离散小波变换与框架(1)ppt课件

1、离散小波变换与框架对延续小波的完全离散化对延续小波的离散化处置：)2(2,)21,)(W),)(W0,2:02,00,kbtdfbfabfbZkjbkbjjkjkjkjjkjjkj其中：离散化对定义 888zr5888真人真人 延续小波离散化后的问题：的全部信息。是否保留了fdkj.1,。重构怎样由fdkj. 2,分析：n函数可以被其“小波系数完全表征。21,2,1,ffZkjffkjkj则：对于所有的即：如果有0, 0,则：对于所有的等价地，fZkjfkj分析：n我们希望的重构方法是：kjkjkjff,分析：n为了保证“重构方法的稳定性，我们需求某种“稳定性条件。满足稳定性条件。则称对存在k

2、jkjfBffALfBA,22,22,0框架的定义：上的一个框架。是则称满足稳定性条件，生成的函数序列若函数2,2,LLkjkj称为框架界。BA,，则称框架为紧框架。若BA定理：，有：使对任意的，函数序列上的一个框架，则存在是若2,2,LfLkjkjkjkjkjff,定理的证明思想：,:,2,22LffTfLLTTkjkjkj首先，定义一个映射是一个有界线性算子。由框架的稳定性条件，Tn算子T有如下特点：n 1. T是延续算子。n 2. T是一一映射。n 3. T1也是延续算子。定理的证明思想：kjkjkjkjkjkjTffTTfTfT,1,111,),(的存在性，我们有：由kjkjT,1,我

3、们只需要取：对定理的进一步讨论：22,2,A1,B1,fffkjkj且也满足稳定性条件对定理的进一步讨论：的对偶框架。为称也是一个框架。kjkjkj,kjkjkjkjkjff,互为对偶框架。与对定理的进一步讨论：基。是一组基。但不一定是Rieszkj,定理：是框架且线性无关。基。是,kjkjRiesz一些注释：n假设是一个框架，那么它必是一个二进小波。n今后，通常取b0=1.一些注释：n在实践中，我们很难知道T-1的表达方式。从而求“对偶框架通常是很困难的。处理的方法有两种。n加强框架的生成条件。例如：正交，半正交条件n近似。kjkjkjtfBAtf,)(,2)(对正交与半正交小波的讨论：以下

4、我们讨论的小波被限制在生成的框架是Riesz基的条件下。正交与半正交小波的定义：Zmlkjmkljmlkjkj,) 1 (,满足：成的框架称为正交小波。若其生Zmlkjljmlkjkj,0,)2(,满足：生成的框架称为半正交小波。若其正交小波的自对偶性：（自对偶性）：是正交小波时，我们有当kjkj,00000000,kjkjkjkjkjkjkjkjkjkjfff取由是正交小波时，证明：设判别小波能否具有正交性的方法：kjijxlkxkxdxxeFourierlxkxZkkxL成立。对几乎处处满足：变换的）（即：是规范正交族。）（下列命题等价。对于任意的定理：1)2().3()(21.2)(),

5、(),(.1,20,2,2证明：dxxedyyedxkxedxxGeGckxxijxkkkijykijxijxjk22)1(22220202)(21)(21)2(21)(21)()2()(G32 定义函数：）：（）（dxxedelxylkjdyyjydxlxkxlxkxijxij2)(21)()(21),()()()()()(),(21）：（）（半正交小波的对偶：的对偶框架。为则）（）（变换定义：通过其，是一个半正交小波，令定理：kjjjkjkkxxkFourierL,2,22)2(2)()2( 证明：Zmlkjmkljmlkjkjkj,即：具有双正交性。与我们只需证明0000000000,*

6、,*,*,*,kjkjkjkjkjkjkjkjkjkjkjkjkjfff取的对偶，有是若时证明第一步定理。下面，我们分两步证明ljmlkj0,:,则第一步证明完成。的线性组合，是如果，我们能证明时是半正交，我们有：kkjkkjmlkjlj0,)()(kxaxkk：进一步，我们只需证明kkjikxkkadxjxea2202)2( )2( 21）（则：取：mkpipkipipjjjjmjkjdedkkedemkpmxydyypydxmxkx,0,2020,21)2( )2(21)( )(21),2()()()2()2(2,第二步：关于定理的进一步讨论：n定理的证明过程中隐含了把一个半正交小波变为正交小波的方法。)()2()( )2( ()(2212）（则：）（kkkk关于定理的进一步讨论：n对非半正交小波，上述“正交化过程是不能成立的。关于定理的进一步讨论：Zmlkjmkljmlkjkjkj,双正交性。中，最重要的是与其对偶在小波框架R_小波的定义：ZmlkjRmkljmlkjkjkj,_,满足：其对偶与小波，若其框架为一个称小波)()()(,xdxcxfkjkjkjkjkjkjkjkjfc,kjkjfd,关于延续小波变换的离散化：定理：有：小波变换在作为基小波，它的连续与，将小波