小波分析的基本理论ppt课件

1、刘九芬 2005.3l小波分析就是对小波基的存在性、构造与性质的研讨。l 称为小波描画性言语：“小指支撑集l 比较“小；l “波指动摇性正负相间l小波分析及其运用是一门新学科。它是Fourier分析与信号处置实际开展到一定阶段的产物。0)(|supxxpRdxx0)(l小波分析的诞生虽与本世纪前半叶的某些数学开展，例如Haar分析与(1938)Littlewood Paley分析有关，但直接地，却只能追溯到七十年代，那个时代， A. Caldern(1975)表示定理的发现与对Hardy空间的原子分解与无条件基的大量研讨为小波分析的诞生作了实际上的预备。l1982年，J. Strmberg首先

2、构造出指数衰减并且属于Ckk恣意有限的小波函数由它构造出的小波基被称为历史上第一个小波基，但它并没有引起当时人们的留意。l八十年代初许多搞信号分析的工程师们也为小波分析的诞生做出了积极的奉献。例如： J. Morlet(1984)在处置地震信号时就运用了小波变换。在影像地震学中，Morlet知道：在探测高频时假设送到地下的可调脉冲波继续时间太长，便不能用来分辨密聚的地层构造。因此，Morlet以为不能一直发射一样波长的波，在探测高频时应发送更短的波，这种由单个函数的伸缩得到的波叫小波，最早运用了小波这一称号。l1986年Y. Meyer偶尔地构造出了第一个具有无限光滑性并且频谱有限的如今称之为

3、Meyer基的真正的小波基，以及随后不久S. Mallat与Y. Meyer建立了构造小波基的通用方法 - 多尺度分析以后，小波分析才构成为一门科学。l小波分析的出现不仅为分析数学的研讨提供了有力工具，而且为信号分析与处置实际的开展树立了一块新的里程碑。它涉及面之广大，影响之深远，开展之迅速都是空前的。小波分析不仅曾经运用到图象纹理分析、图象编码、计算机视觉、语音识别、语音合成、语音编码等与信号处置有关的大部分工程领域，而且在调和分析、微分方程数值解、随机过程、量子场论等实际学科也得到了广泛运用，其影响正迅速地向其他学科漫延。lFourier分析包括Fourier变换和Fourier级数，是以

4、纯粹数学与运用数学分析为根底建立的学科。该分析方法在科学与技术的一切领域中不仅是非常重要的学科，而且Fourier变换和Fourier级数还具有重要的物了解释。另外， Fourier级数的计算方面也是特别有吸引力的，主要是由于级数的正交性和只用两个函数：sinx与cosx的简单表示性。l经典的Fourier分析指出，周期平方可积函数可以表示成Fourier级数。l (1)l其中 被称为的Fourier系数，可如下求得：l (2)l类似地，以为将函数的周期扩展到无穷大，对 其Fourier变换为：l (3)l其Fourier逆变换为：l 4l式中 称为频率。实践运用中的信号都是时间的函数，因此，

5、Fourier分析也称为时间域- 频率域分析。kikxkkkkeckxbkxaaxf10)sincos(21)(kcdxexfcikxk)(21)()(2RLxfRxidxexff)()(defxfxiR)(21)(l虽然Fourier分析有众多的优点，但也有不可忽视的局限性。1Fourier分析的两个组成部分Fourier级数和Fourier变换根本上不相关。2Fourier分析不能作部分化分析，由公式4可以看出， 在任何有限频段上信息，不能确定f (x)任何小范围内的值，反之由公式3可以看出f (x)的任何有限时域的值，也不能确定 的 任何小范围内的值。究其缘由:由于 的支集为整个实轴。

6、因此， Fourier分析面临着时域与频域部分化的根本矛盾。然而在很多非平稳信号分析和实时信号处置的运用中，我们所关怀的是信号部分范围内的特征。例如：对地震波的记录人们关怀的是什么位置出现什么样的反射波；边缘检测关怀信号突变的位置。tie)(wf)(wflFourier变换的缺陷使得FT在分析信号的瞬时特性方面显得脆弱无力。Gabor 留意到了FT的这一缺乏，在1946年提出了信号的时频部分化分析方法 - Gabor 变换，后来开展成为短时Fourier变换STFT或加窗Fourier变换。STFT引入一个窗口函数，它是在一有限区间称为窗口外恒等于零或迅速衰减为零的光滑函数，这个有限区间的位置

7、随一个参数t0而变，用l 去乘所要研讨的函数相当于在t0附近开了一个“窗口，然后对它作Fourier变换，即：l l 其中 。称为 f(x)关于窗口函数 l 的STFT。大致反映f(x)在时间窗的部分信息(时频联姻)dxxietxgxftfG)0()(: )0,()0(txg10)0(dttxg)(xgl在统计意义下，定义其时 - 频窗中心为：l又定义其时 - 频窗半径为： l那么其时 - 频窗大小为： Rdttgtgt2| )(|22|1:*Rdgg2| )( |22|1:*Rdttgttgg21)2| )(|2)*(2|1:Rdggg21)2| )( |2)*(2|1:*,*gtgt*,*

8、ggdwwiewgwfdxxietxgxftfG)()( )()0()(: )0,(图 时-频盒Heisenberg长方形l只需适当地选择窗口函数，就可以经过信号的加窗Fourier变换获得在2 时间区域内的信息；另一方面，一旦窗口函数取定，其窗口大小也随之确定，其时 - 频窗的大小和外形都就一定了，时间、频率分辨率也随之确定。lHeisenburg 测不准定理通知我们，无论是什么样的窗函数，时窗的宽度与频窗的宽度之积不小于 。因此中选定一窗函数，其频宽对应于某一频段。当窗滑动时，同样大小的时频窗同时用于高频和低频信号。这远远不能满足非平稳信号分析或突变信号处置的要求。 g21l在普通讯号中，

9、总是包含各种不同的频率成分。由于频率与每单位时间的周期数成正比，更好的分析手段是在频率高时，选一个窄时间窗提高时间分辨率，以分辨信号的高频细节；而选一个宽的时间窗更充分地分析信号的低频特性。显然，STFT不适宜分析同时具有很高频和很低频成分的信号。为满足普通讯号的时频分析要求，有必要寻觅一种可调时频窗的分析方法。小波变换正具有这种特性。 是小波:对函数伸缩及平移后可得：函数在尺度a、位置b的小波变换定义为如下内积 dtabttfaabfW)(*)(21|),)( 0dttabtaab1,0,),()(2aRbaRLtfl积分小波变换提供的时间窗和频率窗分别为：l该时频窗的特点：由于时间窗宽度为

10、2 ，因此，假设以/a作为频率变量，当检测高频景象时小的a，时间窗会自动变窄，提供分辨率高的时间信息；对于低频信息大的a,时间窗会自动变宽。在IWT中与频率有关的因子a在小波分析中称为尺度因子。l小波变换具有时频部分化特性，究其缘由是基函数 的支撑与a有关。当a小时高频，支撑集小；反之，支撑集大。而STFT的一切基函数 具有与原始窗函数一样的支撑宽度。就是由于基函数的这些特点决议了STFT和IWT各自的分析才干。其中基函数支撑集的大小决议了其时间分辨率的大小。 *, ,aaaaabatabat，a),(ba)(btgetj图 小波 和 的时-频盒。当尺度减小时，时间支撑减小然而频率支集添加。s

11、u,00,sul法国地理学家Morlet和数学家Grossmann证明了L2空间中的恣意函数都可以由它按一组称为小波函数的分解来表征。下式 f 的级数表示称为小波级数。l定义 (DWT)l因此， f 的第 j , k )个小波系数由 f 的积分小波变换在具有二进膨胀Zkjkjzjtctf,)()()21,2)(,jjkjkjkfWfc的离散小波变换关于为kjkjff,。kbajj计算给出的二进位置2/2l在小波分析开展初期，如何构造空间 L2Rn的 一组小波基是一件相当困难的事情(构造函数)。直到八十年代后期，人们 才发现了小波构造的一种一致的定式,并且从实际上曾经证明，几乎一切“有用具有适当

12、光滑性的小波基都可从这种定式构造出来- 这就是多尺度分析(MRA ,又称多分辨率分析)。与此同时，多尺度分析的数学与物理意义，已远不只是一种小波构造的“辅助工具，它本身有与小波同样重要的内涵。lMRA的思想来自于计算机视觉实际。从机器视觉的角度而言，单纯从灰度信息了解一幅图象中的物体是很困难的，更重要的是图象中灰度的部分变化。为了可以较好地了解一个物体，刻划这种部分变化的尺度应该与物体的大小适配。然而在普通的图象中，需求了解的各种构造拥有不同的大小，因此不能够预先定义一个最正确的分辨率来描画它们。l为处理这一难题，在计算机视觉中采用了不同的分辨率下处置图象中不同信息的方法，将图象在各种分辨率下

13、的细节提取出来，得到一个拥有不同分辨率rj的图象细节序列。其中rj分辨率时图象细节定义为：在多分辨率rj下对图象的逼近和在分辨率rj-1下的对图象的逼近之差。这种多分辨率的表示提供了一种图象信息简单的分层描画，在不同的分辨率下，图象的细节描写了不同尺度的物理构造，在粗分辨率时，这些细节表示了大的构造信息，提供了图象的“上下文描画，因此，很自然地应该先分析这些信息然后逐渐地添加分析精度。这种由粗到细的分析过程曾经广泛地运用在立体视觉匹配和模板匹配中，并且阐明与人眼的低级视觉处置是很类似的。lMallat对信号的逼近和细节的抽取进展了深化的研讨，发如今不同分辨率下对信号的逼近可以经过对L2Rn中一

14、稠密空间序列的投影来实现，而且得到的信号细节刚好是按一小波基的展开。由此出发，他与Meyer一同建立了小波构造的一个一致的框架 - MRA。l多尺度分析是在L2Rn函数空间内，将函数 f 描画成一系列越来越精细近似函数的极限。这些近似是在不同尺度下得到的，故有多尺度分析的称号。l我们先直观谈及小波与多尺度分析：l我们的目的是构造小波函数，使得l 成为L2Rn的一组规范正交基。这个函数系有两个下标，k将函数作平移，j 将函数作拉伸或挤压。属于同一个伸缩因子 j 的函数 具有一样的频率带宽：l这样我们可以将L2Rn空间作频率分层，记：l 那么 构成Wj的规范正交基， 彼此正交，且l上式中，从左到右

15、， Wj所表示的函数集的频率愈来愈高。假设记l那么Vj 是低频率函数集，满足如下性质：nZkZjjnjkjkxx,2/,)2(2: )(| )(,nkjZkx| )2( |2| )( )( |2/,jjnkj|:,nkjjZkspanW| )(,nkjZkxZjjWNoImage112)(jjjnWWWRLjjjWWV11Vj Vj+1 , jZ;1closL2(R)(Vj )=L2(R), Vj=0;1 并且 。这样 可以等价地由1来刻划。前者将空间L2(Rn)分成彼此相邻的“同心环层，后者好像一列不断包含的“同心球，不断张大，最后充溢整个空间L2(Rn)。1如今的问题是，既然V0是频率在某

16、个界以下的函数集，它能不能由某个低频函数 (x)的平移张成。假设有，我们就可以由条件：1倒求小波 。而求 ，由 会得到所谓的二尺度方程：1这样，问题就变得详细了。这个构造小波的框架就是著名的MRA。jjjVVW1ZjjWZjjV01VV 10VV nZkknkxhx)2(2)()(2nkZlhVjL2(R)S. Mallat 在MRA实际的根底上，提出了用子带构造实现离散小波变换的算法，一致了子带滤波器与小波变换的计算。这一算法在小波分析中的位置相当于Fourier分析中的FFT，奠定了DWT在信号处置中的运用根底。 Let (x)=2 hk(2x-k), (x)=2 gk(2x-k),Vj+

17、1=Vj Wj, Pj and Qj are the orthogonalprojectors from L2(R) to Vj and Wj respectively.For f Vj , DenotePj f(x)=c j,k j,k(x),Qj f(x)=d j,k j,k(x),Then we have S. Mallats algorithm as follows: c j+1,kc j,kc j-1,k d j+1,k d j,k d j-1,kljlkljkchc212ljlkljkcgd212 c j-1,kc j,kc j+1,k d j-1,k d j,k d j+1,k

18、ljllkjllkjkdgchc21212l如何将一维的滤波器推行到二维情形:l将一维小波变换推行到二维通常有两种方式。比较简单的方式称为可分别的二维小波分解，即在程度和竖直方向各自独立地进展一次一维小波变换。图2给出了表示图这里L表示低通滤波器，H表示高通滤波器。这种方式被以为符合人体视觉系统特性，且计算量较小，因此在小波图象紧缩中较为常用。l公式： 二维信号 ，设lklkjnlmlnmjchhc, 122,2lklkjnlmknmjcghd, 1221,2lklkjnlmknmjchgd, 1222,2lklkjnlmknmjcggd, 1223,2kkh1nnkhg1) 1(0kkgZnmnmx,nmnmxc, 0LL3 HL3 LH3 HH3 HL2 LH2 HH2 HL1 LH1 HH1 图: 图象小波分解l为简单起见，下面仅讨论图象经金字塔式