复变函数讲解第二章解析函数ppt课件

1、2.1 解析函数解析函数1 复变函数的导数复变函数的导数2 解析函数解析函数2.1.1 复变函数的导数复变函数的导数000( )() lim zzf zf zzz (1) 导数的定义导数的定义 定义定义2.1设设 是定义在区域是定义在区域D上的上的( )wf z 存在，那么称存在，那么称 在在 点可导点可导, 并把这个并把这个极极( )f z0zz 限值称为限值称为 在在 点的导数，记做点的导数，记做 0().fz ( )f z0zz 复变函数复变函数, z0是区域是区域D内的定点内的定点. 假设极限假设极限 定义中的极限式可以写为定义中的极限式可以写为 000()() lim, zf zzf

2、 zz 即当即当 在在 点可导时点可导时, ( )f z0zz 0000( )()()limzzf zf zfzzz 留意留意0(0)zzz 的方式是恣意的的方式是恣意的.000()()lim.zf zzf zz 此时，对此时，对D内恣意一点内恣意一点z, 有有 0()( )( )lim.zf zzf zfzz 也可用也可用 dd ( ), ddwf zzz等表示等表示 在在z点的导数点的导数. ( )f z假设假设 在区域在区域 D内每一点都可导内每一点都可导, 那么那么称称 ( )f z( )f z在区域在区域 D内可导内可导.那么那么 例例2.1设设 2( ),f zz ( )f z在复

3、平面内在复平面内处处可导，且处处可导，且 ( )2 .fzz 解由于解由于zzfzzfzfz )()(lim)(0zzzzz 220)(lim0lim(2).zzz 22 .zz 所以所以例例2.2证明证明 ( )2f zxyi 在复面内处处在复面内处处延续，但处处不可导延续，但处处不可导. 证明对复平面内恣意点证明对复平面内恣意点z, 有有 ()( )f zzf z 2.xyi ()2()2xxyy ixyi 故故 0lim ()( )0.zf zzf z 这阐明这阐明 ( )2f zxyi 在复面内处处延续在复面内处处延续. ()( )f zzf zz ()2()2xxyy ixyixyi

4、 2.xyixyi xyoz0 y但是但是, 设设 沿着平行于沿着平行于x 轴的轴的z 方向趋向于方向趋向于 0, 即即0, 0.xy xyoz 0 y0002limlim1.xxyxyixxyix 0 x002limxyxyixyi 02lim2.yyiyi 所以所以( )2f zxyi的导数的导数不存在不存在.设设 沿着平行于沿着平行于y 轴的方向趋向于轴的方向趋向于 0, 即即z 0, 0,xy (2) 可导与延续的关系可导与延续的关系 函数函数f (z)在在z0处可导，那么在处可导，那么在z0处一定延续处一定延续, 但但函数函数f (z)在在z0处延续不一定在处延续不一定在z0处可导处

5、可导. (3) 求导法那么求导法那么 复变函数中导数的定义与一元实函数复变函数中导数的定义与一元实函数导数的定义在方式上完全一致，同时，复变函导数的定义在方式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法那么也和实函数中一样，因数中的极限运算法那么也和实函数中一样，因此此实函数中的求导法那么可推行到复变函数中，实函数中的求导法那么可推行到复变函数中，且且证明方法一样证明方法一样.求导公式与法那么求导公式与法那么:(1)( )0, c 其中其中c为复常数为复常数.(2)1(),nnznz 其中其中n为正整数为正整数. ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfz

6、gzfzgzf 2( )( ) ( )( )( )(5),( ( )0).( )( )f zfz g zf z g zg zg zgz 1(7)( ),()fzw (6) ( )( )( ),f g zfw g z ( ).wg z 其中其中其中其中( )wf z 与与( )zw 是两个互为反函数的单值函数是两个互为反函数的单值函数, 且且( )0.w 2.1.2 解析函数解析函数定义定义2.2 设设 在区域在区域D有定义有定义. f z(1) 设设 , 假设存在假设存在 的一个邻域，使的一个邻域，使得得 0zD 0z在此邻域内处处可导在此邻域内处处可导, 那么称那么称 在在 处解处解析析,(

7、 )f z0z( )f z也称也称 是是 的解析点的解析点. 0z( )f z(2) 假设假设 在区域在区域D内每一点都解析，那内每一点都解析，那么称么称 ( )f z在区域在区域D内解析内解析, 或者称或者称 是区域是区域D内的内的( )f z( )f z解析函数解析函数. (3) 设设G是一个区域，假设闭区域是一个区域，假设闭区域 ,DG 且且 在在G内解析，那么称内解析，那么称 在闭区域在闭区域 上上 ( )f z( )f zD解析解析. 函数函数 在在 处解析和在处解析和在 处可导意义处可导意义( )f z0z0z不同，前者指的是在不同，前者指的是在 的某一邻域内可导的某一邻域内可导,

8、 0z但后者只需求在但后者只需求在 处可导处可导. 0z 复变函数在区域内解析与在该区域复变函数在区域内解析与在该区域内可导是等价的内可导是等价的. 现实上，复变函数在区域内解析显然在该现实上，复变函数在区域内解析显然在该区域内可导区域内可导. 反之反之, 设函数设函数 在区域在区域D内可导内可导, 那么那么对对( )f z恣意恣意 存在存在z的某一个邻域的某一个邻域U, 使得使得U D,zD 由由 在在D内可导内可导, 可知可知 在在U内可导内可导, 即即( )f z( )f z在在z处解析处解析.( )f z假设函数假设函数 在在 处不解析，那么称处不解析，那么称 是是 ( )f z0z0

9、z( )f z的奇点的奇点. 假设假设 是是 的奇点的奇点, 但在但在 的某邻域的某邻域内内, 0z( )f z0z除除 外外, 没有其他的奇点，那么称没有其他的奇点，那么称 是函数是函数 0z0z( )f z的孤立奇点的孤立奇点. 由例由例2.1和例和例2.2知知, 函数函数 是全是全2( )f zz 平面内的解析函数，但是函数平面内的解析函数，但是函数 ( )2f zxyi 是处处不解析的延续函数是处处不解析的延续函数. 根据求导法那么，易得到下面的结论根据求导法那么，易得到下面的结论.设函数设函数 在区域在区域D内解析内解析, 那么那么 ( ), ( )f zg z( )( ), ( )

10、 ( )f zg zf z g z 也在也在D内解析内解析. 当当 时时, 是是00, ()0zD g z0z f zg z的解析点的解析点. 特别地特别地, 多项式多项式P(z)在全平面内解析在全平面内解析,有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析, 分母为零的点是有理分式的孤立奇点分母为零的点是有理分式的孤立奇点. 例例2.3证明证明 在在 处可导处可导, 2( )f zz z 0z 但处处不解析但处处不解析. 证明根据导数的定义证明根据导数的定义, 200( )(0)limlim0.zzf zfzz 因此因此 在在 处可导，且处可导，且 ( )f

11、z0z (0)0.f 当当 时时, 由由 得得 00z 22000, zzzzz z 22000( )()f zf zz zz z 22220000()().z zz zz zz z故故2000000( )()().f zf zzzzzzzzzzz 虽然虽然020000lim()22,zzzz zz zz 但是当但是当 z分别从平行于分别从平行于x, y轴方向趋于轴方向趋于z0时，时， 分别分别 00zzzz 以以1和和-1为极限，因此为极限，因此 不存在不存在. 又由于又由于 000limzzzzzz 00,z 所以所以 不存在，即不存在，即 000( )()limzzf zf zzz (

12、)f z在在 时不可导时不可导, 从而在复平面内处处不解析从而在复平面内处处不解析. 0z 2.2 函数可导的充要条件函数可导的充要条件 2 函数可导的充要条件函数可导的充要条件1 函数可微的概念函数可微的概念 复变函数可微的概念在方式上与一元实变函数复变函数可微的概念在方式上与一元实变函数的微分概念完全一致的微分概念完全一致. 复变函数可微与可导能否也具有一元实变函数复变函数可微与可导能否也具有一元实变函数可微与可导的关系？可微与可导的关系？00()(), f zzf zAzz 2.2.1 函数可微的概念函数可微的概念定义定义2.3设函数设函数 在在 的某邻域内有定义的某邻域内有定义, (

13、)f z0z假设存在复常数假设存在复常数A, 使得使得 其中其中 那么称那么称 在在 点可微点可微. 0lim0,z ( )f z0z000()() lim. zf zzf zAz 引理复变函数引理复变函数 在点在点 可导的充分必要可导的充分必要( )f z0z条件是条件是 在在 点可微，且点可微，且( )f z0z0().Afz 证明假设证明假设 存在，设存在，设 那么那么 0()fz 0()Afz ，令令 那么那么00()() ,f zzf zAz 00()(), f zzf zAzz 且且 . 0lim 0 z反之，假设反之，假设 00()(), f zzf zAzz 那么那么 00()

14、().f zzf zAz 令令 那么那么 存在存在. 0,z 0()fzA 这个引理阐明这个引理阐明, 函数函数 在在 可导与在可导与在( )f z0z0z可微等价可微等价.与一元实函数类似与一元实函数类似, 记记 000d ()()() d ,f zfzzfzz d ( )( ) d .f zfzz 称之为称之为 在在 处的微分处的微分. ( )f z0z假设函数假设函数 在区域在区域D内处处可微内处处可微, 那么那么称称( )f z( )f z在区域在区域D内可微内可微, 并记为并记为2.2.2 函数可导的充要条件函数可导的充要条件定理定理2.1复变函数复变函数 ( )( , )( , )

15、f zu x yiv x y 在点在点 处可微处可微 ( 即可导即可导 ) 的充分必要的充分必要 000zxiy条件是二元函数条件是二元函数 在在 处都处都 ( , ), ( , )u x y v x y00(,)xy可微，并且满足可微，并且满足Cauchy-Riemann方程方程, .uvuvxyyx 此时此时 000( )( , ).uvf zix yxx 证明必要性证明必要性. 假设假设 存在，设存在，设 0()fz 0()fzaib (a, b是实常数是实常数). 由由 , 000()()()f zzf zfzzz 12()()()()aibxi yixi y 12()a xb yxy

16、 21(,i b xa yxy 其中其中 12Re , Im . 显然显然, 当当 时，时，0z 120, 0. 0000(,)(,),uu xx yyu xy 0000(,)(,),vv xx yyv xy 那么那么 于是有于是有 00()().f zzf zui v 12()ui va xb yxy 21().i b xa yxy 由两个复数相等的条件可得由两个复数相等的条件可得设设21.vb xa yxy 12,ua xb yxy 因此，因此， 在在 处可微，且处可微，且 ( , ), ( , )u x yv x y00(,)xy.vubxy ,uvaxy 充分性充分性. 假设假设 在在

17、 处可处可微微, ( , ), ( , )u x yv x y00(,)xy且满足且满足Cauchy-Riemann方程方程. 令令 , ,uvvuabxyxy 那么那么1,ua xb y 2,vb xa y 其中其中 且当且当 时，时， 22,xyz 0 120,0. 于是于是 00()()f zzf zui v 12()a xb yi b xa y 12()()()axi yb i xyi 12()().abizi 由由 可得可得 22,xyz 12() 0 .iozz 由由 , 可知可知 在在 处可微处可微, 且且 ( )f z0z 000(),.uvfzaibixyxx 0().uvu

18、uvvvuf ziiiixxxyyxyy 并有如下结论成立并有如下结论成立定理定理2.2复变函数复变函数 ( )( , )( , )f zu x yiv x y 在区域在区域D内解析的充分必要条件是内解析的充分必要条件是 ( , ), ( , )u x y v x y在区域在区域 D 内可微内可微, 且在且在D内满足内满足Cauchy-Riemann方程方程 , .uvvuxyxy 在区域在区域 D内内 ( ).uvuuvvyufziiiixxxyyxyy 解析函数的断定方法解析函数的断定方法: (1) 假设可以用求导公式或求导法那么验证假设可以用求导公式或求导法那么验证复复变函数变函数f (

19、z)的导数在区域的导数在区域D内处处存在内处处存在, 那么可那么可直直接断定接断定f (z) 在区域在区域D内解析内解析. (2) 假设复变函数假设复变函数f (z)=u(x,y)+iv(x,y)中的函中的函数数 u(x,y)和和 v(x,y)在区域在区域D内各个一阶偏导数连内各个一阶偏导数连续续 (因此因此u(x,y)和和v(x,y)在区域在区域D内可微内可微), 并且满并且满足足Cauchy-Riemann方程方程, 那么由解析函数的充那么由解析函数的充要要条件可以断定函数条件可以断定函数f (z)在区域在区域D解析解析.例例2.4 讨论以下函数的可导性和解析性：讨论以下函数的可导性和解析

20、性：).sin(cos)( (3). ;|(2). ;Re.12yiyezfzwzwx）（，且，）因为解：（01vxu0 0 0 , 1yvxvyuxu.,Re从而不解析导可在整个复平面内处处不所以立，方程在整个复平面不成所以zwRC且，所以、, 0|)2(22222vyxuyxzw0 02y ,2yvxvyuxux不解析。，因此，在整个复平面上不可导。，；可导，在方程成立，所以处只有在点)()(00)( 0)()0 , 0(zfzfzzfzzfR且，所以因为,sincos)sin(cos)( (3).yevyeuyiyezfxxxcosy, siny, siny, ,cosyxyvxxvxy

21、uxxueeee在整个复平面内解析；方程成立，所以四个偏导数连续，并且)(R-Czf).()sin(cos)( zfyiyexvixuzfx事实上，为常数）、（常数；、；、| )(|3)(Re)2( 0)( ) 1 (zfzfzf例例2.5 假设假设f(z)在区域在区域D内解析，且满足内解析，且满足以下条件之一，那么以下条件之一，那么 f(z)在在D内为常数。内为常数。得，、由证明：0)( ) 1 (yvyuxvxuiizf )(内为常数；在均为常数，从而、由数学分析的结论知，Dzfvu，0yvxvyuxu方程知：，由常数，所以、因为RCuyuxu)2(，0yvxvyuxu )(内为常数；在均

22、为常数，从而、由数学分析的结论知，Dzfvu，00yvyuxvxuvuvu导数得：求、常数，分别对、因为yxzf2| )(|)3(，方程得：解析，所以由因为00 )(yuxuyuxuuvvuRCzf。，所以0)(0)(2222yuxuvuvu22()00( )0vuvfzxu当时，故，x结论成立。 和和 在全平面内处处可微，但在全平面内处处可微，但 ( , )u x y( , )v x y2 , 2 , 2 , 2 .uuvvxyyxxyxy只需在实轴只需在实轴 上满足上满足Cauchy-Riemann方程方程, 0y 所以所以 在实轴上可微在实轴上可微. 但在任何一点的邻域但在任何一点的邻域

23、( )f z内都有不可微的点，因此，内都有不可微的点，因此， 处处不解析处处不解析. ( )f z例例2.6设设 问问 22( )2,f zxyxyi( )f z在何处可微在何处可微? 能否解析能否解析? 解记解记 显然显然, 函数函数 22,2.uxy vxy例例2.7设设 2222( )(),f zxaxybyi cxdxyy其中其中 a, b, c, d是常数，问它们取何值时是常数，问它们取何值时, 函数函数 f (z) 在复平面上解析在复平面上解析. 解显然，解显然， 22,uxaxyby在全平面可微，且在全平面可微，且 22vcxdxyy2, 2 .vvcxdydxyxy2, 2,u

24、uxayaxbyxy 容易看出容易看出, 当当 时时, 函数函数2, 1, 1, 2abcd ( , ), ( , )u x yv x y满足满足Cauchy-Riemann方程方程, 这时这时 函数函数 在全平面解析在全平面解析. ( )f z Cauchy-Riemann方程在解析函数论及力学、方程在解析函数论及力学、物理学等的运用中具有根本性的意义物理学等的运用中具有根本性的意义, 特别是在特别是在流膂力学和静电场实际中，起到重要作用流膂力学和静电场实际中，起到重要作用.一、调和函数的定义一、调和函数的定义二、解析函数与调和函数的关系二、解析函数与调和函数的关系2.2.3 解析函数与调和

25、函数的关系解析函数与调和函数的关系 一、调和函数的定义一、调和函数的定义并且满足拉普拉斯方程并且满足拉普拉斯方程有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数内具内具在区域在区域如果二元实变函数如果二元实变函数 , ),( Dyx 调和函数在流膂力学和电磁场实际等实践调和函数在流膂力学和电磁场实际等实践问题中有很重要的运用问题中有很重要的运用.2222xy 称为称为Laplace算子算子注：注：. ),( 内的调和函数内的调和函数为区域为区域那么称那么称Dyx 0, 2222 yx 二、解析函数与调和函数的关系二、解析函数与调和函数的关系1. 两者的关系两者的关系证证 ,)( 内的一个解析函数内的一个解析函

26、数为为设设Divuzfw . , xvyuyvxu 根据解析函数高阶导数定理后面我们会提到根据解析函数高阶导数定理后面我们会提到, . 数数具有任意阶的连续偏导具有任意阶的连续偏导与与vu那么满足那么满足CR方程方程 ( )( , )( , ), wf zu x yiv x yD 设为区域内的一个函数理一解析定.D则它的实部和虚部都是区域 内的调和函数, 22yxvxyv , 0 2222 yuxu从而从而. 0 2222 yvxv同理同理 . 都是调和函数都是调和函数与与因此因此vu证毕证毕例如例如:设设 f(z)=x-iy,那么那么u(x,y),v(x,y)都是都是z平面上平面上的调和函数

27、的调和函数,但但f(z)=x-iy在在z平面上处处不解析平面上处处不解析.注：定理反之不正确注：定理反之不正确; , 222222yxvyuxyvxu 从而从而xvyuyvxu , .,:的共轭调和函数不一定是的共轭调和函数是即如果换性共轭调和函数不具有交注vuuv三、共轭调和函数的定义三、共轭调和函数的定义 , uvuvxyyx 设函数u(x,y)及v(x,y)均为区域D内的调和函数，且满足C-R方程那么称v是u的共轭调和函数。l 显然，解析函数的虚部是实部的共轭调和函数。l 反过来，由具有共轭性质的两个调和函数构造的一个复变函数一定是解析的吗？二、解析函数与调和函数的关系二、解析函数与调和

28、函数的关系2. 两者的关系两者的关系定理二 复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充分必要条件是在区域D内，f(z)的虚部v(x,y)是实部u(x,y)的共轭调和函数。四、解析函数的构造四、解析函数的构造l 由上面定理可知，给定一个调和函数u(x,y) 或v(x,y) ，我们可以利用C-R方程求出对应的v(x,y) 或u(x,y) ，从而可以构造出一个以u(x,y)为实部，以v(x,y)为虚部的解析函数。例例3 32( , )3, ( , )( ),(0).u x yxxyzu x yf zfi验证是 平面上的调和函数并求以为实部的解析函数使2233,uxyx22 6

29、,uxx 6,uxyy 22 6 ,uxy 解解,z因为在 平面上, 0 2222 yuxu于是于是( , ).u x y故为z平面上的调和函数( , )vvdv x ydxdyxy由有有( , )(0,0)x y,uudxdyyx 6xydx, c22(33)xydy( , )v x y原函数法原函数法( ,0)22(0,0)6(33)xxydxxydy( , )22( ,0)6(33)x yxxydxxydyc220(33)yxydyc233x yyc( )wf zuiv故32(3)xxy3,zic23(3)ix yyc (0),fi由 1,c 得3( ).f zzi故2233,uxyx2

30、2 6 ,uxx 6,uxyy 22 6 ,uxy 解解(法二法二),z因为在 平面上, 0 2222 yuxu于是于是( , ).u x y故为z平面上的调和函数yxCRvu由方程中一个得( , )v x y22(33)( )xydyx233( )x yyx偏积分法偏积分法xyCRvu 再由方程中另一个得23( , )3( )v x yx yyx6( )xyx6,xy( )0,x故( ),xc即23( , )3,v x yx yyc因此( )wf zuiv故32(3)xxy23(3)ix yy3,zic (0),fi由 1,c 得3( ).f zzi故例例4 . 0)0( ,)( , )si

31、ncos(),( fivuzfyxyxyyeyxvx使使求一解析函数求一解析函数和函数和函数为调为调已知已知解解, 1)sinsincos( yyxyyexvx, 1)cossin(cos yxyyyeyvxyvxu 由由, 1)cossin(cos yxyyyex xyxyyyeuxd1)cossin(cos 得得),()sincos(ygxyyyxex , 得得由由yuxv 1)sinsincos( yyxyyex),()sincossin(ygyyyyxex ( ),g yyC ,)sincos(Cyxyyyxeux 于是于是,)1(Czizez ivuzf )(Ciiyixeiyeex

32、eiyxiyx )1()1( , 0)0( f由由, 0 C 得得所求解析函数为所求解析函数为.)1()(zizezfz 2.3 初等解析函数初等解析函数1 指数函数指数函数2 对数函数对数函数3 幂函数幂函数4 三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数由由2.3.1 指数函数指数函数( )(cossin )xf zeyiy在在z平面上解析，且平面上解析，且 当当z为实数为实数, 即即 ( )( ).fzf z 当当 y=0时时, 与通常实指数函数一致与通常实指数函数一致, 因此因此 ( )xf ze 给出下面定义给出下面定义. 定义定义2.4假设假设 那么由那么由 ,zxiy(cossin )x

33、eyiy 可知可知, 函数函数定义复指数函数，记定义复指数函数，记 exp( )(cossin ),xzeyiy或简记为或简记为(cossin ).zxeeyiy显然显然Re(exp( )cos , xzey Im(exp( )sin ,xzey exp( ),xze Arg(exp( )2 (0,1, 2,). zykk 定理定理2.3 设设 为指数函数，那么为指数函数，那么 在全在全平面平面zeze解析，解析， 且且 ,zzee 从而从而 其中其中n正整数正整数;(1)1212,zzzzeee (),znnzee 0,ze (2)当当 时时, 其中其中 Im( )0z ( ),xf ze

34、Re( );xz (3)ze是周期函数是周期函数, 其周期是其周期是 n非零整数非零整数, 2,Tn i (4)1ze 的充分必要条件是的充分必要条件是 n为整数为整数. 2,zn i 2;zn izee 即即证明只证明证明只证明(1) . 令令 111,zxiy222.zxiy由指数函数定义由指数函数定义 1211221212() ()()()zzxiyxiyxxi yyeee12.zzee121212cos()sin()xxeyyiyy 121212(coscossinsin)xxe eyyyy1212(sincoscossin)iyyyy121122(cossin) (cossin)xx

35、eyiyeyiy例例2.8求求 的实部与虚部的实部与虚部. exp()ze解令解令 由于由于 ,zxiycossinzxxeeyiey，所以所以cosexp()cos(sin )sin(sin ).xzeyxxeeeyiey从而有从而有cosReexp()cos(sin ),xzeyxeeey cosImexp()sin(sin ).xzeyxeeey 2.3.2 对数函数对数函数定义定义2.5指数函数的反函数称为对数函数指数函数的反函数称为对数函数,即把满足方程即把满足方程 的函数的函数 称称 (0)wez z( )wf z 为为z的对数函数，记作的对数函数，记作 Ln .wz 令令 那么由

36、那么由 , ,iwuiv zre (0),wez z可得可得 从而由复数的相等的定义知从而由复数的相等的定义知, ,u iviere , 2,uer vk即即 其其ln , 2,ur vk 中中k为整数为整数, 或或 ln, Arg .uzvz 所以所以LnlnArgln(arg2)wzzizzizk 0, 1, 2,.k 由于由于 是多值的，所以是多值的，所以 是多值函数是多值函数. ArgzLnz假设记假设记 那么对数函数可写那么对数函数可写为为 lnlnarg ,zziz Lnln2 0, 1, 2,.zzikk 对应某个确定的对应某个确定的k, 称为对数函数的第称为对数函数的第k个个

37、个分支个分支, 对应对应 k=0 的分支，称为对数函数主支的分支，称为对数函数主支.于是于是 即是对数主支即是对数主支, 称称lnlnargzziz lnz为对数函数的主值为对数函数的主值. 对数函数各分支之间，其虚部仅差对数函数各分支之间，其虚部仅差 的的 2 倍数，因此，当给定特殊分支倍数，因此，当给定特殊分支 (即给定即给定 k的值的值)时时, 的值就被确定的值就被确定. Argz例如例如, 假设给定分支的虚部落在区间假设给定分支的虚部落在区间 (, ) 中，那么中，那么 即取即取 k=0 的的那那Ln(1)ln 2,4ii 个对数分支个对数分支. 假设给定分支的虚部落在区间假设给定分支

38、的虚部落在区间 中中, ( ,3 ) 那么那么 即取即取 k=1 的那个的那个9Ln(1)ln2,4ii 对数分支对数分支. 这可在这可在 ln22 (0, 1, 2)4ikk Ln(1)ln 1Arg(1)iiiiln 2arg(1)2iii k 中取中取 k=1 得到得到. 三种对数函数的联络与区别：函数单值与多值xlnzLnzln单值多值单值定义域所有正实数所有非零复数所有非零复数注解一个单值时，0 xzxln为zln分支为 利用复数的乘积与商的辐角公式易证，复利用复数的乘积与商的辐角公式易证，复变函数的对数函数坚持了实对数函数的乘积与变函数的对数函数坚持了实对数函数的乘积与商的相应公式

39、商的相应公式 1 212Ln()LnLn ,z zzz 121212Ln( )LnLn (,0).zzzzz z 在实函数对数中，负数不存在对数；但在在实函数对数中，负数不存在对数；但在复变数对数中，负数的对数是有意义的复变数对数中，负数的对数是有意义的. 例如例如 (21) (0, 1, 2,).ki k Ln( 1)ln1arg( 1)2ii k 对数函数的解析性对数函数的解析性:对于对数主支对于对数主支 lnlnarg ,zziz 其实部其实部 ln z在除原点外的复平面上处处延续在除原点外的复平面上处处延续; 但其虚但其虚部部 arg(, ,z 在原点与负实轴上都不延续在原点与负实轴上

40、都不延续, 由于对于负实轴上的点由于对于负实轴上的点 (0),zx x 有有 00limarg, limarg.yyzz 所以所以, 在在0,0,Cxiy yx 即在除去原点即在除去原点与负实轴的复平面上与负实轴的复平面上, lnz处处延续处处延续. 定理定理2.4对数主支对数主支 lnlnargzziz 在在 区域区域 0,0DCxiy yx 上解析上解析(如图如图), 并且并且 1ln.zz 证明记证明记 ( )ln , ( )(),f zz w hf zh 那么那么 0lim( )( ).hw hf z 由由 ( ),f zez 对恣意的对恣意的 0,h 有有xyoD()( )00()(

41、 )()( )limlimf z hf zhhf zhf zf zhf zhee ()( )( )( )( )( )( )111lim.w hfzf zeew hf zw hf zez 对于其他各给定的对数分支，由于对于其他各给定的对数分支，由于 Lnln2zzik (k确定确定),所以也有所以也有 1Ln (ln2).zzikz 因此，对于因此，对于确定的确定的 k, 称称 Lnz为一个单值解析分支为一个单值解析分支. 例例2.9求求 ln( 1)(1)ii 的值的值. 解由于解由于 3ln( 1)ln2,4ii ln(1)ln 2,4ii 所以所以Ln( 1)(1)ii 3ln 2ln 2

42、2,44iik i Ln( 1)(1)2ln 22iiik i ln2(21).ki 于是于是ln( 1)(1)ln2.iii 现实上，以上结果还可以由现实上，以上结果还可以由ln( 1)(1)ln( 2)ln2iii 直接得到直接得到2.3.3 幂函数幂函数)0(Lnzezwzaa,2时是正整数、当n性，幂函数一般是、由于对数函数的多值1. 0|arg)2(arg|lnLnzinnkziznznnezeezw是一个单值函数；幂函数的根本性质：,)(31时是正整数、当nn)2(arg|lnLn111kzizznnneezw值函数；是一个n).1, 2 , 1 , 0( |2arg1nkeznk

43、zni,04时是、当; 10Lnz00eez）：的整数，为互素与是有理数时，即、当0(5qqpqppkizkzizqqpqpqpqpeeez2ln)2(arg|lnLnz1取，当为互素，所以不难看到与由于kqp个不同的值，即这时，得到，qq 1,210值的函数；时幂函数是一个q多值函数；函数是无穷是无理数或复数时，幂、当6是无理数时，有事实上，当kizkzizeeez2ln)2(arg|lnLnz时，有当)0( bbia)2(arg|)ln()2(arg|lnLnzkzizbiakzizeeez)2(arg|ln)2(arg|)ln(kzazbikzzbae例如), 2, 1, 0(2)2(a

44、rg1lnLni2keeeikkiiiiiikkieee222ln2)22(arg2ln2Ln2222) ,2,1,0,(k )2lnsin2ln(cos2 2iek)22)ln1()22(arg2)ln1(Ln2)1(12ikikiiiieee)22(ln)22(ln22ln22ln kikkiikee), 2, 1, 0( 2 222keik上解析，、幂函数在0Re, 0Im7zzC由于由于cossin ,iyeyiy,sincos yiyeiy 将两式相加与相减将两式相加与相减, 得得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy 定义定义2.7定义三角函数与双曲函数如下定义三角函

45、数与双曲函数如下: 正弦函数正弦函数 sin;2izizeezi 余弦函数余弦函数 cos;2izizeez 2.3.4 2.3.4 三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数双曲正弦函数双曲正弦函数 sh;2zzeez 双曲余弦函数双曲余弦函数ch.2zzeez 当当z是实变数时，它们与实的正弦、余弦、是实变数时，它们与实的正弦、余弦、双曲正弦、双曲余弦函数是一致的双曲正弦、双曲余弦函数是一致的. 由于由于 , zizee在复平面上是解析的，所以在复平面上是解析的，所以 正弦、余弦、双曲正弦、双曲余弦函数在整个正弦、余弦、双曲正弦、双曲余弦函数在整个 复平面上都是解析的复平面上都是解析的. 容易证明容易证明(sin )cos , (cos )sin