高考数学 平面向量：平面向量的基本定理及坐标表示题源探究

1、我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实 现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展

2、一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平 不 不 高 高 、 、 城 城 乡 乡 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 不 不 协 协 调 调 等 等 现 现 实 实 挑 挑 战 战 。 。平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示【考点梳理】1平面向量基本定理(1)定理：如果e e1 1，e e2 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a a，有且只有一对实数1，2，使a a1e e

3、1 12e e2 2.(2)基底：不共线的向量e e1 1，e e2 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i i，j j作为基底，该平面内的任一向量a a可表示成a axi iyj j，由于a a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a a的坐标，记作a a(x，y)，其中a a在x轴上的坐标是x，a a在y轴上的坐标是y.3平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab b(x1x2，y1y2)，a ab b(x1x2，y1y2

4、)，a a(x1，y1)，|a a| |x21y21.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x2x1，y2y1)，|ab|x2x12y2y12.4平面向量共线的坐标表示设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，其中b b0 0.a a，b b共线x1y2x2y10.【教材改编】1(必修 4 p100练习 t1改编)下列哪组向量可以作为平面向量的一组基底()ae e1 1(2，4)，e e2 2(1，2)be e1 1(4，3)，e e2 2(3，8)ce e1 1(2，3)，e2(2，3)de e1 1(3，0)，

5、e e2 2(4，0)答案b我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实 现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城

6、城 乡 乡 发 发 展 展 一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平 不 不 高 高 、 、 城 城 乡 乡 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 不 不 协 协 调 调 等 等 现 现 实 实 挑 挑 战 战 。 。解析对于 a.e e1 12e e2 2，对于 c，e e1 1e e2 2，对于 d，e e1 134e e2 2，对于 b，不存在r，使e e1 1e e2 2，故选 b.2 (必修 4 p97例 4

7、改编)向量a a，b b满足a ab b(1， 5)，a ab b(5， 3)， 则b b为()a(3，4)b(3，4)c(3，4)d(3，4)答案a解析由a ab b(1，5)，a ab b(5，3)，得 2b b(1，5)(5，3)(6，8)，b b12(6，8)(3，4)，故选 a.3(必修 4 p98例 6 改编)已知a a(4，2)，b b(6，m)，若a ab b，则m的值为()a3b3c12d12答案a解析法一：a ab b，4m2(6)0，m3，故选 a.法二：a ab b，a ab b，即(4，2)(6，m)，46，2m.解得23，m3，故选 a.4(必修 4 p97例 5

8、改编)已知平行四边形abcd的三个顶点a、b、c的坐标分别为(1,3)，(3,4)，(2,2)，则点d的坐标为()a(6，2)b(6,2)c(2，1)d(2,1)答案d解析设d点的坐标为(x，y)，四边形abcd是平行四边形，abdc，即(3,4)(1,3)(2,2)(x，y)，即为(4,1)(2x,2y)，2x4，2y1，x2，y1.d点的坐标为(2,1)故选 d.5(必修 4 p98例 7 改编)已知a(1，1)，b(m，m2)，c(2,5)三点共线，则m的我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经

9、 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实 现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展 一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发

10、 展 展 不 不 平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平 不 不 高 高 、 、 城 城 乡 乡 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 不 不 协 协 调 调 等 等 现 现 实 实 挑 挑 战 战 。 。值为()a1b2c3d4答案a解析ab(m，m2)(1，1)(m1，m3)，ac(2,5)(1，1)(3,6)，a，b，c三点共线，3(m3)6(m1)0，m1.故选 a.6(必修 4 p101练习 t7改编)设oa(2,3)，ob(6，3)，若a、b、c在一条直线上，且oc13oaob，则c的坐标是()a.83，23b.203，2c.143，1d.43，73答案c

11、解析法一：a、b、c三点共线，且oc13oaob，131，23，oc13(2,3)23(6，3)143，1.故选 c.法二：设c的坐标为(x，y)，oa(2,3)，ob(6，3)，aboboa(4，6)acocoa(x2，y3)a，b，c在一条直线上，ab与ac共线，即 4(y3)6(x2)0，即 3x2y12.我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优

12、 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实 现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展 一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平 不 不 高 高 、 、 城 城 乡 乡 发 发 展 展 不 不 平 平

13、 衡 衡 不 不 协 协 调 调 等 等 现 现 实 实 挑 挑 战 战 。 。又oc13oaob，(x，y)13(2,3)(6，3)236，13，即x236，y13，由解得x143，y1，23，c的坐标为143，1.故选 c.7(必修 4 p101a 组 t6改编)已知a(2，3)，b(2，1)，c(1，4)，d(7，t)，若ab与cd共线，则t_答案4解析ab(2，1)(2，3)(4，4)，cd(7，t)(1，4)(8，t4)ab与cd共线，4(t4)4(8)0.即 4t160，t4.8(必修 4 p102b 组 t3改编)设e e1 1，e e2 2是平面内一组基底，若1e e1 12e

14、 e2 20，则12_答案0解析假设10 时，由1e e1 12e e2 20，得e e1 121e e2 2，e e1 1与e e2 2共线与e e1 1，e e2 2为基底矛盾，故10，同理20，120.9(必修 4 p100练习 t2改编)若a a(3,2)，2a a4b b(6,0)，则a a2b b_.答案3,0解析由题意得 4b b(6,0)2(3,2)(6,0)(6,4)(0,4)，b b14(0,4)(0,1)a a2b b(3,2)2(0,1)(3,2)(0,2)(3,0)10(必修 4 p102b 组 t4改编)如图，设ox，oy是平面内相交成 60的两条数轴，e e1 1

15、，e e2 2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若op3e e1 14e e2 2，则|op|_.我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实 现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推

16、进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展 一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平 不 不 高 高 、 、 城 城 乡 乡 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 不 不 协 协 调 调 等 等 现 现 实 实 挑 挑 战 战 。 。答案37解析由题意知，四边形onpm为平行四边形，且|om|3|e e1 1|3，|on|4|e e2 2|4，且pmx60，过p作pqx轴，垂足为q(图略)，则|pq|pm|sin 604322 3，|