分析力学,拉格朗日方程ppt课件

1、5.1 自在度和广义坐标自在度和广义坐标 5.2 虚位移原理虚位移原理5.3 动能和势能动能和势能5.4 DAlembert原理原理 5.5 Lagrange方程方程5.6 哈密尔顿原理哈密尔顿原理自在度自在度 完全确定系统在任何瞬时位置所需的独立坐标数称完全确定系统在任何瞬时位置所需的独立坐标数称为自在度。为自在度。 5.1 自在度和广义坐标自在度和广义坐标 分析力学分析力学 分析力学是利用分析方法研讨质点系平衡和运动问分析力学是利用分析方法研讨质点系平衡和运动问题的工具。它从能量的观念，一致建立起系统动能、势题的工具。它从能量的观念，一致建立起系统动能、势能和功之间的标量关系，是研讨静动力

2、学问题的一个普能和功之间的标量关系，是研讨静动力学问题的一个普遍、简单又一致的方法。遍、简单又一致的方法。 广义坐标广义坐标 用某一组独立坐标参数就能完全确定系统在任用某一组独立坐标参数就能完全确定系统在任何瞬时的位置，那么这组坐标称为广义坐标。何瞬时的位置，那么这组坐标称为广义坐标。 普通地，建立振动系统数学模型时广义坐标的数目普通地，建立振动系统数学模型时广义坐标的数目与自在度相等。与自在度相等。约束约束 对质点在空间的运动所加的限制称为约束。对质点在空间的运动所加的限制称为约束。 质点的自在度质点的自在度 质点在空间需求质点在空间需求3 3个独立坐标才干确定它在任何瞬时的个独立坐标才干确

3、定它在任何瞬时的位置，因此，它的自在度为位置，因此，它的自在度为3 3。n n个毫不相关、无任何约束的个毫不相关、无任何约束的质点组成的质系自在度为质点组成的质系自在度为3n3n。刚体的自在度刚体的自在度 一个刚体在空间需求一个刚体在空间需求6 6个独立坐标才干确定其在任何瞬个独立坐标才干确定其在任何瞬时的位置，因此它的自在度为时的位置，因此它的自在度为6 6。m m个无约束刚体组成的系统个无约束刚体组成的系统自在度为自在度为6m6m。振动系统的自在度振动系统的自在度 振动系统力学模型中假设有振动系统力学模型中假设有n n个质点和个质点和m m个刚体，那个刚体，那么它的自在度么它的自在度DOF

4、DOF必定满足以下方程：必定满足以下方程：DOF = 3 n + 6 m -约束方程数约束方程数 例例 5.1 图图 (a)中，质量用一中，质量用一根弹簧悬挂。图根弹簧悬挂。图b中质中质量用一根长度为量用一根长度为l，变形可忽，变形可忽略的悬丝悬挂。分析系统的略的悬丝悬挂。分析系统的自在度，并建立系统的广义自在度，并建立系统的广义坐标。坐标。 这样，坐标这样，坐标 x 、 y 和和 z 就再不独立。假设用球面坐标就再不独立。假设用球面坐标r 、y 和和j 来表来表示，必需满足条件示，必需满足条件 r = l ，只需用，只需用y 和和j 两个坐标就能完全确定质量在任两个坐标就能完全确定质量在任何

5、瞬时的位置，即广义坐标数为何瞬时的位置，即广义坐标数为2，自在度为，自在度为2。解解 对图对图a所示的系统，虽然质量用弹簧悬挂，但弹簧能自在地伸长，所示的系统，虽然质量用弹簧悬挂，但弹簧能自在地伸长，因此它的约束方程为零，自在度为因此它的约束方程为零，自在度为3。 对图对图b所示的系统，悬挂质量的悬丝不可伸长，所示的系统，悬挂质量的悬丝不可伸长， 因此在空间的位置必因此在空间的位置必需满足质量离悬挂点的间隔坚持不变的条件，即满足以下方程约束方程：需满足质量离悬挂点的间隔坚持不变的条件，即满足以下方程约束方程：2222lzyx(a) b例例 5.2 右图表示由刚性杆右图表示由刚性杆l 1和质量和

6、质量m 1及刚性杆及刚性杆l 2和质量和质量m 2组成的两个单摆在组成的两个单摆在O 处用铰链衔接处用铰链衔接成双摆，并经过铰链成双摆，并经过铰链O与固定点衔接，使双摆只与固定点衔接，使双摆只能在平面内摆动，分析系统的自在度，并建立系能在平面内摆动，分析系统的自在度，并建立系统的广义坐标。统的广义坐标。 设刚性杆设刚性杆l 1与与x轴的夹角为轴的夹角为q 1 ，刚性杆，刚性杆l 2与与x轴的夹角为轴的夹角为q 2 ，方向，方向如下图，那么用和可以完全确定双摆在任何瞬时的位置，如下图，那么用和可以完全确定双摆在任何瞬时的位置， q 1和和q 2可以可以作为双摆的广义坐标。作为双摆的广义坐标。 解

7、解 由于双摆只能在平面内摆动，因此，由于双摆只能在平面内摆动，因此， z 1 = 0，z 2 = 0，而双摆的长度，而双摆的长度l 1和和l 2不变，即不变，即 利用自在度利用自在度DOF计算的公式，可得到双摆的自在度为计算的公式，可得到双摆的自在度为 212121lyx22212212lyyxxDOF 完好约束完好约束 当约束方程本身或约束方程经过积分后可以用下式所示的方当约束方程本身或约束方程经过积分后可以用下式所示的方式表示时，称为完好约束。显然，例式表示时，称为完好约束。显然，例5.15.1和例和例5.25.2的约束都是完的约束都是完好约束。好约束。0)(tz,y,x,fi定常约束定常

8、约束当约束方程与时间当约束方程与时间t t 无关时，称为定常约束。例无关时，称为定常约束。例5.15.1和例和例5.25.2的的约束都是定常约束。约束都是定常约束。不完好约束不完好约束 当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完好约束。具有不完好约束的系统，系统的自在度不等于广义坐好约束。具有不完好约束的系统，系统的自在度不等于广义坐标数，自在度数小于广义坐标数。标数，自在度数小于广义坐标数。不完好约束不完好约束 当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完好约束。具有不完

9、好约束的系统，系统的自在度不等于广义坐好约束。具有不完好约束的系统，系统的自在度不等于广义坐标数，自在度数小于广义坐标数。标数，自在度数小于广义坐标数。例例 5.3 刚体刚体A经过三个点放置经过三个点放置在在xoy 平面上，其中的两个接平面上，其中的两个接触点可在平面上作无摩擦自在触点可在平面上作无摩擦自在滑动，而滑动，而P点有一个刀片，使点有一个刀片，使其只能沿刀片方向挪动，分析其只能沿刀片方向挪动，分析冰刀系统的广义坐标和自在度。冰刀系统的广义坐标和自在度。解解 由于刚体由于刚体A在在xoy平面中挪动，因此需求三个广义坐标平面中挪动，因此需求三个广义坐标(x, y和和q)描画其描画其在恣意

10、时辰的位置。在恣意时辰的位置。 而刚体而刚体A只能沿刀片方向挪动，因只能沿刀片方向挪动，因此有约束方程：此有约束方程：自在度数为自在度数为2 2，小于广义坐标数。，小于广义坐标数。tanxy虚位移虚位移 所谓非自在质点系的虚位移是指在某一固定时辰，约束所所谓非自在质点系的虚位移是指在某一固定时辰，约束所允许发生的坐标微小改动量。允许发生的坐标微小改动量。 虚位移只是约束允许的能够位移虚位移只是约束允许的能够位移 ，并不一定是系统的真实位移。它，并不一定是系统的真实位移。它与时间与时间t t 的变化无关。的变化无关。 虚位移用虚位移用d d 表示，真实微小位移用表示，真实微小位移用d d表示。表

11、示。虚功虚功 力在虚位移上的元功称为虚功。力在虚位移上的元功称为虚功。在系统运动或平衡中处于主导位置。在系统运动或平衡中处于主导位置。约束作用于系统的力。约束作用于系统的力。力的分类力的分类作用于系统的力可分为两类：约束反力和自动力。作用于系统的力可分为两类：约束反力和自动力。理想约束理想约束 在虚位移上不做功的约束称为理想约束。在虚位移上不做功的约束称为理想约束。虚位移原理虚位移原理 受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是：件是：作用于质点系一切自动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之作用于质点系一切自动力在该位置处的任何虚位移

12、中的虚功之和等于零。和等于零。虚位移原理虚位移原理 受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是：件是：作用于质点系一切自动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之作用于质点系一切自动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。和等于零。01piiiWrF其数学表达式为其数学表达式为: :其中，其中，FiFi为作用于质点系的自动力，为作用于质点系的自动力， dri dri为虚位移。上式也称为虚功方程。为虚位移。上式也称为虚功方程。虚位移原理的另一种表述虚位移原理的另一种表述 假设系统有假设系统有n n个自在度，恣意一点的坐标矢量可以用个自在

13、度，恣意一点的坐标矢量可以用n n个广义坐标和时个广义坐标和时间间t t来表示，即：来表示，即：)(21tqqqnii，rr由于虚位移与时间无关，那么由于虚位移与时间无关，那么有：有：nkkkiiqq1rr 代入虚功方程，得：代入虚功方程，得： pinkkkiiqqW11rF对换求和的次序，得：对换求和的次序，得： nkkpikiiqqW11rF其中，其中， 为与广义坐标为与广义坐标qk qk 对应的广对应的广义力。义力。 ), 2, 1(1nkqQpikiikrF这样，虚功方程可以写成：这样，虚功方程可以写成：01nkkkqQW 由于虚位移是约束所允许的恣意能够位移，因此可恣意选择，当上式成

14、由于虚位移是约束所允许的恣意能够位移，因此可恣意选择，当上式成立时，有：立时，有：), 2, 1(0nkQk 虚位移原理可表述为：在理想约束情况下，虚位移原理可表述为：在理想约束情况下，n n 个自在度的系统到达平衡个自在度的系统到达平衡的充要条件是的充要条件是n n 个广义力都等于零。个广义力都等于零。动能动能 设质量为设质量为m im i的质点在某位置时的速度是的质点在某位置时的速度是 ，那么质，那么质点在此位置的动能为点在此位置的动能为 ir iiimVrr 21其中其中,nkikkiitqq1rrr假设振动系统由假设振动系统由p个质点组成，那么系统的动个质点组成，那么系统的动能为能为

15、ipiiimVrr 121 当系统具有定常约束时，各质点的坐标只是广义坐标的函数，而不显当系统具有定常约束时，各质点的坐标只是广义坐标的函数，而不显含时间含时间 t 。系统的动能可写成：。系统的动能可写成：pinlllinkkkiiqqqqmV11121rr改动求和的次序，得：改动求和的次序，得： nknllkpilikiiqqqqmV11121rrnknllklkqqmV1121或：或：其中，其中， 和和 为广义速度，为广义速度， 为广义质量系数，为广义质量系数， 。kq lq lkmpilikiilkqqmm1rr 引入广义质量矩阵引入广义质量矩阵 M ，并引入广义速度列阵，并引入广义速度

16、列阵 ，那么动能可表示，那么动能可表示为为q 显然显然 有有m k l = m l k。当质点在平衡位置附近作小振动时可近似地取其。当质点在平衡位置附近作小振动时可近似地取其在平衡位置附近台劳级数展开的第一项，即将在平衡位置附近台劳级数展开的第一项，即将m k l取为与广义坐标无关的取为与广义坐标无关的常数。常数。21TqMqV显然，动能是正定的，广义质量矩阵也是正定的。显然，动能是正定的，广义质量矩阵也是正定的。权利场和权利权利场和权利 质点从力场中某一位置运动到另一位置时，作用力的功与质点从力场中某一位置运动到另一位置时，作用力的功与质点阅历的途径无关，而只与其起点及终点位置有关，这就是质

17、点阅历的途径无关，而只与其起点及终点位置有关，这就是所谓的权利场。重力场、万有引力场和弹性力场都是权利场。所谓的权利场。重力场、万有引力场和弹性力场都是权利场。在权利场中质点所受的力称为权利。在权利场中质点所受的力称为权利。势能势能所谓势能是把质点从当前位置移至势能零点的过程中权利所作所谓势能是把质点从当前位置移至势能零点的过程中权利所作的功。根据势能的定义，特别需求强调的是：势能大小与规定的功。根据势能的定义，特别需求强调的是：势能大小与规定的势能零点位置有关。的势能零点位置有关。势能势能在线性系统中，势能是广义坐标的二次函数。可用矩阵方式表在线性系统中，势能是广义坐标的二次函数。可用矩阵方

18、式表示成：示成：21TqKqU 例例 5.4 右图表示由刚性杆右图表示由刚性杆l 1和质量和质量m 1及刚性杆及刚性杆l 2和质量和质量m 2组成的两个单摆在组成的两个单摆在O 处用铰链衔接成双摆，并经过铰链处用铰链衔接成双摆，并经过铰链O与固定点衔接，使双摆只能在平面内摆动。求系统作微与固定点衔接，使双摆只能在平面内摆动。求系统作微振动时的质量矩阵和刚度矩阵。振动时的质量矩阵和刚度矩阵。 解解 由于双摆只能在平面内摆动，可取由于双摆只能在平面内摆动，可取q 1和和q 2为广义坐为广义坐标。并以平衡位置标。并以平衡位置 q 1q 2 0 作为势能零点。作为势能零点。那么系统的势能为那么系统的势

19、能为)cos1()cos1()cos1(22112111llgmlgmU 其中，其中， K K 为刚度矩阵。普通地，刚度矩阵是对称、半正定矩阵。为刚度矩阵。普通地，刚度矩阵是对称、半正定矩阵。微振动时，系统的势能在平衡位置附近展开并保管广义坐标的二次项：微振动时，系统的势能在平衡位置附近展开并保管广义坐标的二次项：21)(21222221121lgmlgmmU系统的动能为系统的动能为)(cos2212112212122222121221211llllmlmV22222122121221212121)(cos)(21lmllmlmm通常，系数通常，系数 m i j 普通不是常数，这里普通不是常数

20、，这里m 1 2和和m 21是广义坐标的函数是广义坐标的函数)(cos21122121221llmmm当系统在平衡位置附近作小运动时，系数当系统在平衡位置附近作小运动时，系数 m i j 取其在平衡位置附近台劳级取其在平衡位置附近台劳级数的第一项：数的第一项：212122121llmmm那么系统的动能可写成那么系统的动能可写成222222121221212121)(21lmllmlmmV将动能和势能写成矩阵方式可以得到刚度矩阵和质量矩阵：将动能和势能写成矩阵方式可以得到刚度矩阵和质量矩阵：21)(21222221121lgmlgmmU222222121221212121)(21lmllmlmm

21、V2212100)(lgmlgmmK2222122122111)(lmllmllmlmmM质系质系DAlembert原理原理 作用在质系上的外力自动力和约束反力和惯性力构成平衡作用在质系上的外力自动力和约束反力和惯性力构成平衡力系。力系。), 2, 1(0pimiii rR其数学表达式为其数学表达式为: :其中，其中，R i R i 为自动力为自动力F iF i和约束反力和约束反力f if i的向量和。的向量和。运用运用D DAlembertAlembert原理可将虚位移原理推行到动力学问题。上式左边可看成质点原理可将虚位移原理推行到动力学问题。上式左边可看成质点上的合力，计算整个质系的虚功，

22、有上的合力，计算整个质系的虚功，有0)(1piiiiiimWrrfF 在理想约束下，约束反力虚功之和为零，因此有在理想约束下，约束反力虚功之和为零，因此有0)(1piiiiimWrrF 动力学普遍方程动力学普遍方程作用在理想约束质系上一切的自动力和惯性力恣意瞬时在虚位作用在理想约束质系上一切的自动力和惯性力恣意瞬时在虚位移上的虚功之和等于零。移上的虚功之和等于零。 Lagrange方程方程 拉格朗日方程利用广义坐标来描画非自在质点系的运动，这拉格朗日方程利用广义坐标来描画非自在质点系的运动，这组方程以系统的动能、势能、耗散函数和广义力的方式出现，组方程以系统的动能、势能、耗散函数和广义力的方式

23、出现，具有以下方式：具有以下方式：)., 2, 1(ddniQqDqLqLtiiii Lagrange方程为非自在质点系的动力学问题提供了一个普遍、简单又方程为非自在质点系的动力学问题提供了一个普遍、简单又一致的方法。一致的方法。式中：式中：L 为为Lagrange 函数，它是系统动能函数，它是系统动能V和势能和势能U之差，之差， L = V - U 。 而而 和和 ( i = 1, 2, , n) 是系统的广义坐标和广义速度；是系统的广义坐标和广义速度；是耗散函数，其中是耗散函数，其中c i j为系统在广义坐标为系统在广义坐标q j方向有单位广义速度时，在广义方向有单位广义速度时，在广义坐标

24、坐标q i方向产生的阻尼力；方向产生的阻尼力； Q i 是在广义坐标方向是在广义坐标方向q i的广义力，的广义力， ，其中其中W是除阻尼力外的其他非保守力所作的功。是除阻尼力外的其他非保守力所作的功。 和和 分别是对广义分别是对广义坐标和对广义速度求偏导数，坐标和对广义速度求偏导数， 是对时间求一次导数。是对时间求一次导数。ninjjij iqqcD1121iiqWQiqiq tddiqiq例例 5.5 右图表示由刚性杆右图表示由刚性杆l 1和质量和质量m 1及刚性杆及刚性杆l 2和质量和质量m 2组成的两个单摆在组成的两个单摆在O 处用铰链衔接成双摆，并经过铰链处用铰链衔接成双摆，并经过铰链

25、O与固定点衔接，使双摆只能在平面内摆动。求系统作微与固定点衔接，使双摆只能在平面内摆动。求系统作微振动时的振动微分方程。振动时的振动微分方程。 解解 由于双摆只能在平面内摆动，可取由于双摆只能在平面内摆动，可取q 1和和q 2为广义坐为广义坐标。并以平衡位置标。并以平衡位置 q 1q 2 0 作为势能零点。作为势能零点。由例由例5.4，系统的势能与动能分别为：，系统的势能与动能分别为：22222122121221212121)(cos)(21lmllmlmmV)cos1()cos1()(2221121lgmlgmmU 112112212121sin)()(sinlgmmllmL22221212

26、122sin)(sinlgmllmL例例 5.522222122121221212121)(cos)(21lmllmlmmV)cos1()cos1()(2221121lgmlgmmU )(cos)(122212121211llmlmmL22221212122)(coslmllmL)(sin)()(cos)(dd12221212122212121211 llmllmlmmLt)(sin)()(cosdd1212121222221212122 llmlmllmLt例例 5.5由于系统无阻尼、无外力，因此只需把前面得到的项代入方程相由于系统无阻尼、无外力，因此只需把前面得到的项代入方程相应的位置就可

27、以得到系统的振动微分方程应的位置就可以得到系统的振动微分方程0dd11LLt0dd22LLt)(sin)()(cos)(dd12221212122212121211 llmllmlmmLt112112122121sin)()(sinlgmmllmL0sin)()(sin)(cos)(1121122221212221212121lgmmllmllmlmm 例例 5.50dd22LLt)(sin)()(cosdd1212121222221212122 llmlmllmLt0sin)(sin)(cos222122122222121212lgmllmlmllm 普通情况下，双摆的振动方程是非线性方程，

28、只需当双摆作微振动时，普通情况下，双摆的振动方程是非线性方程，只需当双摆作微振动时，将将 ， 代入，并只保管广义位移和广义速度的线性项时代入，并只保管广义位移和广义速度的线性项时系统的振动微分方程才是线性的。系统的振动微分方程才是线性的。sin1cos22221212122sin)(sinlgmllmL例例 5.50)()(1121221212121lgmmllmlmm 022222221212lgmlmllm 写成矩阵的方式写成矩阵的方式0000)(2122121212222122122121lgmlgmmlmllmllmlmm（ 0sin)()(sin)(cos)(112112222121

29、2221212121lgmmllmllmlmm 0sin)(sin)(cos222122122222121212lgmllmlmllm 普通情况下，双摆的振动方程是非线性方程，只需当双摆作微振动普通情况下，双摆的振动方程是非线性方程，只需当双摆作微振动时，将时，将 ， 代入，并只保管广义位移和广义速度的线性代入，并只保管广义位移和广义速度的线性项时系统的振动微分方程才是线性的。项时系统的振动微分方程才是线性的。sin1cos例例 5.6 图示系统中质量图示系统中质量M只能沿程度只能沿程度方向挪动，一摆长为质量为方向挪动，一摆长为质量为l 的单摆在的单摆在O点与质量点与质量M 铰接，其他参数如图。铰接，其他参数如图。试列出系统作微振动的方程。试列出系统作微振动的方程。 质量质量 M M 的速度：的速度：质量质量m m的速度：的速度： x 系统的动能系统的动能)cos2(21212222lxlxmxMV22)sin()cos(llx系统的势能系统的势能221)cos1(xklgmULagrange函数函数 UVL耗散函数耗散函数 221xcD其他非保守力所做的功其他非保守力所做的功 xtFW)(解解 建立广义坐标建立广义坐标x和和，坐标，坐标x 的原点在系统静平的原点在系统静平