精编版2012全国各地中考数学试题分类解析汇编几何三大变换相关问题

1、( (精编版精编版)2012)2012 全国各地中考数学试题分类解析汇编全国各地中考数学试题分类解析汇编几何三大几何三大变换相关问题变换相关问题. .1. （2012 北京北京市市 7 分分）在ABC中，BA=BCBAC ，M 是 AC 的中点，P 是线段 BM上的动点，将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转2得到线段 PQ。（1） 若 且点 P 与点 M 重合（如图 1） ，线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，请补全图形，并写出CDB 的度数；（2） 在图 2 中，点 P 不与点 B，M 重合，线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，猜想CDB 的大小（用含的代数式表示） ，并加以

2、证明；（3） 对于适当大小的，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置（不与点 B，M 重合）时，能使得线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，且 PQ=QD，请直接写出的范围。【答案】【答案】解： （1）补全图形如下：CDB=30。（2）作线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，连接 PC，AD，AB=BC，M 是 AC 的中点，BMAC。AD=CD，AP=PC，PD=PD。在APD 与CPD 中，AD=CD， PD=PD， PA=PCAPDCPD（SSS） 。AP=PC，ADB=CDB，PAD=PCD。又PQ=PA，PQ=PC，ADC=2CDB，PQC=PCD=PAD。PAD+P

3、QD=PQC+PQD=180。APQ+ADC=360（PAD+PQD）=180。ADC=180APQ=1802，即 2CDB=1802。CDB=90。（3）4560。【考点【考点】旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质， 。【分析【分析】 （1）利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出CMQ 是等边三角形，即可得出答案：BA=BC，BAC=60，M 是 AC 的中点，BMAC，AM=AC。将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2得到线段 PQ，AM=MQ，AMQ=120。CM=MQ，CMQ=60。CMQ 是等边三角形。ACQ=60。

4、CDB=30。（2）首先由已知得出APDCPD，从而得出PAD+PQD=PQC+PQD=180，即可求出。（3）由（2）得出CDB=90，且 PQ=QD，PAD=PCQ=PQC=2CDB=1802。点 P 不与点 B，M 重合，BADPADMAD。21802，4560。2. （2012 海南省海南省 I11 分）分）如图（1） ，在矩形 ABCD 中，把B、D 分别翻折，使点 B、D分别落在对角线 BC 上的点 E、F 处，折痕分别为 CM、AN.（1）求证：ANDCBM.（2）请连接 MF、NE，证明四边形 MFNE 是平行四边形，四边形 MFNE 是菱形吗？请说明理由？（3）P、Q 是矩形

5、的边 CD、AB 上的两点，连结 PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若 PQ=CQ，PQMN。且 AB=4，BC=3，求 PC 的长度.【答案【答案】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，D=B，AD=BC，ADBC。DAC=BCA。又由翻折的性质，得DAN=NAF，ECM=BCM，DAN=BCM。ANDCBM（ASA） 。（2）证明：ANDCBM，DN=BM。又由翻折的性质，得 DN=FN，BM=EM，FN=EM。又NFA=ACDCNF=BACEMA=MEC，FNEM。四边形 MFNE 是平行四边形。四边形 MFNE 不是菱形，理由如下：由翻折的性质，得CEM=B=900，在EMF 中，F

6、EMEFM。FMEM。四边形 MFNE 不是菱形。（3）解：AB=4，BC=3，AC=5。设 DN=x，则由 SADC=SANDSNAC得3 x5 x=12，解得 x=32，即 DN=BM=32。过点 N 作 NHAB 于 H，则 HM=43=1。在NHM 中，NH=3，HM=1，由勾股定理，得 NM=10。PQMN，DCAB，四边形 NMQP 是平行四边形。NP=MQ，PQ= NM=10。又PQ=CQ，CQ=10。在CBQ 中，CQ=10，CB=3，由勾股定理，得 BQ=1。NP=MQ=12。PC=43212=2。【考点【考点】翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和

7、性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理。【分析【分析】 （1）由矩形和翻折对称的性质，用 ASA 即可得到ANDCBM。（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明。（3）设 DN=x，则由 SADC=SANDSNAC可得 DN=BM=32。过点 N 作 NHAB于 H，则由勾股定理可得 NM=10，从而根据平行四边形的性质和已知 PQ=CQ，即可求得CQ=10。因此，在CBQ 中，应用勾股定理求得 BQ=1。从而求解。3. （2012 天津天津市市 10 分分）已知一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0） ，点 B（0，6） ，点

8、 P 为 BC 边上的动点（点 P 不与点 B、C 重合） ，经过点 O、P折叠该纸片，得点 B和折痕 OP设 BP=t（）如图，当BOP=300时，求点 P 的坐标；来源:数理化网（） 如图， 经过点 P 再次折叠纸片， 使点 C 落在直线 PB上， 得点 C和折痕 PQ， 若 AQ=m，试用含有 t 的式子表示 m；（）在（）的条件下，当点 C恰好落在边 OA 上时，求点 P 的坐标（直接写出结果即可） 【答案】【答案】解： （）根据题意，OBP=90，OB=6。在 RtOBP 中，由BOP=30，BP=t，得 OP=2t。OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2

9、3，t2=2 3（舍去） 点 P 的坐标为（2 3，6） 。（）OBP、QCP 分别是由OBP、QCP 折叠得到的，OBPOBP，QCPQCP。OPB=OPB，QPC=QPC。OPB+OPB+QPC+QPC=180，OPB+QPC=90。BOP+OPB=90，BOP=CPQ。又OBP=C=90，OBPPCQ。OBBPPCCQ。由题意设 BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则 PC=11t，CQ=6m6t11t6m。2111mt t666（0t11） 。（）点 P 的坐标为（11133，6）或（11+ 133，6） 。【考点】【考点】翻折变换（折叠问题） ，坐标与图形性质，全等三角形的判定

10、和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析【分析】 （）根据题意得，OBP=90，OB=6，在 RtOBP 中，由BOP=30，BP=t，得 OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。（ ） 由 OBP 、 QCP 分 别 是 由 OBP 、 QCP 折 叠 得 到 的 ， 可 知OBPOBP，QCPQCP，易证得OBPPCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。（）首先过点 P 作 PEOA 于 E，易证得PCECQA，由勾股定理可求得CQ 的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与2111mt t666，即可求得 t 的值：过点 P 作 PEOA 于 E

11、，PEA=QAC=90。PCE+EPC=90。PCE+QCA=90，EPC=QCA。PCECQA。PE PCACC Q。PC=PC=11t，PE=OB=6，AQ=m，CQ=CQ=6m，22AC C QAQ 3612m。611t 6m3612m。6t11t6m，即611tt6m，66=t3612m，即23612m=t。将2111mt t666代 入 ， 并 化 简 ， 得23t22 t36=0。 解 得 ：12111311+ 13tt33，。点 P 的坐标为（11133，6）或（11+ 133，6） 。4. （2012 福建南平福建南平 12 分）分）在平面直角坐标系中，矩形 OABC 如图所示

12、放置，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为（m，1） （m0） ，将此矩形绕 O 点逆时针旋转 90，得到矩形 OABC（1）写出点 A、A、C的坐标；（2）设过点 A、A、C的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式； （a、b、c 可用含 m 的式子表示）（3）试探究：当 m 的值改变时，点 B 关于点 O 的对称点 D 是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时 m 的值【答案【答案】解： （1）四边形 ABCD 是矩形，点 B 的坐标为（m，1） （m0） ，A（m，0） ，C（0，1） 。矩形 OABC由矩形 OABC 旋转 90而成，A（0，m） ，C（1，0

13、） 。（2）设过点 A、A、C的抛物线解析式为 y=ax2bxc，A（m，0） ，A（0，m） ，C（1，0） ，2 ambmc0 cm abc0，解得 a1 bm1 cm 。此抛物线的解析式为：y=x2（m1）xm。（3）点 B 与点 D 关于原点对称，B（m，1） ，点 D 的坐标为： （m，1） ，假设点 D（m，1）在（2）中的抛物线上，0=（m）2（m1）（m）m=1，即 2m22m1=0，=（2）2422=40，此方程无解。点 D 不在（2）中的抛物线上。【考点【考点】二次函数综合题，矩形的性质，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，关于原点对称的点的坐标特

14、征，一元二次方程根与系数的关系。【分析【分析】 （1）先根据四边形 ABCD 是矩形，点 B 的坐标为（m，1） （m0） ，求出点 A、C的坐标，再根据图形旋转的性质求出 A、C的坐标即可。（2）设过点 A、A、C的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，把 A、A、C三点的坐标代入即可得出 abc 的值，进而得出其抛物线的解析式。（3）根据关于原点对称的点的坐标特点用 m 表示出 D 点坐标，把 D 点坐标代入抛物线的解析式看是否符合即可。5. （2012 广东汕头广东汕头 12 分）分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=6，BC=8把BCD 沿对角线 BD 折叠，使点 C 落在 C处，

15、BC交 AD 于点 G；E、F 分别是 CD 和 BD 上的点，线段EF 交 AD 于点 H，把FDE 沿 EF 折叠，使点 D 落在 D处，点 D恰好与点 A 重合（1）求证：ABGCDG；（2）求 tanABG 的值；（3）求 EF 的长【答案【答案】 （1）证明：BDC由BDC 翻折而成，C=BAG=90，CD=AB=CD，AGB=DGC，ABG=ADE。在ABGCDG 中，BAG=C，AB= CD，ABG=AD C，ABGCDG（ASA） 。（2）解：由（1）可知ABGCDG，GD=GB，AG+GB=AD。设 AG=x，则 GB=8x，在 RtABG 中，AB2+AG2=BG2，即 6

16、2+x2=（8x）2，解得 x=74。7AG74tan ABGAB624。（3）解：AEF 是DEF 翻折而成，EF 垂直平分 AD。HD=12AD=4。tanABG=tanADE=724。EH=HD724=477=246。EF 垂直平分 AD， ABAD， HF 是ABD 的中位线。 HF=12AB=126=3。EF=EH+HF=725+3=66。【考点【考点】翻折变换（折叠问题），翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，三角形中位线定理。【分析【分析】 （1）根据翻折变换的性质可知C=BAG=90，CD=AB=CD，AGB=DGC，故可得出结论。（2

17、）由（1）可知 GD=GB，故 AG+GB=AD，设 AG=x，则 GB=8-x，在 RtABG中利用勾股定理即可求出 AG 的长，从而得出 tanABG 的值。（3）由AEF 是DEF 翻折而成可知 EF 垂直平分 AD，故 HD=12AD=4，再根据tanABG 的值即可得出 EH 的长，同理可得 HF 是ABD 的中位线，故可得出 HF 的长，由 EF=EH+HF 即可得出结果。6. （2012 广东省广东省 9 分）分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=6，BC=8把BCD 沿对角线BD 折叠，使点 C 落在 C处，BC交 AD 于点 G；E、F 分别是 CD 和 BD 上的点，线

18、段 EF交 AD 于点 H，把FDE 沿 EF 折叠，使点 D 落在 D处，点 D恰好与点 A 重合（1）求证：ABGCDG；（2）求 tanABG 的值；（3）求 EF 的长【答案【答案】 （1）证明：BDC由BDC 翻折而成，C=BAG=90，CD=AB=CD，AGB=DGC，ABG=ADE。在ABGCDG 中，BAG=C，AB= CD，ABG=AD C，ABGCDG（ASA） 。（2）解：由（1）可知ABGCDG，GD=GB，AG+GB=AD。设 AG=x，则 GB=8x，在 RtABG 中，AB2+AG2=BG2，即 62+x2=（8x）2，解得 x=74。7AG74tan ABGAB

19、624。（3）解：AEF 是DEF 翻折而成，EF 垂直平分 AD。HD=12AD=4。tanABG=tanADE=724。EH= HD724=477=246。EF 垂直平分 AD， ABAD， HF 是ABD 的中位线。 HF=12AB=126=3。EF=EH+HF=725+3=66。【考点【考点】翻折变换（折叠问题），翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，三角形中位线定理。【分析【分析】 （1）根据翻折变换的性质可知C=BAG=90，CD=AB=CD，AGB=DGC，故可得出结论。（2）由（1）可知 GD=GB，故 AG+GB=AD，设 AG=x，

20、则 GB=8-x，在 RtABG中利用勾股定理即可求出 AG 的长，从而得出 tanABG 的值。（3）由AEF 是DEF 翻折而成可知 EF 垂直平分 AD，故 HD=12AD=4，再根据tanABG 的值即可得出 EH 的长，同理可得 HF 是ABD 的中位线，故可得出 HF 的长，由 EF=EH+HF 即可得出结果。7. （2012 广东珠海广东珠海 9 分分） 已知，AB 是O 的直径，点 P 在弧 AB 上（不含点 A、B） ，把AOP 沿 OP 对折，点 A 的对应点 C 恰好落在O 上（1）当 P、C 都在 AB 上方时（如图 1） ，判断 PO 与 BC 的位置关系（只回答结果

21、） ；（2）当 P 在 AB 上方而 C 在 AB 下方时（如图 2） ， （1）中结论还成立吗？证明你的结论；（3）当 P、C 都在 AB 上方时（如图 3） ，过 C 点作 CD直线 AP 于 D，且 CD 是O 的切线，证明：AB=4PD【答案】【答案】解： （1）PO 与 BC 的位置关系是 POBC。（2） （1）中的结论 POBC 成立。理由为：由折叠可知：APOCPO，APO=CPO。又OA=OP，A=APO。A=CPO。又A 与PCB 都为PB所对的圆周角，A=PCB。CPO=PCB。POBC。（3）证明：CD 为圆 O 的切线，OCCD。又ADCD，OCAD。APO=COP。

22、由折叠可得：AOP=COP，APO=AOP。又OA=OP，A=APO。A=APO=AOP。APO 为等边三角形。AOP=60。又OPBC，OBC=AOP=60。又OC=OB，BC 为等边三角形。COB=60。POC=180（AOP+COB）=60。又OP=OC，POC 也为等边三角形。PCO=60，PC=OP=OC。又OCD=90，PCD=30。在 RtPCD 中，PD=12PC，又PC=OP=12AB，PD=14AB，即 AB=4PD。【考点【考点】折叠的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，平行的判定和性质，切线的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，含 30

23、 度角的直角三角形的性质。【分析【分析】 （1）由折叠可得，由AOP=POC ；因为AOC 和ABC 是弧AC所对的圆心角和圆周角，根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得AOP=ABC；根据同位角相等两直线平行的判定，得 PO 与 BC 的位置关系是平行。（2） （1）中的结论成立，理由为：由折叠可知三角形 APO 与三角形 CPO 全等，根据全等三角形的对应角相等可得出APO=CPO，再由 OA=OP，利用等边对等角得到A=APO， 等量代换可得出A=CPO， 又根据同弧所对的圆周角相等得到A=PCB，再等量代换可得出COP=ACB，利用内错角相等两直线平行，可得出 PO 与 BC 平行。

24、（3）由 CD 为圆 O 的切线，利用切线的性质得到 OCCD，又 ADCD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到 OCAD，根据两直线平行内错角相等得到APO=COP，再利用折叠的性质得到AOP=COP，等量代换可得出APO=AOP，再由 OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出AOP 三内角相等，确定出AOP 为等边三角形，根据等边三角形的内角为 60得到AOP=60，由 OPBC，利用两直线平行同位角相等可得出OBC=AOP=60，再由OB=OC，得到OBC 为等边三角形，可得出COB 为 60，利用平角的定义得到POC 也为 60，再加上 OP=OC，可得出PO

25、C 为等边三角形，得到内角OCP=60，可求出PCD=30，在 RtPCD 中，利用 30所对的直角边等于斜边的一半可得出 PD 为 PC 的一半，而 PC=圆的半径 OP=直径 AB 的一半，可得出 PD 为 AB 的四分之一，即 AB=4PD，得证。8. （2012 广西南宁广西南宁 10 分分）如图，已知矩形纸片 ABCD，AD=2，AB=4将纸片折叠，使顶点 A 与边 CD 上的点 E 重合，折痕 FG 分别与 AB，CD 交于点 G，F，AE 与 FG 交于点 O（1）如图 1，求证：A，G，E，F 四点围成的四边形是菱形；（2）如图 2，当AED 的外接圆与 BC 相切于点 N 时

26、，求证：点 N 是线段 BC 的中点；（3）如图 2，在（2）的条件下，求折痕 FG 的长【答案】【答案】解： （1）由折叠的性质可得，GA=GE，AGF=EGF，DCAB，EFG=AGF。EFG=EGF。EF=EG=AG。四边形 AGEF 是平行四边形（EFAG，EF=AG） 。又AG=GE，四边形 AGEF 是菱形。（2）连接 ON，AED 是直角三角形，AE 是斜边，点 O 是 AE 的中点，AED 的外接圆与 BC 相切于点 N，ONBC。点 O 是 AE 的中点，ON 是梯形 ABCE 的中位线。点 N 是线段 BC 的中点。（3）OE、ON 均是AED 的外接圆的半径，OE=OA=

27、ON=2。AE=AB=4。在 RtADE 中，AD=2，AE=4，AED=30。在 RtOEF 中，OE=2，AED=30，2 3OF3。FG=4 32OF3。【考点】【考点】翻折变换（折叠问题） ，折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析【分析】 （1）根据折叠的性质判断出 AG=GE，AGF=EGF，再由 CDAB 得出EFG=AGF，从而判断出 EF=AG，得出四边形 AGEF 是平行四边形，从而结合 AG=GE，可得出结论。（2）连接 ON，则 ONBC，从而判断出 ON 是梯形 ABCE 的中位线，从而可得出结论。（3）根据（1）可得出

28、 AE=AB，从而在 RtADE 中，可判断出AED 为 30，在RtEFO 中求出 FO，从而可得出 FG 的长度。9. （2012 湖北天门湖北天门、仙桃仙桃、潜江潜江、江汉油田江汉油田 10 分分）ABC 中，AB=AC，D 为 BC 的中点，以 D 为顶点作MDN=B（1）如图（1）当射线 DN 经过点 A 时，DM 交 AC 边于点 E，不添加辅助线，写出图中所有与ADE 相似的三角形（2）如图（2） ，将MDN 绕点 D 沿逆时针方向旋转，DM，DN 分别交线段 AC，AB 于 E，F 点（点 E 与点 A 不重合） ，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论（3）在

29、图（2）中，若 AB=AC=10，BC=12，当DEF 的面积等于ABC 的面积的14时，求线段 EF 的长【答案】【答案】解： （1）图（1）中与ADE 相似的有ABD，ACD，DCE。（2）BDFCEDDEF，证明如下：B+BDF+BFD=180，EDF+BDF+CDE=180，又EDF=B，BFD=CDE。AB=AC，B=C。BDFCED。BDDF=CEED。BD=CD，CDDF=CEED，即CDCE=DFED。又C=EDF，CEDDEF。BDFCEDDEF。（3）连接 AD，过 D 点作 DGEF，DHBF，垂足分别为 G，HAB=AC，D 是 BC 的中点，ADBC，BD=12BC=

30、6。在 RtABD 中，AD2=AB2BD2，即 AD2=10262，AD=8。SABC=12BCAD=12128=48，SDEF=14SABC=1448=12。又12ADBD=12ABDH，AD BD8 624DHAB105。BDFDEF，DFB=EFD。DHBF，DGEF，DHF=DGF。又DF=DF，DHFDGF（AAS） 。DH=DG=245。SDEF=12EFDG=12EF245=12，EF=5。【考点【考点】旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质。【分析【分析】 （1）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出ADEABDACDDC

31、E：AB=AC，D 为 BC 的中点，ADBC，B=C，BAD=CAD。又MDN=B，ADEABD。同理可得：ADEACD。MDN=C=B，B+BAD=90，ADE+EDC=90，B=MDN，BAD=EDC。B=C，ABDDCE。ADEDCE。（2）利用已知首先求出BFD=CDE，即可得出BDFCED，再利用相似三角形的性质得出BDDF=CEED，从而得出BDFCEDDEF。（3）利用DEF 的面积等于ABC 的面积的14，求出 DH 的长，从而利用 SDEF的值求出 EF 即可。10. （2012 湖北天门湖北天门、仙桃仙桃、潜江潜江、江汉油田江汉油田 12 分分）如图，抛物线 y=ax2+

32、bx+2 交 x 轴于 A（1，0） ，B（4，0）两点，交 y 轴于点 C，与过点 C 且平行于 x 轴的直线交于另一点 D，点 P 是抛物线上一动点（1）求抛物线解析式及点 D 坐标；（2）点 E 在 x 轴上，若以 A，E，D，P 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点 P 的坐标；（3）过点 P 作直线 CD 的垂线，垂足为 Q，若将CPQ 沿 CP 翻折，点 Q 的对应点为 Q是否存在点 P，使 Q恰好落在 x 轴上？若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，说明理由【答案】【答案】解： （1）抛物线 y=ax2+bx+2 经过 A（1，0） ，B（4，0）两点，ab+2=016a+4

33、b+2=0，解得：1a=23b=2。抛物线解析式为213yxx222 。当 y=2 时，213xx2222，解得：x1=3，x2=0（舍去） 。点 D 坐标为（3，2） 。（2）A，E 两点都在 x 轴上，AE 有两种可能：当 AE 为一边时，AEPD，P1（0，2） 。当 AE 为对角线时， 根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，可知 P 点、D 点到直线 AE（即 x 轴）的距离相等，P 点的纵坐标为2。代入抛物线的解析式：213xx2222 ，解得：123+ 41341xx22，。P 点的坐标为（3+ 412，2） ， （3412，2） 。综上所述：P1（0，2） ；P2（3+ 4

34、12，2） ；P3（3412，2） 。（3）存在满足条件的点 P，显然点 P 在直线 CD 下方。设直线 PQ 交 x 轴于 F，点 P 的坐标为（213aaa222 ，） ，当 P 点在 y 轴右侧时（如图 1） ，CQ=a，PQ=2213132aa2 =aa2222 。又CQO+FQP=90，COQ=QFP=90，FQP=OCQ，COQQFP，Q CQ P =COFQ，即213 aa a 22= 2FQ，解得 F Q=a3OQ=OFF Q=a（a3）=3，2222CQ=CQ = CO +OQ= 3 +2 = 13。此时 a=13，点 P 的坐标为（9+3 13132 ，） 。当 P 点在

35、y 轴左侧时（如图 2）此时 a0， ，213aa2220，CQ=a，PQ=2213132aa2 =aa2222 。又CQO+FQP=90，CQO+OCQ=90，FQP=OCQ，COQ=QFP=90。COQQFP。Q CQ P =COFQ，即213 aa a 22= 2FQ，解得 F Q=3a。OQ=3，22CQ=CQ = 3 +2 = 13。此时 a=13，点 P 的坐标为（93 13132 ，） 。综上所述，满足条件的点 P 坐标为（9+3 13132 ，） ，（93 13132 ，） 。【考点【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性

36、质，勾股定理。【分析【分析】 （1）用待定系数法可得出抛物线的解析式，令 y=2 可得出点 D 的坐标。（2）分两种情况进行讨论，当 AE 为一边时，AEPD，当 AE 为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，求解点 P 坐标。（3） 结合图形可判断出点 P 在直线 CD 下方， 设点 P 的坐标为 （213aaa222 ，） ，分情况讨论，当 P 点在 y 轴右侧时，当 P 点在 y 轴左侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可。11. （2012 湖北武汉湖北武汉 12 分分）如图 1，点 A 为抛物线 C1：21y=x22的顶点，点 B 的坐标为(1，0)，直

37、线 AB 交抛物线 C1于另一点 C(1)求点 C 的坐标；(2)如图 1，平行于 y 轴的直线 x3 交直线 AB 于点 D，交抛物线 C1于点 E，平行于 y轴的直线 xa交直线 AB 于 F，交抛物线 C1于 G，若 FG：DE43，求 a 的值；(3)如图 2，将抛物线 C1向下平移 m(m0)个单位得到抛物线 C2，且抛物线 C2的顶点为点 P，交 x 轴于点 M，交射线 BC 于点 N，NQx 轴于点 Q，当 NP 平分MNQ 时，求 m 的值图 1图 2【答案】【答案】解： （1）当 x=0 时，y2。A（0，2） 。设直线 AB 的解析式为y=kx+b，则b=2k+b=0，解得

38、k=2b=2。直线 AB 的解析式为y=2x2。点 C 是直线 AB 与抛物线 C1的交点，2y=2x21y=x22，解得1212x =4x =0y =6y =2 ，（舍去） 。C（4，6） 。（2）直线 x3 交直线 AB 于点 D，交抛物线 C1于点 E，DE5y =4y =2，DE=DE53yy =422。FG：DE43，FG=2。直线 xa 交直线 AB 于点 F，交抛物线 C1于点 G，2F1y =2a2y =a22G，。FG=2F1yy= 2aa=22G。解得123a =2a =2+2 2a =22 2，。（3）设直线 MN 交 y 轴于点 T，过点 N 作 NHy 轴于点 H。设

39、点 M 的坐标为（t,0） ，抛物线 C2的解析式为21y=x2m2。210=t2m2。212m=t2 。2211y=xt22。P（0，21t2） 。点 N 是直线 AB 与抛物线 C2的交点，22y=2x211y=xt22， 解得1212x =2tx =2+ty =22ty =2+2t ，（舍去） 。N（2t22t ，） 。NQ=22t，MQ=22t。NQ=MQ。NMQ=450。MOT，NHT 都是等腰直角三角形。MO=TO，HT=HN。OT=t，21NT2NH= 2 2tPT=t+t2，。PN 平分MNQ，PT=NT。21t+t2 2t2，解得12t =2 2t =2，（舍去） 。2211

40、2m=t =2 2=422 。m=2。【考点【考点】 二次函数综合题， 待定系数法， 曲线上点的坐标与方程的关系， 解二元二次方程组，平移的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，平行的性质。【分析【分析】 （1） 由点 A 在抛物线 C1上求得点 A 的坐标， 用待定系数法求得直线 AB 的解析式；联立直线 AB 和抛物线 C1即可求得点 C 的坐标。（2）由 FG：DE43 求得 FG=2。把点 F 和点 G 的纵坐标用含 a 的代数式表示，即可得等式FG=2F1yy= 2aa=22G，解之即可得 a 的值。（3）设点 M 的坐标为（t,0）和抛物线 C2的解析式21y

41、=x2m2，求得 t 和 m的关系。求出点 P 和点 N 的坐标（用 t 的代数式表示） ，得出MOT，NHT 都是等腰直角三角形的结论。从而由角平分线和平行的性质得到 PT=NT，列式求解即可求得 t，从而根据 t 和 m 的关系式求出 m 的值。12. （2012 湖北宜昌湖北宜昌 11 分分）如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90点 E 为底 AD 上一点，将ABE 沿直线 BE 折叠，点 A 落在梯形对角线 BD 上的 G 处，EG 的延长线交直线 BC 于点 F（1）点 E 可以是 AD 的中点吗？为什么？（2）求证：ABGBFE；（3）设 AD=a，AB=b，BC=

42、c当四边形 EFCD 为平行四边形时，求 a，b，c 应满足的关系；在的条件下，当 b=2 时，a 的值是唯一的，求C 的度数【答案】【答案】解： （1）不可以。理由如下：根据题意得：AE=GE，EGB=EAB=90，RtEGD 中，GEED。AEED。点 E 不可以是 AD 的中点。（2）证明：ADBC，AEB=EBF，由折叠知EABEGB，AEB=BEG。EBF=BEF。FE=FB，FEB 为等腰三角形。ABG+GBF=90，GBF+EFB=90，ABG=EFB。在等腰ABG 和FEB 中，BAG=（180ABG）2，FBE=（180EFB）2，BAG=FBE。ABGBFE。（3）四边形

43、EFCD 为平行四边形，EFDC。由折叠知，DAB=EGB=90，DAB=BDC=90。又ADBC，ADB=DBC。ABDDCB。ADDBDBCB。AD=a，AB=b，BC=c，BD=22a +b2222aa +bca +b，即 a2+b2=ac。由和 b=2 得关于 a 的一元二次方程 a2ac+4=0，由题意，a 的值是唯一的，即方程有两相等的实数根，=0，即 c216=0。c0，c=4。由 a24a+4=0，得 a=2。由ABDDCB 和 a= b=2，得ABD 和DCB 都是等腰直角三角形，C=45。【考点】【考点】翻折变换（折叠问题） ，直角梯形的性质，三角形三边关系，直线平行的性质

44、，等腰（直角）三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式。【分析【分析】 （1）根据折叠的性质可得 AE=GE，EGB=EAB=90，再根据直角三角形斜边大于直角边可得 DEEG，从而判断点 E 不可能是 AD 的中点。（2）根据两直线平行，内错角相等可得AEB=EBF，再根据折叠的性质可以判定出AEB=BEG，然后得到EBF=BEF，从而判断出FEB 为等腰三角形，再根据等角的余角相等求出ABG=EFB，然后根据等腰三角形的两个底角相等求出BAG=FBE，然后根据两角对应相等，两三角形相似即可证明。（3）根据勾股定理求出 BD 的长度，再利

45、用两角对应相等，两三角形相似得到ABD 和DCB 相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解。把 b=2 代入 a、b、c 的关系式，根据 a 是唯一的，可以判定=c216=0，然后求出 c=4， 再代入方程求出 a=2， 然后由ABDDCB 和 a= b=2， 得ABD 和DCB都是等腰直角三角形，得出C=45。13. （2012 江西南昌江西南昌 12 分）分）已知，纸片O 的半径为 2，如图 1，沿弦 AB 折叠操作（1）折叠后的AB所在圆的圆心为 O时，求 OA 的长度；如图 2，当折叠后的AB经过圆心为 O 时，求AOB的长度；如图 3，当弦 AB=2 时，求圆心 O 到弦

46、 AB 的距离；（2）在图 1 中，再将纸片O 沿弦 CD 折叠操作如图 4，当 ABCD，折叠后的AB与CD所在圆外切于点 P 时，设点 O 到弦 ABCD 的距离之和为 d，求 d 的值；如图 5，当 AB 与 CD 不平行，折叠后的AB与CD所在圆外切于点 P 时，设点 M 为 AB的中点，点 N 为 CD 的中点，试探究四边形 OMPN 的形状，并证明你的结论【答案】【答案】解： （1）折叠后的AB所在圆 O与O 是等圆，OA=OA=2。当AB经过圆 O 时，折叠后的AB所在圆 O在O 上，如图 2所示，连接 OAOAOB，OB，OO。OOA，OOB 为等边三角形，AOB=AOO+BO

47、O=60+60=120。AOB的长度120241803。如图 3 所示，连接 OA，OB，OA=OB=AB=2，AOB 为等边三角形。过点 O 作 OEAB 于点 E，OE=OAsin60=3。圆心 O 到弦 AB 的距离为3。（2）如图 4，当折叠后的AB与CD所在圆外切于点 P 时，过点 O 作 EFAB 交 AB 于点 H、交AEB于点 E，交 CD 于点G、交CFD于点 F，即点 E、H、P、O、G、F 在直径 EF 上。ABCD，EF 垂直平分 AB 和 CD。根据垂径定理及折叠，可知 PH=12PE，PG=12PF。又EF=4，点 O 到 ABCD 的距离之和 d 为：d=PH+P

48、G=12PE+12PF=12（PE+PF）=2。如图 5，当 AB 与 CD 不平行时，四边形是 OMPN 平行四边形。证明如下：设 O，O为APB和CPD所在圆的圆心，点 O与点 O 关于 AB 对称，点 O于点 O 关于 CD 对称，点 M 为的 OO中点，点 N 为 OO的中点。折叠后的APB与CPD所在圆外切，连心线 OO必过切点 P。折叠后的APB与CPD所在圆与O 是等圆，OP=OP=2，PM=12OO=ON，PN=12OO=OM，四边形 OMPN 是平行四边形。【考点【考点】翻折变换（折叠问题）相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，解直角

49、三角形，三角形中位线定理。【分析【分析】 （1）折叠后的AB所在圆 O与O 是等圆，可得 OA 的长度。如图 2，过点 O 作 OEAB 交O 于点 E，连接 OAOBAE、BE，可得OAE、OBE 为等边三角形，从而得到AOB的圆心角，再根据弧长公式计算即可。如图 3，连接 OAOB，过点 O 作 OEAB 于点 E，可得AOB 为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求圆心 O 到弦 AB 的距离。（2）如图 4，AEB与CFD所在圆外切于点 P 时，过点 O 作 EFAB 交AEB于点 E，交CFD于点 F，根据垂径定理及折叠，可求点 O 到 ABCD 的距离之和。由三角形中位线定理，

50、 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。14. （2012 湖南益阳湖南益阳 10 分分）已知： 如图，抛物线 y=a （x1）2+c 与 x 轴交于点 A13 0 ，和点 B，将抛物线沿 x 轴向上翻折，顶点 P 落在点 P（1，3）处（1）求原抛物线的解析式；（2）学校举行班徽设计比赛，九年级 5 班的小明在解答此题时顿生灵感：过点 P作 x 轴的平行线交抛物线于 C、D 两点，将翻折后得到的新图象在直线 CD 以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为 W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接

51、近黄金分割比512（约等于 0.618） 请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：52.23662.449 ，结果可保留根号）【答案】【答案】解： （1）P 与 P（1，3）关于 x 轴对称，P 点坐标为（1，3） 。抛物线 y=a（x1）2+c 顶点是 P（1，3） ，抛物线解析式为 y=a（x1）23。抛物线 y=a（x1）23 过点 A13 0 ，a（131）23=0，解得 a=1。抛物线解析式为 y=（x1）23，即 y=x22x2。（2）CD 平行 x 轴，P（1，3）在 CD 上，C、D 两点纵坐标为 3。由（x1）23=3，解得：12x =16x =1+ 6，。

52、C、D 两点的坐标分别为 16 31+ 6 3 ， ，。CD=2 6。“W”图案的高与宽（CD）的比=36=42 6（或约等于 0.6124） 。【考点【考点】二次函数的应用，翻折对称的性质，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析【分析】 （1）利用 P 与 P（1，3）关于 x 轴对称，得出 P 点坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可。（2）根据已知求出 C，D 两点坐标，从而得出“W”图案的高与宽（CD）的比。15. （2012 江苏江苏南通南通 14 分）分）如图，经过点 A(0，4)的抛物线 y12x2bxc 与 x 轴相交于点 B(0，0)和 C，O 为坐标原点(

53、1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线 y12x2bxc 向上平移72个单位长度、 再向左平移 m(m0)个单位长度，得到新抛物线若新抛物线的顶点 P 在ABC 内，求 m 的取值范围；(3)设点 M 在 y 轴上，OMBOABACB，求 AM 的长【答案】【答案】解： （1）将 A（0，4） 、B（2，0）代入抛物线 y=12x2+bx+c 中，得：0c4 22bc0 ，解得，b1 c4 。抛物线的解析式：y=12x2x4。（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：217y=x+mx+m4+22，即：22111y=x + m1 x+mm222。它的顶点坐标 P（1m，1） 。由（1）的抛物线解析

54、式可得：C（4，0） 。直线 AB：y=2x-4；直线 AC：y=x4。当点 P 在直线 AB 上时，2（1m）4=1，解得：m=52；当点 P 在直线 AC 上时， （1m）4=1，解得：m=2；又m0，当点 P 在ABC 内时，0m52。（3）由 A（0，-4） 、B（4，0）得：OA=OC=4，且OAC 是等腰直角三角形。如图，在 OA 上取 ON=OB=2，则ONB=ACB=45。ONB=NBA+OAB=ACB=OMB+OAB，即ONB=OMB。如图，在ABN、AM1B 中，BAN=M1AB，ABN=AM1B，ABNAM1B，得：AB2=ANAM1；由勾股定理，得 AB2=（2）2+4

55、2=20，又 AN=OAON=42=2，AM1=202=10，OM1=AM1OA=104=6。而BM1A=BM2A=ABN，OM1=OM2=6，AM2=OM2OA=64=2。综上，AM 的长为 6 或 2。【考点】【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。【分析【分析】 （1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将 A、B 两点坐标代入即可得解。（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，从而用 m 表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线 AB、AC 的解析式中，即可确定 P 在ABC 内时 m 的取值范围。（3

56、）先在 OA 上取点 N，使得ONB=ACB，那么只需令NBA=OMB 即可，显然在 y 轴的正负半轴上都有一个符合条件的 M 点；以 y 轴正半轴上的点 M 为例，先证ABN、AMB 相似，然后通过相关比例线段求出 AM 的长。16. （2012 江苏淮安江苏淮安 12 分分）如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A（0，4） ，C（2，0） ，将矩形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 1350，得到矩形 EFGH（点 E与 O 重合）.（1）若 GH 交 y 轴于点 M，则FOM，OM=（2）矩形 EFGH 沿 y 轴向上平移 t 个单位。直线 GH 与 x 轴

57、交于点 D，若 ADBO，求 t 的值；若矩形 EFHG 与矩形 OABC 重叠部分的面积为 S 个平方单位，试求当 0t224时，S与 t 之间的函数关系式。【答案】【答案】解： （1）450；2 2。（2）如图 1，设直线 HG 与 y 轴交于点 I。四边形 OABC 是矩形，ABDO，AB=OC。C（2，0） ，AB=OC=2。又ADBO，四边形 ABOD 是平行四边形。DO=AB=2。由（1）易得，DOI 是等腰直角三角形，OI=OD=2。t=IM=OMOI=2 22。如图 2，过点 F，G 分别作 x 轴，y 轴的垂线，垂足为 R，T，连接 OC。则由旋转的性质，得，OF=OA=4，

58、FOR450，OR=RF=2 2，F（2 2，2 2） 。由旋转的性质和勾股定理，得 OG=2 5，设 TG=MT=x，则 OT=OMMT=2 2+x。在 RtOTG 中，由勾股定理，得222x + 2 2+x= 2 5，解得 x=2。G（2，3 2） 。用待定系数法求得直线 FG 的解析式为y=x4 2。当 x=2 时，y=24 2。当 t=4 22时，就是 GF 平移到过点 C 时的位置（如图 5） 。当 0t4 22时，几个关键点如图 3，4，5 所示：如图 3 ，t=OE=OC=2，此时，矩形 EFGH 沿 y 轴向上平移过程中边EF 经过点 C；如图 4，t=OE=OM=2 2，此时

59、，矩形 EFGH 沿 y 轴向上平移过程中边 HG 经过点 O；如图 5，t=OE=4 22，此时，矩形 EFGH 沿 y 轴向上平移过程中边FG 经过点 C。 （I） 当 0t2 时， 矩形 EFHG 与矩形 OABC 重叠部分的面积为OCS的面积（如图 6）。此时，OE=OS= t， 21St2。（II）当 2t2 2时，矩形 EFHG 与矩形 OABC 重叠部分的面积为直角梯形 OEPC 的面积（如图 7）。此时 OE= t，OC=2。由 E（0，t），FFO=450，用用待定系数法求得直线 EP 的解析式为y=x+t。当 x=2 时，y=2+t。CP=2+t。1St2+t2=2t22。

60、（III）当2 2t4 22时，矩形 EFHG 与矩形 OABC 重叠部分的面积为五边形 EQCUV 的面积 （如图 8） ， 它等于直角梯形 EQCO 的面积减去直角三角形 VOU的的面积。此时，OE= t，OC=2，CQ=2+t，OU=OV= t2 2。22111St2+t2t2 2=t + 2+2 2 t6222。综上所述，当 0t4 22时，S 与 t 之间的函数关系式为221t0t22S2t2 2t2 21t + 2+2 2 t6 2 2t4 222。【考点【考点】旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方