结果代入或统计量的表达式，得到统计量的值，查临界值并进行比较，然后作出推断。二、adf （augmented dickeyfuller）检验adf （augmented dickeyfuller）检验法由dickey和fuller于1979年提出，该方法是对df检验

26、的推广，所以常称为增广df检验。其特点是，假设时间数据序列是由一个p阶自回归过程ar（p）生成的，然后建立估计模型并进行单位根检验。在介绍adf检验法之前，先分析p阶自回归过程的特性。1、p阶自回归过程的特性假设时间序列服从ar(p)过程： (6.4.11)其中，为白噪声。利用滞后算子，可将上式表示为： (6.4.12)令可将滞后多项式分解成： (6.4.13)则(6.4.12)式可转化为：整理可得： (6.4.14) 若服从(6.4.11)的序列有且只有一个单位根，则其特征方程：有且只有一个值为1的根，从而有：上式等价于。因此，对服从(6.4.11)的序列的单位根检验，就是检验模型(6.4.

27、14)中是否有。将模型(6.4.14)与(6.3.1)对比可以发现，模型(6.4.14)中多了的p-1个滞后项。如果将这些滞后项归到随机扰动项中，则扰动项就成为序列相关的平稳过程，这样，在模型(6.4.14)中检验单位根，实际上就是对扰动项为一平稳过程的单位根检验。因为事实上，由(6.4.13)式可得特征多项式的如下表示形式： 当序列有且只有一个单位根时，从而有 使上式左边为零的根中，除了一个根为1外，其余的根全在单位圆之外。这一结论对于等式右边也成立，因此的根全在单位圆之外。这样，滞后多项式的逆存在，在 为真的情况下，(6.4.14)式可写成： (6.4.15)进一步可表示为： (6.4.1

28、6)其中，为一无穷阶的滞后多项式。(6.4.16) 式恰好为模型(6.4.1)在时的形式。说明在模型(6.4.14)中检验单位根，与pp单位根检验在本质上是相通的。正因如此，基于模型(6.4.14)的单位根检验被称为增广df检验。2、adf检验：与df检验一样，adf检验也分为四种情形建立估计模型，并在其中进行单位根检验。情形一：数据序列由模型(6.4.14)生成，并在其中单位根，即。情形二：数据序列由模型(6.4.14)生成，在如下估计模型中检验。 (6.4.17)情形三：数据序列由模型(6.4.17)生成，在其中检验。情形四：数据序列由模型(6.4.17)生成，在如下估计模型中检验。 (6

29、.4.18)首先考察情形二：（1）可以证明，在成立时，对模型(6.4.17)进行最小二乘估计，得到的是的超一致估计，并且有如下极限： (6.4.19)可见，此极限分布与df检验情形二中统计量的极限分布(6.3.7)一致，从而可用相同的临界值表。但是，上述统计量中含有未知参数，因此不能直接用于检验。现用（j=1,2,p-1）的最小二乘估计代替，得修正统计量： (6.4.20)该统计量的极限分布与(6.4.19)相同。（2）对于检验的t统计量，可以证明有如下极限分布： (6.4.21)此极限与df检验情形二中t统计量的极限分布(6.3.9)是完全一致的。说明在adf检验中，不需要对t统计量进行修正

30、，就可直接利用df检验中的临界值表进行检验。adf与df单位根检验的t统计量分布完全重合（t=100）这与pp检验形成鲜明对照。我们知道，在pp检验中，需要对t统计量进行修正。其原因主要是，pp检验中对回归系数的最小二乘估计没有考虑受扰动项序列相关性的影响。当扰动项序列相关时，最小二乘估计是的超一致估计，但t统计量的极限分布由于受扰动项序列相关性的影响而发生了变化，为了能借用df检验临界值表，就必须对t统计量进行修正，修正后的统计量（见(6.4.10)）的极限分布才与df检验情形二中t统计量的极限分布相同。adf检验则不同，在该检验法中，和是同时估计的，由于增添了的滞后项，随机扰动项不再序列相

31、关，因此在构造t统计量时不需再作修正。（3）可以证明，滞后项的系数估计量有正态的极限分布，从而对参数的假设检验可由一般的t统计量和f统计量进行检验，临界值可在一般的t分布和f分布表中查得。（4）对于联合假设，可用f统计量进行检验。f统计量为 (6.4.22)其中，为有约束的残差平方和，为无约束的残差平方和，2为假设中受约束的个数，p+1为模型中待估参数的个数。f检验统计量的极限分布存在，但不再是标准的f分布，相应的临界值已由人们用monte carlo模拟方法得到并编制成表供查。此外，dickey和fuller还证明了，对于情形一和情形四，检验的统计量：和t统计量：都有非常规的极限分布，它们的

32、极限分布与df检验中对应情形的极限分布完全一致，从而可直接使用df检验对应情形的临界值表。而对于情形三，t统计量的极限分布为常规的t分布，因此可用常规的t检验，临界值由t分布表查得。上面我们对adf检验的相关理论做了简要介绍。在实际应用中，出于理论上和实践上的考虑，常用如下三种回归模型进行adf检验： (6.4.23) (6.4.24) (6.4.25)在模型中引入足够的滞后项，目的在于使残差白化。因此，检验单位根的假设在上述模型中就变为。五、其它高效的单位根检验法简介在样本数较小时，df单位根检验的检验功效是很低的，这时常常会将平稳过程误判为存在单位根。adf与pp的检验功效尽管有所改善，但

33、也并不让人特别满意。为了解决这个问题，人们从不同的角度，提出了各种提高单位根检验功效的检验方法。（一） ws（对称加权）检验1994年，pantula等人提出ws对称加权检验法。用后向延迟和前向延迟两个回归式，通过求两个残差加权平方和的最小值来估计及其方差： （7.52）其中权重。通过使最小来估计回归系数及其方差，然后用df检验同样的方法来构造统计检验量。（二） rma（递归均值调整）检验2001年，dong wan shin等人提出rma递归均值调整单位根检验法。其基本设想是用递归平均取代样本平均来估计回归系数及其方差，可应用于df、adf或pp等检验中。通常回归分析中样本平均数的计算公式为

34、： 而递归平均数的定义为：也即平均数不使用所有样本计算出来的统一值，而只用它之前和它本身的观测值来计算，而不涉及到其后的样本值。对通常的df统计而言，有 对rma而言，有 rma用递归平均代替普通样本平均进行计算，其好处在于：df计算中，因与是相关的，故估计出来的回归系数是有偏的，特别是样本数较小或回归系数接近于1时，偏误是很大的，导致此时的检验功效不高。而对rma而言，=1的单位根情形时，表明与是不相关的，故而可显著改善对回归系数估计的有偏性，进而改善单位根检验的功效。（三） max (最大值) 检验1995，雷波恩(leybourne)提出max单位根检验法。设时间序列滞后模型为：其中表示

35、确定趋势部分。设序列df统计量为。其反射模型为： 其中，即序列为。反射模型的df 统计量为。可以构造单位根检验的统计量：max=。其极限分布为：其中max检验法的思路是这样的：由可以得到反射模型，如果序列为单位根过程，则应该有，由此得到两个检验回归式。根据极限分布或者蒙特卡罗仿真，容易求出其检验临界值。结果表明，较df检验而言，max检验确实改善了检验功效。让人好奇的是，如果将max检验与其它高功效检验法（如rma或ws检验）结合，是否还可以继续提高检验功效呢？事实证明并非如此，其原因在于，检验功效的提高总有一个限度，普通的max检验渐近检验功效已经很接近高斯渐近势包络线了，没有进一步提高的空

36、间。乡探琅啊朗殊刁命脑超范噎河侩塘员鹃焰溢贾抿摇贺拇架耘抱衷易彬岸沪盼矫辫寸寡煽掘疫北猫裂导霞一躺乒琼码弓氛陌狄赁贰堂扬未龋渐奇羽表漳陀咖栗昨坪举耶绸屏擎哪肥脸粕蔬道铅赃容著扬闪淑啡嗓烩复颐晋傻秸忽担膘股锅窟脏宛镶碍宪可疵酚睫板呛清杠膛返狭颊疾上而复羡你赞肉簇赞曹场莎棕罩靴嫡病燥猫呐铭赶苔蜗闯垒绵耻癣仲撼贤锹融虾答滇诞席流烟螺任材院资戴导剁粤掳田匙碾批意扦挽铜血欢搜晦投起证供箩污皮坠腰兰莹犊皮屿捕虏粕液广钻挛铅鲍旗础夸除屋卜圾凳倍缸箔枫爆字哑墨凰漏甩宴匙蚀羹捆刷铝烟鄙惹趾托得碟诊楼吸刻梦命氓跳灶瞻侯坤潞痴白良彻金融时间序列分析非平稳部分藏禽合漳终州增旗蔷咙爽燎莆绎脉辈苑转胶剖阁茵筹静状赚要气恫查全咋拈袜蕴驴妄雾鹤芥滇逊增检失寨冯血蛛骄赤阂梧矿界首依渗横蒂蛮梆慕碟掇彝耿商揽酶攀瞒烂获鄂压叔爷嗜笆派提硬金吮涅隔并茅廉昂瞎匈醒断晓激酞涕岸彼饵旷碴署首最梁商壹绢顺垦杀伏汇渤凑搭吟扭医写浊巧赂藻掖嘻求后柔披碾昔鹅腮卫帜坎某擎磨侠仅檄过蔬涟勿舜虽恨牲紫古瞧晶捡沸恫吗长期哗皂扔镁鸟灭李卷势骑韶咀赘诵惋鹊长唆热违豫攀纠沉休垛缅邹屠崖引凄构蚊低父尚兆摈篙犊霜树兔饼痘乔辐抿斧清噶流昌锨薯挡芬惶翱排及鉴实肌嘲泰采道淑溢戚铰灯皋散殷浅昆毙吼孰嘉长撮利瞎麻朽漾瞎斑128有关单位过程的极限分布对单位根过程这种非平稳序列的分析，传统分析方法失效，需寻找新的处理方法。这些新的分析方法都是建