钢结构(戴国欣)专题“分支稳定和极限分析

1、刚性小球平衡状态刚性小球平衡状态稳定平衡状态稳定平衡状态不稳定平衡状态不稳定平衡状态随遇平衡状态随遇平衡状态根据受力状态根据受力状态稳定问题分类：稳定问题分类：1. 完善体系：完善体系：理想中心受压杆，无初曲率或弯曲变形理想中心受压杆，无初曲率或弯曲变形分分支支点点失失稳稳失稳前后平衡状态的变形性质发生变化失稳前后平衡状态的变形性质发生变化结构结构2. 非完善体系非完善体系 受压杆受压杆有初曲率有初曲率或受偏心或受偏心荷载，为荷载，为压弯联合压弯联合受力状态受力状态FP(a)极值点失稳极值点失稳失稳前后变形性质没有变化失稳前后变形性质没有变化FPcr cr突突跳跳失失稳稳FPcr cr突跳失稳

2、的力突跳失稳的力-位移关系示意图位移关系示意图突突跳跳失失稳稳 由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺寸由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺寸相比十分微小，因此作受力分析列平衡方程时相比十分微小，因此作受力分析列平衡方程时都忽略变形影响。因此线弹性材料力都忽略变形影响。因此线弹性材料力-位移成正位移成正比，叠加原理适用。比，叠加原理适用。2-1) 静力法静力法2-1-2）例一）例一 试用静力法分析图示结构，求临界试用静力法分析图示结构，求临界荷载。荷载。sinBh 0 AM由得P6sin0EIF haP6sinEIFahPcr6EIFah稳定方程稳定方程 Bh小位移 0 AM由得P60EIF h

3、a非零解非零解Pcr6EIFah稳定方程稳定方程PF例二例二 完善体系如图所示，试按线性理论求临完善体系如图所示，试按线性理论求临界荷载界荷载F FPcrPcr。设体系发生如下的变形设体系发生如下的变形取取BC为隔离体，由为隔离体，由 MB=0, , 得得或或再由整体平衡再由整体平衡 MA=0, , 得得因为因为y1、y2不能全部为零，因此不能全部为零，因此Fyyk y lP2111-+= 0 k l FyF y1P1P2-+= 0(1) k l Fyk ly1P1222-+= 0(2)k lFFk lFk l1PP1P2= 0(3)2稳定方程稳定方程将将k1 、k2 代入（代入（3 3）式，

4、展开后得）式，展开后得由上式可求得：由上式可求得：因此因此FklFkl22PP5+3= 0 FklFklP1P20.6974.303 FklPcr0.697 22lEI 224lEI 224lEI EIFl2Pcr2 EI，lFPFPcr根据形常数根据形常数lEIk31 1P, 0 0kFyyx ylx FPcrEI，lFPcrEI，lEI，lEA=EI，lEI，lFPcr稳定平衡状态稳定平衡状态不稳定平衡状态不稳定平衡状态随遇平衡状态随遇平衡状态能量取能量取极小值极小值2-2) 能量法能量法2-2-1)刚性小刚性小球的稳球的稳定能量定能量准则准则能量取能量取极大值极大值能量取能量取驻值驻值2

5、-2-2) 弹性结构的稳定能量准则弹性结构的稳定能量准则2-2-3) l例例1. 求图示有初偏离角求图示有初偏离角 体系的的临界荷体系的的临界荷载载 cos/hl )sin( lBx2-2-4) 能量法举例能量法举例 sin0lBx By )cos( lhDyBy sin)sin(3333N lhEIhEIFDx变形能变形能V 23Nsin)sin(2321 lhEIFVDx外力势能外力势能VP P )cos(PPP lhFFVBy体系的总势能体系的总势能V=V +VP P )cos(sin)sin(23P23 lhFlhEIV 如何计算如何计算? 应变能等于外力功应变能等于外力功. 根据定义

6、可得根据定义可得由体系的总势能的驻值条件得：由体系的总势能的驻值条件得： 0)sin()cos(sin)sin(3P23 lFlhEIV )sin(sin1)cos(33P lhEIF则：则： cos33PlhEIF 如果如果 = 0： )cos(sin)sin(23P23 lhFlhEIV )sin(sin1)cos(3)(3P EIlhFF令：令：To 41 )sin(sin1)cos(33P lhEIF0)( F 31sin)sin( 233233Pcrsin13)sin(sin1)cos(3 lhEIlhEIF令：令：得：得：因此因此 为求极值为求极值2132)sin1 ()cos(

7、设：设：1EIlhF33Pcr23323Pcrsin13 EIlhF hhl cos0)(0 ByDxBxBxlll lhEIF3N30)(NP hFlF 2P3hEIFTo 38 FPlEIyx lxay2cos1 lxlay2sin2 lxlay2cos422 设：设： 例例2. 求图示一端固定一求图示一端固定一端自由简支梁的临界荷载。端自由简支梁的临界荷载。变形能变形能V llaEIxyEIV0324264d21 外力势能外力势能VP P laFxyFFVPlPPP16d212202 体系的总势能体系的总势能V=V +VP PlaFlaEIVP166422324 由体系的总势能的驻值条件

8、得：由体系的总势能的驻值条件得：08322P34 alFlEIaV 因为因为a 0 则：则：22Pcr4lEIF yEIM )(RPxlFyFM )( RPxlFyFyEI )( R2xlEIFyny 则则)( PR22xlFFnyny 或或EIFnP2 记记特特解解通解通解)(sincosPRxlFFnxBnxAy 利用边界条件：利用边界条件：0, 0 yx解方程可得解方程可得;0 y0, ylx0PR lFFA0sincos nlBnlA0PR FFnBnlnl tan稳定方程22Pcr19.20lEIEInF 493. 4 nl0sin1cosPRPR nlFFnnllFF试总结中心压杆

9、试总结中心压杆稳定分析的要点稳定分析的要点3-1) 材料力学内容回顾材料力学内容回顾max 结构内实际最大应力结构内实际最大应力 材料容许应力材料容许应力u kb s 极限应力极限应力（脆性）（脆性）（塑性）（塑性） 安全系数安全系数弹性分析法（容许应力法）弹性分析法（容许应力法） kumax 材料的本构关系（应力材料的本构关系（应力应变关系）应变关系）ooooo塑塑性性金金属属线线性性强强化化理想弹塑性理想弹塑性刚线性强化刚线性强化刚塑性刚塑性3-2) 基本假定基本假定3-3) 基本概念基本概念等面积轴等面积轴形心轴形心轴s s -s s -s -s s kFFPu To55 AyhyAMs

10、sd.d21 屈服弯矩屈服弯矩MS，按定义为，按定义为WMss 极限弯矩（整个截面都屈服）极限弯矩（整个截面都屈服）Mu（1）由）由2 0 02121AAAAAFssx 得得中性轴等分截面积中性轴等分截面积外边到形心轴外边到形心轴（2）极限弯矩）极限弯矩MuuuWMs 塑性截面系数（塑性截面系数（ ） uW（屈服弯矩（屈服弯矩 ）WMss AyAyMssddu 截面形状系数：截面形状系数：WWMMsuu 矩形矩形 1.5圆形圆形 1.7破坏机构破坏机构 结构由于出现塑性铰而变成结构由于出现塑性铰而变成 瞬变或可变时的体系。瞬变或可变时的体系。静定梁，塑性铰出现在弯矩（绝对值）最大处。静定梁，塑

11、性铰出现在弯矩（绝对值）最大处。ABFPlabFP1 1）普通铰不能承受弯矩，塑性铰能承受）普通铰不能承受弯矩，塑性铰能承受Mu塑性铰塑性铰能承受弯矩并能单方向转动的铰。能承受弯矩并能单方向转动的铰。 塑性铰与普通铰的区别：塑性铰与普通铰的区别：2 2）普通铰为双向铰，塑性铰为单向铰。）普通铰为双向铰，塑性铰为单向铰。 试求等截面单跨超静定梁的极限荷载试求等截面单跨超静定梁的极限荷载163PlFFPl/2ABl/2C325PlFA处出现塑性铰时：处出现塑性铰时：uM4P1lF 弹性解得弯弹性解得弯矩图矩图ABuMCP1F能继续承荷能继续承荷A、C处都出现塑性铰：处都出现塑性铰：uuPu24MM

12、lF 静力法静力法ABCuMuMuMPuFuM4PulFuMlMFuPu6 022uuPu MMlF虚功法或机动法虚功法或机动法lMFuPu6 l/2ABl/2CMuMuMuFPul/2ABl/2CFPuMuMuMu2l2 试求图示变截面单跨超试求图示变截面单跨超静定梁的极限荷载静定梁的极限荷载 虚功法的虚功方程为虚功法的虚功方程为0443uu1Pu MMlF)4(34uu1PuMMlF uu5MM lMFu1Pu12 ()BMMMMMuuuu13()BMMMMuuu123时，其可能的极限状态和时，其可能的极限状态和虚位移图如下所示虚位移图如下所示MMuu5 试求图示变截面单跨超试求图示变截面

13、单跨超静定梁的极限荷载静定梁的极限荷载 虚功法的虚功方程为虚功法的虚功方程为024uu2Pu MMlFlMFu2Pu12 时，其可能的极限状态和时，其可能的极限状态和虚位移图如下所示虚位移图如下所示uu5MMMA uu5MM lMFuPu12 4-2-1）两个定义：）两个定义：4-2-2）几个定理：）几个定理： 满足单向破坏机构和平衡条件的荷载称为满足单向破坏机构和平衡条件的荷载称为，记作，记作FP+。FP- 试求图示结构的极限荷载试求图示结构的极限荷载 。uqABqllx)12( 0)(uQ BRxqxFlqMlqRxBuuu2 u2umax21MxqxRMB u2u657.11Mlq xuMuM解