高中数学 第1章 立体几何初步单元测试 苏教版必修2

1、第1章 立体几何初步(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1有下列四个结论，其中正确结论的个数为_互相垂直的两直线，有且只有一个公共点；经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂直于同一条直线的两条直线平行；两平行线之一垂直于一条直线，则另一条也垂直于此直线解析：错误，异面直线也可能垂直错误，应有无数条错误，可能平行，相交或异面正确答案：12给出下列命题，其中正确的命题的序号是_直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；直线m平面，直线nm，则n；a、b是异面直线，则存在惟一的平面，使它与a、b都平行且与a、b距

2、离相等解析：错误，如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交；错误，直线n可能在平面内；正确，如图，设ab是异面直线a、b的公垂线段，e为ab的中点，过e作aa，bb，则a、b确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是惟一确定的答案：3p为abc所在平面外一点，aca，连结pa、pb、pc，得pab和pbc都是边长为a的等边三角形，则平面abc和平面pac的位置关系为_解析：如图所示，由题意知，papbpcabbca，取ac中点d，连结pd、bd，则pdac，bdac，则bdp为二面角p-ac-b的平面角，又aca，pdbda，在pbd中，pb2bd2pd2，pdb90&#

3、176;.答案：垂直4如图甲，在正方形sg1g2g3中，e、f分别是边g1g2、g2g3的中点，d是ef的中点，现沿se、sf及ef把这个正方形折成一个几何体(图乙)，使g1、g2、g3三点重合于点g，这样，下面结论成立的是_sg平面efg；sd平面efg；gf平面sef；gd平面sef.解析：在图甲中，sg1g1e，sg3g3f；在图乙中，sgge，sggf，sg平面efg.答案：5如图所示，正方体abcda1b1c1d1中，三棱锥d1ab1c的表面积与正方体的表面积的比为_解析：设正方体的棱长为a，则s正方体6a2，正四面体d1ab1c的棱长为a，s正四面体4××(a)

4、22a2，所以 .答案：6如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是s，那么圆柱的体积等于_解析：设底面半径为r，则2r·2rs，故r，所以vr2·2r.答案：7.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_ cm.解析：设球的半径为r cm，则r2×8r3×3r2×6r，解得r4.答案：48在空间四边形abcd中，adbc2，e，f分别是ab，cd的中点，ef，则异面直线ad与bc所成角的大小为_解析：取ac中点m，连结em，fm，f为dc中点，m为ac

5、中点，fmad，且fmad1，同理embc，且embc1.emf中作mnef于n.rtmne中，em1，en，sinemn，emn60°，emf120°，ad与bc所成角为60°.答案：60°9.降水量是指水平地面上单位面积降雨的深度，用上口直径为38 cm，底面直径为24 cm，深度为35 cm的圆台形水桶(轴截面如图所示)来测量降水量，如果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的，则本次降雨的降水量是_(精确到1 mm)解析：桶内水的深度为×355(cm)，设水面半径为x cm，则有，解得x13.v水·5(12212×

6、;13132).设单位面积雨水深度为h，则v水·192·h，·192·h，h2.2 cm22 mm.答案：22 mm10在长方体abcda1b1c1d1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点a1到截面ab1d1的距离为_解析：利用三棱锥a1ab1d1的体积变换：va1ab1d1vaa1b1d1，则×2×4×6×h，h.答案：11在空间四边形abcd中，平面abd平面bcd，且da平面abc，则abc的形状是_解析：如图，在abd内，作ahbd于h，平面abd平面bcd，且平面abd平面bcdbd，ah平面bcd.

7、又bc平面bcd.bcah.又da平面abc，bc平面abc，dabc.又ahdaa，bc平面abd，bcab，故abc是以b为90°角的直角三角形答案：直角三角形12如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm；当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm，则这个简单几何体的总高度为_解析：设上、下圆柱的半径分别是r、r，高分别是h，h.由水的体积不变得r2hr2(20h)r2hr2·(28h)，又r1，r3，故hh29.则这个简单几何体的总

8、高度为29 cm.答案：2913在正三棱柱abca1b1c1中，ab1，若二面角cabc1的大小为60°，则点c到平面abc1的距离为_解析：如图，取ab中点为o，连结c1o和co.三棱柱abca1b1c1是正三棱柱，coab.ac1bc1，c1oab，则c1oc即为二面角cabc1的平面角又ab1，co，c1c，oc1.下面用等体积法求距离vc1abcvcabc1，sabc·cc1sabc1·d，即××1××d.d.答案：14已知rtabc的斜边在平面内，直角顶点c是外一点，ac、bc与所成角分别为30°和45&

9、#176;，则平面abc与所成锐角为_解析：如图所示，过点c作垂直于的直线co，交于点o.cao30°，cbo45°.设coa，rtaco中，ac2a，在rtbco中，bca.过c点在平面abc内作cdab，连结od，则cdo为平面abc与所成的锐角，aba，cda，在rtcdo中，sincdo，cdo60°.答案：60° 二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)(2014·淄博高一检测)直三棱柱的高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，将棱柱削成圆柱，求

10、削去部分体积的最小值解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为r，圆柱的高即为直三棱柱的高6 cm.在abc中，ab3 cm，bc4 cm，ac5 cm，abc为直角三角形根据直角三角形内切圆的性质可得72r5，r1 cm，v圆柱r2·h6 cm3.而三棱柱的体积为v三棱柱×3×4×636(cm3)，削去部分的体积为3666(6)(cm3)16(本小题满分14分)底面是平行四边形的四棱锥pabcd，点e在pd上，且peed21.问：在棱pc上是否存在一点f，使bf平面ae

11、c?证明你的结论解：如图所示，连接bd交ac于点o，连接oe，过点b作oe的平行线交pd于点g，过点g作gfce交pc于点f，连接bf.bgoe，bg平面aec，oe平面aec，bg平面aec. 同理gf平面aec，又bggfg，平面bfg平面aec，bf平面bfg.bf平面aec.下面求点f在pc上的具体位置：bgoe，o是bd的中点，e是gd的中点又peed21，g是pe的中点而gfce.f为pc的中点综上可知，存在点f，当点f是pc的中点时，bf平面aec.17(本小题满分14分)如图，已知平面平面ab，pc，pd，垂足分别是c，d.(1)求证：ab平面pcd；(2)若pcpd1，cd，

12、试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论解：(1)证明：因为pc，ab，所以pcab.同理pdab.又pcpdp，故ab平面pcd.(2)设ab与平面pcd的交点为h，连结ch，dh.因为 ab平面pcd，所以abch，abdh，所以chd是二面角cabd的平面角又pcpd1，cd，所以cd2pc2pd22，即cpd90°.在平面四边形pchd中，pchpdhcpd90°，所以chd90°，故平面平面.18(本小题满分16分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以

13、存放更多食盐现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？解：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积v1sh×82×4(m3)；如果按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积v2sh××62×8(m3)(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m棱锥的母线长为l4(m)，则仓库的表面积s1×8×432(m2)；如果按方案二，

14、仓库的高变成8 m.棱锥的母线长为l10(m)，则仓库的表面积s2×6×1060(m2)(3)v2v1，s2s1，所以方案二比方案一经济19(本小题满分16分)已知侧棱垂直于底面的四棱柱abcda1b1c1d1的底面是菱形，且adaa1，点f为棱bb1的中点，点m为线段ac1的中点(1)求证：mf平面abcd；(2)求证：平面afc1平面acc1a1.证明：(1)如图，延长c1f交cb的延长线于点n，连结an.f是bb1的中点，f为c1n的中点，b为cn的中点又m是线段ac1的中点，mfan.又mf平面abcd，an平面abcd，mf平面abcd，(2)连结bd，由题意知a

15、1a平面abcd，又bd平面abcd，a1abd.四边形abcd为菱形，acbd.又aca1aa，ac平面acc1a1，a1a平面acc1a1，bd平面acc1a1.在四边形danb中，dabn，且dabn，四边形danb为平行四边形nabd，na平面acc1a1.又na平面afc1，平面afc1平面acc1a1.20(本小题满分16分)在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd底面abcd，pddc，e是pc的中点，过e作efpb于点f.(1)求证：pa平面edb；(2)求证：pb平面efd；(3)求二面角cpbd的大小解：(1)证明：连结ac，bd，交于点o，连结eo.底面abcd是正方形，o是ac的中点，在pac中，eo是中位线，paeo.又eo平面edb，pa平面edb，pa平面edb.(2)证明：pd底面abcd，且dc底面abcd，pddc.pddc，pdc是等腰直角三角形又de是斜边pc的中线，depc.pd底面abcd，pdbc.底面abcd是正方形，dcbc，bc平面pdc.又de平面pdc，bcde.de平面pbc.又pb平面pbc，depb.又efpb，且deefe，pb平面efd.(3)由(2)知，pbdf，efpb，e