第一讲概率论知识复习

1、第一讲第一讲 概率论知识复习概率论知识复习一、一、 随机变量的定义及其分布函数随机变量的定义及其分布函数1.随机变量（随机变量（random variable）的定义）的定义2.随机变量的分布函数随机变量的分布函数(distribution function) 例例1 例例2 例例3二、离散型随机变量二、离散型随机变量( discrete random variable( discrete random variable)三、三、 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度1. 1. 随机变量的定义随机变量的定义 为了对随机试验的结果进行定量研究，必须将其为了对随机试验的结果进行定量

2、研究，必须将其数量化这就需引入随机变量数量化这就需引入随机变量. 实际中，有些试验结果本身就是由数量表示实际中，有些试验结果本身就是由数量表示的比如次数，高度，体重等；而有的试验结果表的比如次数，高度，体重等；而有的试验结果表面与数量无关，但我们可以根据问题的需要把试验面与数量无关，但我们可以根据问题的需要把试验结果数量化，例如抛硬币的试验，以数结果数量化，例如抛硬币的试验，以数0代表出现代表出现“反面反面”结果，以数结果，以数1代表出现代表出现“正面正面”结果，这结果，这样就建立了如下的一个对应关系：样就建立了如下的一个对应关系：出现正面，出现反面1,0X返回返回定义定义1 设随机试验的样本

3、空间为设随机试验的样本空间为 , )(XX )(XX 为随机变量为随机变量（random variablerandom variable） 表示表示 下面是几个随机变量的例子下面是几个随机变量的例子定义定义1 设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为 , )(XX 上的实值单值函数，称上的实值单值函数，称 是定义在样本空间是定义在样本空间 ,WZYX随机变量一般用大写英文字母随机变量一般用大写英文字母 其取值一般用小写英文字母其取值一般用小写英文字母 ,wzyx表示表示，返回返回6 , 5 , 4 , 3 ,2, 1【例【例1】 掷一枚骰子，出现的点数掷一枚骰子，出现的点数X是一个随机是一

4、个随机变量变量X【例【例2】 将一枚硬币抛将一枚硬币抛3次，出现正面的次数次，出现正面的次数是一个随机变量是一个随机变量3,2, 1 , 0的所有可能取值为的所有可能取值为X的所有可能取值为的所有可能取值为X【例【例3】 某地铁站的列车到站时间间隔为某地铁站的列车到站时间间隔为5分钟，分钟，乘客随机到达车站，乘客随机到达车站，用用X表示乘客的等车时间，表示乘客的等车时间，是一个随机变量是一个随机变量，则则X其所有可能取值是区间其所有可能取值是区间 5,0 返回返回定义定义 设设X是一个随机变量，称是一个随机变量，称)(xXPxF )( x为为X的分布函数，的分布函数，有时记作有时记作)(xFX

5、或或).(xFX注注： 1. 若将若将X看作数轴上随机点的坐标，看作数轴上随机点的坐标，则分布函数则分布函数)(xF的值就表示的值就表示X落在区间落在区间,(x的概率；的概率；2.对任意实数对任意实数),(,2121xxxx 随机点落在随机点落在区间区间,(21xx的概率的概率2. 2. 随机变量的分布函数随机变量的分布函数返回返回2.对任意实数对任意实数),(,2121xxxx 随机点落在随机点落在区间区间,(21xx的概率的概率).()(12xFxF 3.随机变量的分布函数是一个普通的函数，随机变量的分布函数是一个普通的函数， 它它完整地描述了随机变量的统计规律性完整地描述了随机变量的统计

6、规律性. 通过它通过它人们就可以利用数学分析的方法人们就可以利用数学分析的方法机变量机变量.来全面研究随来全面研究随1221xXPxXPxXxP 2. 2. 随机变量的分布函数随机变量的分布函数返回返回分布函数的性质分布函数的性质(1)若若,21xx 则则);()(21xFxF 单调非减单调非减.(2); 1)(lim)(, 0)(lim)( xFFxFFxx(3) 右连续性右连续性.即即).()(lim00 xFxFxx 另一方面，另一方面， 若一个函数具有上述性质，若一个函数具有上述性质， 则它一定则它一定是某个随机变量的分布函数是某个随机变量的分布函数.2. 2. 随机变量的分布函数随机

7、变量的分布函数返回返回二、离散型随机变量二、离散型随机变量( discrete random variable( discrete random variable)X若随机变量若随机变量的所有可能取值是有限个或可的所有可能取值是有限个或可X是离散型随机变量是离散型随机变量 研究一个离散型随机变量，不但要看它取哪研究一个离散型随机变量，不但要看它取哪些值，更重要的是看它取每个值的概率些值，更重要的是看它取每个值的概率.列个，则称列个，则称返回返回1.1.定义定义取这些值的概率为取这些值的概率为定义定义1(), (1,2,)kkPX xpk称上式为离散型随机变量称上式为离散型随机变量分布律也可用如

8、下的表格表示分布律也可用如下的表格表示 ： 1x2xkxkp1p2pkpX的所有可能取值为的所有可能取值为12,kx xxX设随机变量设随机变量distribution)或概率分布或概率分布X的分布律的分布律 (law of 返回返回(1) 非负非负性性 0,(1,2,)kpk(2) 规范性规范性 1kkp由概率的定义，由概率的定义，满足如下满足如下两个条件：两个条件：kp返回返回（1）0-1分布分布定义定义 若一个随机变量若一个随机变量X只有两个可能的取值只有两个可能的取值, ,其分布为其分布为),10( p且且,12pxXP 特别地特别地, ,点分布点分布,即即参数为参数为p的两的两则称则

9、称X服从服从21,xx处处p的的两点分布两点分布.参数为参数为若若X服从服从0, 121 xx处处Xip01p 1p)2 , 1( i则称则称X服从参数为服从参数为p的的10 分布分布.2.2.几种常见的离散型随机变量几种常见的离散型随机变量1,P Xxp返回返回其分布函数为其分布函数为0,0( )1,011,1xF xpxx 实际生活中，许多随机试验都可用实际生活中，许多随机试验都可用0-1分布描分布描述述. 例如例如,检查产品是否合格、产品是否为一级品、检查产品是否合格、产品是否为一级品、观察机器是否出现故障、抛硬币试验、登记新生观察机器是否出现故障、抛硬币试验、登记新生婴儿性别等等婴儿性

10、别等等 上述试验通常只有两个结果，这类试验称为上述试验通常只有两个结果，这类试验称为贝贝努利（努利（Bernoulli）试验）试验. 重贝努利试验重贝努利试验.n称这一串试验为称这一串试验为 将贝努利试验独立重复地进行将贝努利试验独立重复地进行n次，次，返回返回（2） 二项分布二项分布在在n重伯努利试验中重伯努利试验中, 设每次试验中事件设每次试验中事件A的概率为的概率为),10( pp用用X表示表示n重伯努利试重伯努利试验中事件验中事件A发生的次数发生的次数, , 则则X的可能取值为的可能取值为,n且对每一且对每一),0(nkk 根据伯努根据伯努,)1(knkknppCkXP (1)事件事件

11、kX 即为即为定义定义若一个随机变量若一个随机变量X的概率分布由的概率分布由 (1) 式给式给出出, , 则称则称X服从参数为服从参数为恰好发生的恰好发生的次次”, ,k有有nk, 1 , 0 发生发生, 1 , 0n次试验中事件次试验中事件A“利型利型, ,记为记为).,(pnbX的的二项分布二项分布, ,n p返回返回k【例【例4】 按规定，某种型号电子元件的使用寿按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过命超过1000小时的为合格品已知某一大批产小时的为合格品已知某一大批产品的合格率为品的合格率为0.9,现在从中随机地抽查现在从中随机地抽查20只只求求20只元件中恰好有只元件中恰好有 只为合

12、格品的概率只为合格品的概率. X解解 设设由题知由题知)9 . 0 ,20( BX则所求概率为则所求概率为kkkCkXP20201 . 09 . 0)(表示表示20只元件中合格品的只数只元件中合格品的只数. 由于这批电子由于这批电子二项分布处理二项分布处理.这样做会有一些误差，但误差不大这样做会有一些误差，但误差不大.元件总数很大，而抽查的数量元件总数很大，而抽查的数量20相对于元件总数来相对于元件总数来说很小，所以可作为放回抽样处理，即说很小，所以可作为放回抽样处理，即 可近似地作为可近似地作为20, 2, 1 , 0k返回返回（3） 泊松分布泊松分布定义定义若一个随机变量若一个随机变量X的

13、概率分布为的概率分布为,!kekXPk , 2 , 1 , 0 k则称则称X服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布， 记为记为)( PX或或).( X泊松分布的图形泊松分布的图形特征如右图所示特征如右图所示.注注： 历史上，历史上， 泊松泊松分布是作为二分布是作为二项分布的近似，项分布的近似， 于于1837年由法国数学家泊松引入的年由法国数学家泊松引入的.kO12 P( )泊松分布泊松分布( )1 2 345 6 7 8 910 12 14 16 18 20 22 240.120.100.080.060.040.02P( )返回返回（4）几何分布）几何分布) 10( pp中发生的概率为中发

14、生的概率为ppkXPk 1)1 ()(, 2, 1k)(pGeXdistribution )，记作，记作A在一次试验在一次试验AX,将试验进行到事件将试验进行到事件出现一次为止，以出现一次为止，以表示所需的试验次数，则表示所需的试验次数，则p称称服从参数为服从参数为.X的的几何分布几何分布( geometric容易验证容易验证1)1 ()1 ()(11111kkkkkppppkXP 重伯努利试验中，假设事件重伯努利试验中，假设事件定义定义 在在n返回返回三、三、 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度)(xFX定义定义1 设设是随机变量是随机变量的分布函数，若存在的分布函数，若存

15、在( )( )xF xf t dtX则称则称为连续型随机变量，为连续型随机变量，(probability density function)，简称概率密度，简称概率密度.)(xfx，使得对任意实数，使得对任意实数，有，有非负函数非负函数)(xfX为为的概率密度函数的概率密度函数返回返回连续型随机变量连续型随机变量的概率密度的概率密度有如下性质：有如下性质：X)(xf(1) 0)(xf(2) ( )() 1f x dxF (3) 2112()( )xxP xXxf x dx)()( xfxFx(4) 若若在在处连续，则处连续，则)(xf返回返回0)0()()(aFaFaXP从而用性质从而用性质(

16、3)计算时，不用考虑区间是否包含端点，计算时，不用考虑区间是否包含端点，即即12121212()()()()Px X xPx X xPx X xPx X x 21( )xxf x dx上式也说明概率为上式也说明概率为0的事件未必是不可能事件；的事件未必是不可能事件；类似地，概率为类似地，概率为1的事件也未必是必然事件的事件也未必是必然事件.由于连续型随机变量由于连续型随机变量的分布函数的分布函数是连续的，是连续的，X)(xF所以所以返回返回几种常见的连续型随机变量几种常见的连续型随机变量1. 均匀分布均匀分布定义定义2 若连续型随机变量若连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度其它, 0,1)

17、(bxaabxfX),(ba则称则称在区间在区间上服从均匀分布上服从均匀分布(uniform),(baUX),(),(balcc事实上，若事实上，若，设任意区间，设任意区间则则),(baUXdistribution)，记作，记作1()( )c lc lcclPc X c lf x dxdxb ab a 返回返回以上说明：在区间以上说明：在区间 上服从均匀分布的随机变上服从均匀分布的随机变量量 ，具有下述意义的等可能性，即它落在区间，具有下述意义的等可能性，即它落在区间 中任意等长的子区间内的可能性是相同的，且它落在中任意等长的子区间内的可能性是相同的，且它落在该子区间的概率与这个区间的长度成正

18、比，而与该区该子区间的概率与这个区间的长度成正比，而与该区间的位置无关间的位置无关. 均匀分布的分布函数为均匀分布的分布函数为bx,bxa,abaxax,) x( F10),(ba),(baX返回返回与与的图形分别如下图的图形分别如下图)(xf)(xF 在实际问题中，定点计算的舍入误差，计算机产在实际问题中，定点计算的舍入误差，计算机产生的随机数，正弦波的随机相位等通常都服从均匀分生的随机数，正弦波的随机相位等通常都服从均匀分布在理论研究中，尤其是在分布的模拟研究中也常布在理论研究中，尤其是在分布的模拟研究中也常用到均匀分布用到均匀分布返回返回2. 指数分布指数分布 其它, 00,)(xexf

19、x)(ExpX的指数分布的指数分布(exponential distribution)记为记为.定义定义3 若连续型随机变量若连续型随机变量具有概率密度具有概率密度X0其中其中为常数，则称为常数，则称服从参数为服从参数为X其分布函数为其分布函数为其它, 00,1)(xexFx返回返回指数分布常用于各种指数分布常用于各种“寿命寿命”分布的近似分布的近似. 例如电例如电子元件的使用寿命，随机服务系统的服务时间，机子元件的使用寿命，随机服务系统的服务时间，机器正常工作的时间等指数分布在可靠性理论与排器正常工作的时间等指数分布在可靠性理论与排队论中也有广泛的应用队论中也有广泛的应用 指数分布还有一个有

20、趣的性质指数分布还有一个有趣的性质无记忆性无记忆性 因为因为)()()(),()|(sXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXP )()1 (1)1 (1)1 (1)(tXPeeeettsts即即 )()|(tXPsXtsXP 返回返回3. 正态分布正态分布 正态分布是概率论中一种最重要的分布正态分布是概率论中一种最重要的分布. 一方一方面，正态分布是自然界中一种最常见的分布，是面，正态分布是自然界中一种最常见的分布，是许许多多随机现象的定量描述许许多多随机现象的定量描述. 例如在正常条件下例如在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸，纤维的强各种产品的质量指标，如零件的尺寸，纤维的强度和

21、张力，某地区成年男子的身高、体重，农作度和张力，某地区成年男子的身高、体重，农作物的产量，小麦的穗长、株高，测量误差，射击物的产量，小麦的穗长、株高，测量误差，射击目标的水平或垂直偏差，信号噪声等等，都服从目标的水平或垂直偏差，信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布或近似服从正态分布 另一方面，正态分布具有许多良好的性质另一方面，正态分布具有许多良好的性质. 许许多分布可近似地服从正态分布，从而可用正态分多分布可近似地服从正态分布，从而可用正态分布的性质来研究问题布的性质来研究问题.返回返回22()21( ),2xf xex ),(2NX的正态分布的正态分布(normal distributi

22、on)或高斯分布或高斯分布（Gauss distribution）,记为记为22()21( )12xf x dxedx2xe dx 利用利用，可以证明，可以证明定义定义4 若连续型随机变量若连续型随机变量的概率密度为的概率密度为X) 0(,其中其中为常数，则称为常数，则称服从参数为服从参数为X) 0(,返回返回正态分布的分布函数为正态分布的分布函数为22()21( )2txF xedt()x 返回返回的曲线具有如下性质的曲线具有如下性质 (3) 曲线以曲线以x轴为水平渐近线；轴为水平渐近线；(4) 确定曲线的位置，确定曲线的位置，确定曲线的陡峭程度确定曲线的陡峭程度. 由上图可以看出，概率密度

23、由上图可以看出，概率密度)(xf12(2) 当当时，时，有最大值有最大值x)(xf0,1特别地，特别地，时，称时，称服从标准正态分布服从标准正态分布(0,1)XN返回返回x(1) 曲线关于曲线关于对称，在对称，在处有拐点；处有拐点； X(standard normal distribution)记为记为 标准正态分布标准正态分布正态分布当正态分布当1, 0 时称为时称为标准正态分布标准正态分布， 此时，此时，其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用)(x 和和)(x 表示：表示：,21)(22xex 221( )2txxedt 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.Oxx)( Oxx )(0.51返回返回定理定理设设),(2 NX则则).1 , 0( NXY 而对标准正态分布的函数而对标准正态分布的函数),(x 人们利用的近似计算人们利用的近似计算方法计算求出其近似值，方法计算求出其近似值， 并编制了并编制了标准正态分布表标准正态分布表.y由由关于关于轴的对称性可得，轴的对称性可得，