定积分的概念上课

1、 xy0直线直线xy0几条线段连成的几条线段连成的折线折线xyo曲线曲线探究思考问题问题1：你能求出下面图像的面积吗？：你能求出下面图像的面积吗？问题问题2：第三幅图的面积应该怎么求呢？：第三幅图的面积应该怎么求呢？ 1.曲边梯形曲边梯形：在直角坐标系中，由连在直角坐标系中，由连续曲线续曲线y=f(x)，直线，直线x=a、x=b及及x x轴所围成的轴所围成的图形叫做曲边梯形。图形叫做曲边梯形。ox y a b y=f (x)一一. . 求曲边梯形的面积x=ax=b 因此，我们可以用这条直线因此，我们可以用这条直线l来代替点来代替点p附附近的曲线，也就是说：在点近的曲线，也就是说：在点p附近，曲

2、线可以看附近，曲线可以看作直线（即在很小范围作直线（即在很小范围“内以直代曲内以直代曲” ）p放大放大再放大再放大pp“以直代曲以直代曲,无限逼近无限逼近 ”的数学思想的数学思想 y = f(x)bax yo a1a a1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积a a1 1近似代替曲边梯形近似代替曲边梯形的面积的面积a a，得，得a a1+ a2用两个矩形的面积用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形近似代替曲边梯形的面积的面积a，得，得 y = f(x)bax yoa1a2a a1+ a2+ a3+ a4用四个矩形的面积用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形近似代替曲边梯形的面积的面积a， 得得 y = f

3、(x)bax yoa1a2a3a4 y = f(x)bax yoa a1+ a2 + + an 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积，形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯于是曲边梯形的面积形的面积a a近似为近似为a1aian 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 2 2曲边梯形的面积曲边梯形的面积 求曲边梯形的面积即求曲边梯形的面积即求求 下的面积下的面积)(xfy 0)(xf 分成很窄的小曲边梯形，分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代后求和。然后用矩形面积代后求和。 若若“梯形梯形” ” 很窄，很窄，可近似

4、地用矩形面积代替可近似地用矩形面积代替在不很窄时怎么办？在不很窄时怎么办？ 以直代曲以直代曲 oabxy)(xfy oabxy)(xfy例例1.1.求抛物线求抛物线y y= =x x2 2、直线、直线x x=1=1和和x x轴所围成的曲边轴所围成的曲边梯形的面积。梯形的面积。 n1n2nknnxoy解析解析: :把底边把底边0,10,1分成分成n n等份等份, ,然后在每个分点作底边的垂然后在每个分点作底边的垂线线, , 这样曲边三角形被分成这样曲边三角形被分成n n个窄条个窄条, , 用矩形来近似代替用矩形来近似代替, ,然后把这些小矩形的面积加起来然后把这些小矩形的面积加起来, , 得到一

5、个近似值，再取得到一个近似值，再取其极限值。其极限值。2xy 探究思考把区间把区间00，11等分成等分成n n个小区间个小区间：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 每个区间的长度为ii-11ii-11 x =-=x =-=nnnnnn过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小个小曲边梯形，他们的面积分别记作曲边梯形，他们的面积分别记作.s,s,s,sni21 1 1n n2 2n nknnnxoy2yxi-1iffnni-1ninifni-1fn 如图，当如图，当n n很很大时，即大时，即x x很小很小时，在区间时，在区间 上可以认为函数上可

6、以认为函数 的值变化很小的值变化很小. .i - 1i,nn2y = x 把曲边梯形分成把曲边梯形分成n个小曲边梯形面积记个小曲边梯形面积记做做 .用小矩形的面用小矩形的面积积 近似地替代近似地替代 即局部小范围内即局部小范围内“以以直代曲直代曲”.2ii2i-1i-1ss = fx =xnni-11=i =1,2,n .nnisi i s sis则阴影部分面积则阴影部分面积ns 2nni = 1i = 1nnii = 12222233s= s=111n - 11= 0+nnnnn1=1+ 2+n - 1nn - 1n2 n - 11=n6111=1 -i - 1i - 11f x =1 -3

7、n2nnnnn111ss =1-1-3n2n得到得到s s（曲边梯形面积）（曲边梯形面积）的近似值的近似值：当当分分割割的的份份数数无无限限增增多多, ,即即n n, ,x x0 0时时 当当n趋向于无穷大，即趋向于无穷大，即 趋向于趋向于0时，时， 趋向于趋向于s.从而有从而有xxn111s =1-1-3n2n nni = 1nnns = lim s=1111= lim1 -11-=3n2i - 1limfnnn3 分割分割以曲代直以曲代直作和作和逼近逼近例例1.求抛物线求抛物线y=x2、直线直线x=1和和x轴所围成的曲边梯形的面积轴所围成的曲边梯形的面积。 n1n2nknn21112222

8、223311 1()()11121110 1(12(1) )1 (1) (21)611112.6nnnniiiiiissfxnnnnnnnnnnnnnnn nnnn xoy解解把底边把底边0,10,1分成分成n n等份等份, ,然后在每个分点作底边的垂线然后在每个分点作底边的垂线, , 这样曲边三角形被分成这样曲边三角形被分成n n个窄条个窄条, , 用矩形来近似代替用矩形来近似代替, ,然后把然后把这些小矩形的面积加起来这些小矩形的面积加起来, , 得到一个近似值得到一个近似值: :2xy 因此因此, , 我们有理由相我们有理由相信信, , 这个曲边三角形这个曲边三角形的面积为的面积为: :

9、lim111lim1261.3nnnssnn求由连续曲线求由连续曲线y f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 (2)取近似求和取近似求和:任取任取x xi xi 1, xi，第，第i个小曲边梯形的面积用个小曲边梯形的面积用高为高为f(x xi)而宽为而宽为 x的小矩形面积的小矩形面积f(x xi) x近似之。近似之。 (3)取极限取极限:，所求曲边所求曲边梯形的梯形的面积面积s为为 取取n个小矩形面积的和作为曲边梯个小矩形面积的和作为曲边梯形面积形面积s的近似值：的近似值：xiy=f(x)x yobaxi+1xix1lim( )ninisfxx1( )niisfxx (1)

10、分割分割:在区间在区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间: 每个小区间宽度每个小区间宽度xban 11211,iina xx xxxxb引入引入 如果汽车做变速直线运动，在时刻如果汽车做变速直线运动，在时刻t t的速度为的速度为 (t(t的单位：的单位：h h，v v的单位：的单位：km/h)km/h)，那么它在，那么它在 这段时间内行驶的路程这段时间内行驶的路程s s（单位：（单位：kmkm）是）是多少？多少？2v(t)=-t +20t1 求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程探究思考nnss lim 结合求曲边梯形面积的过程，你认为结

11、合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程汽车行驶的路程s和由直线和由直线t=0，t=1,v=0和和曲线曲线 所围成的曲边梯形的面所围成的曲边梯形的面积有什么关系？积有什么关系？2v(t)=-t +2 在时间区间在时间区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个分点，将它等分成个分点，将它等分成n个小区间：个小区间：112n - 10 , 1nnnn 记第记第i i个区间为个区间为 ，其长度为：其长度为：i-1 i,i =1,2,nnnii-11t =-=nnn 当当n很大，即很大，即 很小时，在区间很小时，在区间 上，函数上，函数 的变化值很小，的变化值很小，近似地等于一个常数近似地等于

12、一个常数. 从物理意义上看，就是汽车在从物理意义上看，就是汽车在时间段时间段 上的速度上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时变化很小，不妨认为它近似地以时刻刻 处的速度作处的速度作匀速行驶匀速行驶.i - 1i,nnt2v(t)=-t +2i - 1ni -1i,i = 1,2,nnn2ii2i-1i-11s = s = vt = -+2nnni-112= -+i =1,2,nnnn在区间在区间 上，近似地认为速度为上，近似地认为速度为 即在局部小范围内即在局部小范围内 “以匀速代变速以匀速代变速”.i - 1i,nn2i - 1i - 1v=-+ 2nn 由近似代替求得：由近似代替求得： 2

13、nnnii = 1i = 122233ni = 122i - 112-+nnn111n - 11-0-i - 1ss= s=v tn=1= -1+ 2+n - 1+ 2n1(n - 1 )n (2 n - 1 )= -+ 2nn+ 2n6111= -1 -1n-+ 232 nnnnnnnni=1n1i-1s = lims = limvnn1115= lim -1-1-+2 =3n2n3 当当n趋向于无穷大，即趋向于无穷大，即 趋向于趋向于0时，时， 趋向于趋向于s，从而有，从而有n111s =-1-1-+23n2nt一般地，如果物体做变速直线运动，速度函一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数

14、为数为 vv t， 那么我们也可以采用分割、 近似代， 那么我们也可以采用分割、 近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在的方法及无限逼近的思想，求出它在a atb b内内所作的位移所作的位移s 结论结论 从求曲边梯形面积以及变速直线运动路程从求曲边梯形面积以及变速直线运动路程的过程可知，它们都可以通过的过程可知，它们都可以通过“四步曲四步曲”：分分割、近似代替、求和、取极限割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都得到解决，且都可以归结为求一个特定形式和的极限可以归结为求一个特定形式和的极限.曲边梯形面积变速直线

15、运动路程niinniixfnxfs110)(1lim)(limxxniinniitvntvs110)(1lim)(limxx 复习复习一、定积分的概念一、定积分的概念bxxxxxabaxfnii110上连续，用分点，）在区间（一般地，如果函数，）（）（），作和式，（上任取一点，间个小区间，在每个小区等分成，将区间niniiiiiifnabxfnixxnba11121xxx.上的定积分，）在区间（叫做函数某个常数，这个常数时，上述和式无限接近当baxfn.lim1niinbabafnabdxxfdxxf）（）（，即）（记作x 概念概念定积分的定义： 定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分

16、号，叫做积分号， f(x) 叫做被积函数，叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。叫做积分区间。1( )lim( )ninibaf x dxfnxba即oabxy)(xfy sbaf (x)dx； 按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线yf(x) (f(x)0) ，直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为 sbav(t)dt。 oab( )vv ttv定积分的定义

17、：1( )lim( )ninibaf x dxfnxba即112001( )3sf x dxx dx根据定积分的定义右边图形的面积为1x yof(x)=x213s 1sd2sd2( )2v tt= -+o ov t t12gggggg3sdjsdnsd1n2n3njn1nn-4sd112005( )(2)3sv t dttdt 根据定积分的定义左边图形的面积为正确理解定积分的概念正确理解定积分的概念(),dt();( )( )( )bbbaaaf x dxf u duf t (1)定积分是一个数值 极限值 它的值仅仅取决于被积函数与积分的上下限 而与积分变量用什么字母表示无关 即称为积分形式的

18、不变性 120320a,b,.( ) ( )(1)(1)baf x d xxdxxdx (2)定积分与积分区间息息相关 不同的积分区间定积分的积分限不同 所得的值也就不同 例如与的值就不同1lim.nbianibaf xdxfnx（ ）（ ）（3 3）. .规定：规定：abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxf二、定积分的几何意义：二、定积分的几何意义：ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f (x)、 特别地，当 ab 时，有baf (x)d

19、x0。 当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，x yodxxfsba)(，dxxfba)(ab yf (x) yf (x)dxxfsba)(baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 s上述曲边梯形面积的负值。 积分baf (x)dx 在几何上表示 baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 soabxyy=f(x)y=f(x)探究根据定积分的几何根据定积分的几何意义，你能用定积意义，你能用定积分表示图中阴影部分表示图中阴影部分的面积吗？分的面积吗？12( )( )bbaasf x dxfx dx 探究探究三三: : 定积分的

20、基本性质定积分的基本性质 性质性质1. 1. dx)x( g)x(fba babadx)x( gdx)x(f性质性质2. 2. badx)x(kf badx)x(fk 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性质性质3. 3. 2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fox yab yf (x) 性质性质 3 不论不论a，b，c的相对位置如何都有的相对位置如何都有ab y=f(x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx

21、f (x)dxbcf (x)dx。 cox ybaf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 130.x dx利用定积分的定义，计算的值例1: 3f xx解：令 在区间在区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个分点，把区间个分点，把区间0,1等分成等分成n个小区间个小区间 每个小区每个小区间的长度为间的长度为i -1 i, i = 1,2,nin（）ii -11x =-=nnn (1)分割分割 例题例题（2）近似代替，作和）近似代替，作和1n3nnn133n40i=1i=1i=12224ii1x dxs =fx =innn1111 =nn+1=1+n44n213n0nn111x dx

22、 = lim s = lim1+=4n4（3）取极限）取极限ii =(i = 1,2,n)n取，回顾回顾以平均速度代替瞬时速度，然后通过以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。我们把物体在某一时刻的速度称为我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度.从函数从函数y=f(x)在在x=x0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是:0000()(),limlimxxfxffxxxx我们称它为函数我们称它为函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数，记作处的导数，记作f f (x(x0 0) )或或

23、y y|xx|xx0 0即即00000()()(),limlimxxfxfffxxxxx 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的处的导数的基本方法是导数的基本方法是:00(1)()();yf xxf x 求函数的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均变化率00(3)()lim.xyfxx 取极限，得导数注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负. 自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择选择 哪种形式哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应

24、的形式.回回顾顾p1p2p3p4pttttpp( )yf x=( )y=f x( )y=f x( )y=f xoyxoyxoyxoyx211 .图图()1( )2( )3( )4再观察再观察-直线和直线和p附近的曲线的贴近程度！附近的曲线的贴近程度！在点在点p附近，曲线附近，曲线f (x)可以用在点可以用在点p处的切线处的切线pt近近似代替似代替 。pqoxyy=f(x)割割线线切线切线t请看当点请看当点q沿着曲线逐渐向点沿着曲线逐渐向点p接近时接近时,割线割线pq绕着绕着点点p逐渐转动的情况逐渐转动的情况. 我们发现我们发现,当点当点q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点p即即x0时时,割线

25、割线pq有一个确定位置有一个确定位置pt.则我们把直线则我们把直线pt称为曲称为曲线在点线在点p处的处的切线切线. 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线pq的斜的斜率率,称为曲线在点称为曲线在点p处的处的切线的斜率切线的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切线 这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.导数的几何意义导数的几何意义 函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲处的导数的

26、几何意义，就是曲线线 y=f(x)在点在点p(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率. 即即:0( )kf x切线 故曲线故曲线y=f(x)在点在点p(x0 ,f(x0)处的切线方程是处的切线方程是:)()(000 xxxfxfy 例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点p(1,2)处的切线方程处的切线方程.qpy=x2+1xy-111ojmyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率

27、 ，得到曲线在点得到曲线在点(x0,f(x0)的的。)(0 xf （2）根据直线方程的）根据直线方程的，即即).)()(000 xxxfxfy 求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：例例:高台跳水运动中，高台跳水运动中， 秒秒 时运动员相时运动员相对于水面的高度是对于水面的高度是 （单位：（单位： ），求运动员在），求运动员在 时的瞬时时的瞬时速度，并解释此时的运动状态速度，并解释此时的运动状态;在在 呢呢? t)(s105 . 69 . 4)(2ttthst1mst5 . 06 . 1) 5 . 0(/hst1ththth) 1 ()1 (ttt1015 . 619 . 410) 1(5 .

28、6) 1(9 . 4223 . 39 . 4t3 . 3同理，同理， thh1/运动员在时的瞬时速度为运动员在时的瞬时速度为 ，3 . 3) 1 (/hst1sm/3 . 3st5 . 0smh/6 . 1)5 . 0(/sm/6 . 1上升上升下落下落这说明运动员在附近，正以大约这说明运动员在附近，正以大约 的速率的速率 。3 . 39 . 4t0limt)(lim0t 3 . 31/hst5 . 0sm/ .,.,.附近的变化情况附近的变化情况在在述、比较曲线述、比较曲线请描请描据图象据图象根根图象图象的的数数时间变化的函时间变化的函示跳水运动中高度随示跳水运动中高度随它表它表如图如图例例

29、21021056943112tttthttth 0l1l2ltho0t1t2t311 .图图.,的的变变化化情情况况刻刻画画曲曲线线在在动动点点附附近近利利用用曲曲线线在在动动点点的的切切线线 .,变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解thtttxh210 1.在函数在函数 的的图像上，图像上，(1)用图形来体现导数用图形来体现导数 ， 的几何意义的几何意义. 105 . 69 . 4)(2ttth3 . 3) 1 (/h6 . 1)5 . 0(/hh0 . 15 . 0ot (2)请描述，比较曲线分别在请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减

30、）以及增（减）快慢的情况。在在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4thto3t4t0t1t2t (2)请描述，比较曲线分别在请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4t增（减增（减):增（减）增（减）快慢：快慢：=切线的斜率切线的斜率附近：附近：瞬时瞬时变化率变化率（正或负）（正或负）即：瞬时变化率（导数）即：瞬时变化率（导数）（数形结合，以直代曲）（数形结合，以直代曲）画切线画切线即：导数即：导数 的绝对值的大小的绝对值的大小=切线斜率的绝对值的切线斜率的绝对值的 大小大小切线的倾斜

31、程度切线的倾斜程度（陡峭程度）（陡峭程度）以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象(2) 曲线在曲线在 时，切线平行于时，切线平行于x轴，曲线在轴，曲线在 附近比较平坦，几乎没有升降附近比较平坦，几乎没有升降 0t曲线在曲线在 处切线处切线 的斜率的斜率 0 在在 附近，曲线附近，曲线 ，函数在，函数在 附近单调附近单调0t,1t,1t2t如图，切线如图，切线 的倾斜程度大于切线的的倾斜程度大于切线的倾斜程度，倾斜程度， 2t1t,3t4t大于大于上升上升递增递增2l1l3l4l3t4t上升上升这说明曲线在这说明曲线在 附近比在附近附近比在附近 得迅速得迅速2t,1l2l,3l4l0)(),(2/1/thth0)(),(4/3/thth,1t2t,3t4t递减递减下降下降小于小于下降下降,3t4t .,.,几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当00001ttxltthtt .,.,附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当11111102ttthttthltthtt .,.,单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当12222203ttthttthltthtt .,.附近下降得缓