高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式高效演练 新人教A版选修45

1、我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实 现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展

2、一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平 不 不 高 高 、 、 城 城 乡 乡 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 不 不 协 协 调 调 等 等 现 现 实 实 挑 挑 战 战 。 。4.24.2用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式a 级基础巩固一、选择题1用数学归纳法证明 3nn3(n3，nn)，第一步应验证()an1bn2cn3dn4解析：由题意n3 知应验证n3.答案：c2用数学归纳法证明“11213

3、12n1n，(nn，n1)”时，由nk(k1)不等式成立，推证nk1 时，左边应增加的项数是()a2k1b2k1c2kd2k1解析：增加的项数为(2k11)(2k1)2k12k2k.故选 c.答案：c3设n为正整数，f(n)112131n，计算得f(2)32，f(4)2，f(8)52，f(16)3，f(32)72，观察上述结果，可推测出的一般结论为()af(2n)2n12(n1，nn*)bf(n2)n22(n1，nn*)cf(2n)n22(n1，nn*)d以上都不对解析：f(2)32，f(4)f(22)222，f(8)f(23)322，f(16)f(24)422，f(32)f(25)522，我

4、 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实 现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展 一

5、 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平 不 不 高 高 、 、 城 城 乡 乡 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 不 不 协 协 调 调 等 等 现 现 实 实 挑 挑 战 战 。 。依此类推可知f(2n)n22(n1，nn*)答案：c4设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立” 那么下列命题总成立的是()a若f(3)9 成立，则当k1 时，均有f(

6、k)k2成立b若f(5)25 成立，则当k5 时，均有f(k)k2成立c若f(7)49 成立，则当k8 时，均有f(k)k2成立d若f(4)25 成立，则当k4 时，均有f(k)k2成立解析：由“f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立” ，因此，对于 a，k1，2 时不一定成立，对于 b，c，显然错误对于 d，因为f(4)2542，因此对于任意的k4，均有f(k)k2成立答案：d5若不等式1n11n212nm24对大于 1 的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为()a12b13c14d不存在解析：令f(n)1n11n212n，取n2，3，4，5 等值发现f(n)是单调递减的，

7、所以f(n)maxm24，所以由f(2)m24，求得m的值故应选 b.答案：b二、填空题6用数学归纳法证明 2n1n2n2(nn)时，第一步的验证为_解析：当n1 时，2111212，即 44 成立答案：21112127在abc中，不等式1a1b1c9成立；在四边形abcd中，不等式1a1b1c1d162成立；在五边形abcde中，不等式1a1b1c1d1e253成立猜想在n边形a1a2an中，类似成立的不等式为_解析：由题中已知不等式可猜想：我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发

8、展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实 现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展 一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不

9、平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平 不 不 高 高 、 、 城 城 乡 乡 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 不 不 协 协 调 调 等 等 现 现 实 实 挑 挑 战 战 。 。1a11a21ann2（n2）(n3 且nn*)答案：1a11a21ann2（n2）(n3 且nn*)8在应用数学归纳法证明“11221321（n1）22n1n1(nn*)”时，从nk到nk1，不等式左边增加的项是_解析：解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化，一看“头”，从 12开始；二看“尾”，当nk时，尾项的分母为(k1)2，nk1 时尾项的分母为(k2)2；三看中

10、间，如果忽略平方，1，2，3，(n1)这些数都是连续相差 1 时因此，从nk到nk1 只增加了一项，即1（k2）2(kn)答案：1（k2）2三、解答题9试证明：112131n2n(nn)证明：(1)当n1 时，不等式成立(2)假设nk(k1，kn)时，不等式成立，即112131k2k.那么nk1 时，112131k1k12k1k12k（k1）1k1k（k1）1k12k1.这就是说，nk1 时，不等式也成立根据(1)(2)可知不等式对nn成立10已知函数f(x)13x3x，数列an满足条件：a11，且an1f(an1)，证明：an2n1(nn*)我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进

11、 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实 现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展 一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国

12、 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平 不 不 高 高 、 、 城 城 乡 乡 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 不 不 协 协 调 调 等 等 现 现 实 实 挑 挑 战 战 。 。证明：由f(x)13x3x，得f(x)x21.因此an1f(an1)(an1)21an(an2)，(1)当n1 时，a11211，不等式成立(2)假设当nk时，不等式成立，即ak2k1，当nk1 时，ak1ak(ak2)(2k1)(2k12)22k1.又k1，所以 22k2k1，所以

13、nk1 时，ak12k11，不等式成立根据(1)和(2)知，对任意nn，an2n1 成立b 级能力提升1对于正整数n，下列不等式不正确的是()a3n12nb0.9n10.1nc0.9n10.1nd0.1n10.9n解析：排除法，取n2，只有 c 不成立答案：c2利用数学归纳法证明35（2n1）24（2n2）2n1时，n的最小取值n0应为_解析：n01 时不成立，n02 时，32 3，再用数学归纳法证明，故n02.答案：23已知数列an的前n项和为sn，且满足a112，an2snsn10(n2)(1)判断1sn是否为等差数列，并证明你的结论；(2)证明：s21s22s2n1214n.(1)解：s

14、1a112，所以1s12.当n2 时，ansnsn1，即snsn12snsn1，所以1sn1sn12.故1sn是以 2 为首项、2 为公差的等差数列我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实 现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展 一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平 不 不 高 高 、 、 城 城 乡