高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论垂直与平行训练案 北师大版选修21

1、我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国

2、经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 2.4 2.4 用向量讨论垂直与平行用向量讨论垂直与平行 a.基础达标 1已知a(1，2，11)，b(4，2，3)，c(6，1，4)，则abc的形状是( ) a等腰三角形 b等边三角形 c直角三角形 d等腰直角三角形 解析：选 c.

3、ca(5，1，7)，cb(2，3，1)，由于cacb0 且|ca|cb|，所以bcca，故选 c. 2已知空间三点a(0，2，3)，b(2，1，6)，c(1，1，5)若|a a| 3，a a分别与ab，ac垂直，则向量a a为( ) a(1，1，1) b(1，1，1) c(1，1，1)或(1，1，1) d(1，1，1)或(1，1，1) 解析：选 c.设a a(x，y，z)，ab(2，1，3)，ac(1，3，2)，由题意得x2y2z23，2xy3z0，x3y2z0 得x1，y1，z1或x1，y1，z1. 3 在直三棱柱abca1b1c1中，abacaa1，abac，e是bc的中点， 则a1e与平

4、面ab1c1的位置关系是( ) a相交但不垂直 ba1e平面ab1c1 ca1e平面ab1c1 da1e平面ab1c1 解析：选 a.建立如图所示的空间直角坐标系 取|ab|1，则a(0，0，0)，b(1，0，0)，c(0，1，0)，e(12，12，0)，a1(0，0，1)，b1(1，0，1)，c1(0，1，1)，a1e(12，12，1)，ab1(1，0，1)，ac1(0，1，1)，由于a1eab10，a1eac10，故选 a. 4.如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，棱长为a，m，n分别为a1b和ac上的点，a1man2a3，则mn与平面bb1c1c的位置关系是( ) a相交 b平

5、行 c垂直 d不能确定 解析：选 b.建立如图坐标系，a1(a，a，0)，b(a，0，a)，a(a，a，a)，c(0，0，a)，m(a，23a，13a)，n(23a，23a，a)， 则mn(13a，0，23a)，ba(0，a，0) 我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式

6、， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。

7、mnba0，故mnba，又因为ba平面bb1c1c， 所以mn平面bb1c1c，所以mn平面bb1c1c. 5已知在平行六面体abcda1b1c1d1中，点m，p，q分别为棱ab，cd，bc的中点，平行六面体的各棱长均相等给出下列结论： a1md1p；a1mb1q；a1m平面dcc1d1；a1m平面d1pqb1. 这四个结论中正确的个数为( ) a1 b2 c3 d4 解析：选 c.设aba a，adb b，aa1c c，则a1ma1aamc c12a a， d1pd1ddpc c12a a，即a1md1p，故a1md1p. 因为b1qb1bbqc c12b b，所以b1q与a1m不共线，故a

8、1m和b1q不平行， 因为a1md1p，d1p平面dcc1d1，d1p平面d1pqb1，所以a1m平面dcc1d1， a1m平面d1pqb1，故正确 6已知点a(2，4，0)，b(1，3，3)，则直线ab与平面yoz交点c的坐标是_ 解析：令c的坐标为(0，y，z)， 则由abac，得12，1（y4），3z，解得y2，z6，12. 答案：(0，2，6) 7设平面的一个法向量为(3，2，1)，平面的一个法向量为(2，43，k)，若，则k等于_ 解析：因为，所以(3，2，1)(2，43，k)，即32，2431k，解得k23. 答案：23 8已知空间三点a(0，0，1)，b(1，1，1)，c(1，2

9、，3)，若直线ab上一点m，满足cmab，则点m的坐标为_ 解析：ab(1，1，0)，因为amab，所以amab(，0)， 故m的坐标为(，1)，cm(1，2，4)， 因为cmab，所以cmab0，即12， 故m的坐标为(12，12，1) 答案：(12，12，1) 9.如图，在四棱锥sabcd中，底面abcd为正方形，侧棱sd底面abcd，e、f分别为ab、sc的中点证明：ef平面sad. 证明：建立如图所示的空间直角坐标系 我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实

10、 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城

11、乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 设a(a，0，0)，s(0，0，b)，则b(a，a，0)，c(0，a，0)，ea，a2，0 ，f0，a2，b2，efa，0，b2. 取sd的中点g0，0，b2，连接ag，则aga，0，b2. 因为efag，所以efag， 又ag平面sad，ef平面sad， 所以ef平面sad. 10在棱长为 1 的正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别为棱ab和bc的中点，试在棱b1b上找一点m，使得d1m平面

12、efb1. 证明：分别以da、dc、dd1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则a(1，0，0)，b1(1，1，1)，c(0，1，0)，d1(0，0，1)，e1，12，0 ，m(1，1，m)所以ac(1，1，0)， 又e、f分别为ab、bc的中点，所以ef12ac12，12，0 .又因为b1e0，12，1 ，d1m(1，1，m1)， 因为d1m平面feb1，所以d1mef且d1mb1e. 即d1mef0，且d1mb1e0. 所以1212（m1）00，012（1m）0，所以m12. 故取b1b的中点m就能满足d1m平面efb1. b.能力提升 1已知平面内有一点a(2，1，2)，它的一

13、个法向量为n n(3，1，2)，则下列点p中，在平面内的是( ) a(1，1，1) b(1，3，32) c(1，3，32) d(1，3，32) 解析：选 b.要判断点p是否在平面内，只需判断向量pa与平面的法向量n n是否垂直，即判断pan n是否为 0 即可，因此，要对各个选项进行逐个检验 对于选项 a，pa(1，0，1)，则pan n(1，0，1)(3，1，2)50，故排除 a； 对于选项 b，pa(1，4，12)，则pan n(1，4，12)(3，1，2)0，故选 b. 我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长

14、 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战

15、 。 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 2设a、b、c、d是空间不共面的四点，且满足abac0，acad0，abad0，则bcd是( ) a钝角三角形 b锐角三角形 c直角三角形 d不确定 解析：选 b.因为bcbd(baac)(baad)ba20， 所以bc，bd为锐角 同理可得cb，cd ， dc，db均为锐角，故bcd为锐角三角形 3已知向量b b(2，1，1)，点a(3，1，4)

16、，b(2，2，2)若在直线ab上，存在一点e，使得oeb b(o为原点)，则点e的坐标为_ 解析：ab(1，1，2)，因为aeab，所以aeab(，2)， 故oe(3，1，24)，又因为oeb b， 所以oeb b(3，1，24)(2，1，1)0，得95，故e点的坐标为(65，145，25) 答案：(65，145，25) 4已知点p是平行四边形abcd所在的平面外一点，如果ab(2，1，4)，ad(4，2，0)，ap(1，2，1)对于结论：apab；apad；ap是平面abcd的法向量；apbd. 其中正确的是_(填序号) 解析：因为apab(1，2，1)(2，1，4)0，所以apab，所以a

17、pab； 因为apad(1，2，1)(4，2，0)0，所以apad，所以apad. 故ap是平面abcd的法向量，apbd. 因此正确的序号为. 答案： 5.如图所示的长方体abcda1b1c1d1中，底面abcd是边长为 2 的正方形，o为ac与bd的交点，bb1 2，m是线段b1d1的中点 (1)求证：bm平面d1ac； (2)求证：d1o平面ab1c. 证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则点o(1，1，0)，d1(0，0， 2)， 所以od1(1，1， 2)， 又点b(2，2，0)，m(1，1，2)， 所以bm(1，1，2)， 所以od1bm， 又因为od1与bm不共线， 所以

18、od1bm. 我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 又od1平面d1ac，bm