高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程课时作业 新人教A版选修11

1、2.2.1双曲线及其标准方程【选题明细表】知识点、方法题号双曲线的定义1,2,11双曲线的标准方程3,4,5与双曲线定义有关的轨迹问题6,8综合问题7,9,10,12,13【基础巩固】1.已知m(-2,0),n(2,0),|pm|-|pn|=4,则动点p的轨迹是(c)(a)双曲线(b)双曲线左支(c)一条射线(d)双曲线右支解析:因为|pm|-|pn|=4=|mn|,所以动点p的轨迹是一条射线.故选c.2.双曲线-=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为(a)(a)22或2(b)7(c)22 (d)2解析:因为a2=25,所以a=5.由双曲线定义可得|pf1|-|pf2|=10

2、,由题意知|pf1|=12,所以|pf1|-|pf2|=±10,所以|pf2|=22或2.故选a.3.(2018·洛阳高二月考)已知方程-=1表示双曲线,则k的取值范围是(a)(a)(-1,1)(b)(0,+)(c)0,+)(d)(-,-1)(1,+)解析:由题意得(1+k)(1-k)>0,所以(k-1)(k+1)<0,所以-1<k<1.故选a.4.设动点p到a(-5,0)的距离与它到b(5,0)距离的差等于6,则p点的轨迹方程是(d)(a)-=1 (b)-=1(c)-=1(x-3)(d)-=1(x3)解析:由题意知,动点p的轨迹应为以a(-5,0)

3、,b(5,0)为焦点的双曲线的右支.由c=5,a=3,知b2=16,所以p点的轨迹方程为-=1(x3).故选d.5.(2018·大连双基检测)双曲线-=1的焦距是(c)(a)4(b)2 (c)8(d)与m有关解析:因为a2=m2+12,b2=4-m2,c2=a2+b2=16,所以c=4,所以焦距2c=8.故选c.6.(2017·龙泉驿区高二月考)一动圆p过定点m(-4,0),且与已知圆n:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心p的轨迹方程是(c)(a)-=1(x2)(b)-=1(x2)(c)-=1 (d)-=1解析:由题知|pn|-|pm|=4,2a=4,2c=8,所以b

4、=2,所以动圆圆心p的轨迹方程为-=1,故选c.7.已知f1,f2为双曲线c:x2-y2=1的左、右焦点,点p在c上,f1pf2=60°,则|pf1|·|pf2|等于. 解析:在pf1f2中,|f1f2|2=|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|·|pf2|·cos 60°=(|pf1|-|pf2|)2+|pf1|·|pf2|,即(2)2=22+|pf1|·|pf2|,解得|pf1|·|pf2|=4.答案:48.已知椭圆x2+2y2=32的左、右两个焦点分别为f1,f2,动点p满足|pf1|-|pf2|

5、=4.求动点p的轨迹e的方程.解:由椭圆的方程可化为+=1得|f1f2|=2c=2=8,|pf1|-|pf2|=4<8.所以动点p的轨迹e是以f1(-4,0),f2(4,0)为焦点,2a=4,a=2的双曲线的右支,由a=2,c=4得b2=c2-a2=16-4=12,故轨迹e的方程为-=1(x2).【能力提升】9.(2018·成都诊断)已知点p在曲线c1:-=1上,点q在曲线c2:(x+5)2+y2=1上,点r在曲线c3:(x-5)2+y2=1上,则|pq|-|pr|的最大值是(c)(a)6(b)8 (c)10 (d)12解析:由双曲线的知识可知c1:-=1的两个焦点分别是f1(

6、-5,0)与f2(5,0),且|pf1|-|pf2|=8,而这两点正好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的半径分别是r2=1,r3=1,所以|pq|max=|pf1|+1,|pr|min=|pf2|-1,所以|pq|-|pr|的最大值为(|pf1|+1)-(|pf2|-1)=|pf1|-|pf2|+2=8+2=10.故选c.10.(2018·甘肃质检)已知m,n为两个不相等的非零实数,则方程mx-y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是(c)解析:把直线方程和曲线方程分别化为y=mx+n,+=1.根

7、据图形中直线的位置,判定斜率m和截距n的正负,从而断定曲线的形状.故选c.11.(2018·贵阳高二检测)给出问题:f1,f2是双曲线-=1的焦点,点p在双曲线上,若点p到焦点f1的距离等于9,求点p到焦点f2的距离.某学生的解答如下:由|pf1|-|pf2|=2a=8,即|9-|pf2|=8,得|pf2|=1或|pf2|=17.该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面横线上;若不正确,将正确答案填在下面横线上.  解析:在双曲线的定义中,|pf1|-|pf2|=2a,即|pf1|-|pf2|=±2a,正负号的取舍取决于p点的位置是在左支上还是在右支

8、上.因右顶点到左焦点的距离为10>9,所以点p只能在双曲线的左支上.答案:|pf2|=1712.设有双曲线-=1,f1,f2是其两个焦点,点m在双曲线上.(1)若f1mf2=90°,求f1mf2的面积;(2)若f1mf2=120°,f1mf2的面积是多少?若f1mf2=60°,f1mf2的面积又是多少?(3)观察以上计算结果,你能看出随f1mf2的变化,f1mf2的面积将怎样变化吗?试证明你的结论.解:设|mf1|=r1,|mf2|=r2(不妨设r1>r2),=f1mf2,因为=r1r2sin =r1r2,所以只要求r1r2即可,因此考虑到双曲线定义及

9、余弦定理可求出r1r2.(1)由双曲线方程知a=2,b=3,c=,由双曲线定义,有|r1-r2|=2a=4,两边平方得+-2r1r2=16,又+=|f1f2|2,即|f1f2|2-4=16,也即52-16=4,求得=9.(2)若f1mf2=120°,在mf1f2中,由余弦定理得,|f1f2|2=+-2r1r2cos 120°=(r1-r2)2+3r1r2=52,所以r1r2=12,求得=r1r2sin 120°=3.同理可求得若f1mf2=60°,=9.(3)由以上结果可见,随着f1mf2的增大,f1mf2的面积将减小.证明如下:=r1r2sin .由双

10、曲线定义及余弦定理,有-得r1r2=,所以=b2cot.因为0<<,所以0<<,在（0,）内,cot是减函数.因此当增大时,=b2cot减小.【探究创新】13.当0°180°时,方程x2cos +y2sin =1表示的曲线如何变化?解:(1)当=0°时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=±1.(2)当0°<<90°时,方程为+=1.当0°<<45°时,0<<,它表示焦点在y轴上的椭圆.当=45°时,它表示圆x2+y2=.当45°<<90°时,>>0,它表示焦点在x轴上的椭圆.(3)当=90°时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=±1.(4)当90°<<180°时,方程为-=1,它表示焦点