【精品学案】复数代数形式的加减运算及其几何意义学案

1、I3. 2. 1复数代数形式的加减运算及其几何意义学习目标导航1.熟练掌握复数的代数形式的加减运算法则.（重点）2理解复数加减法的几何总义，能够利用“数形结合”的思想解题.（难点、易混点）基础初探教材整理1复数代数形式的加法运算及几何意义阅读教材P,6论思考”以上内容，完成下列问题.1.运算法则设N=C+旳（a, b、c, dGR）,贝ljzi + z= （a+c） +（b+小i.2.加法运算律交换律结合律(7 + 7) +zs=z+ (z+zJ3.复数加法的几何意义如图3-2-b设复数及，公对应向量分别为,0Z-四边形0Z乙为平行四边形，则阶段1认知预习质疑知识梳理要点初探I在复平面内，向量

2、必对应的复数为一1一匚向量宓对应的复数为1一匚则必+购对应的复数为_ .【解析】 由复数加法运算的几何意义知，云+云对应的复数即为(一l-i) + (l-i)= 21.【答案】一2i教材整理2复数代数形式的减法运算及几何意义阅读教材论思考”以下至“例1”以上内容，完成下列问题.1.运算法则设z,=a+bi, z=c+出(a, b, c, dWR),贝IZi (ac) +小i.2.复数减法的几何意义 * *如图3-2-2所示，设0Z,血分别与复数z,=a+bi,N=C+出对应，且,必不共 线，则这两个复数的差药一7与向量云一云(即E)对应，这就是复数减法的几何意义.这表明两个复数的差7盘(即必一

3、)与连接两个终点Z, Z且指向被减数的向量对 应.-微体验-已知N=2+i, z=l+2i,则复数对应的点位于第_象限.【解析】z=(2 + i) (l+2i) = (2 1) + (1 2)i = l i,对应的点为(1,一1)位于第四象限.【答案】四小组合作型(1) (l + 3i) + (-2 + i) + (2 3i)：阶段2.合作探究通茉计算:复数的加减运算(2) (2i) (l+5i) + (3+4i)：5(3) 5i (3+4i) (l+3i)：(4) (a+bi) (3a4bi) +5i (a, bGR)【结彩占拨】 解答本题可根据复数加减运算的法则进行.【自主解答】原式=(-

4、1+41) + (2-3i)=l+i.(2)原式=(3-6i) + (3+4i) =6-2i (3)原式=5i-(4 + i)=-4+4i (4)原式=(一2a+5bi) +5i = -2a+ (5b+5) i.名师皿J1.复数运算类比实数运算，若有括号，括号优先，若无括号，可从左到右依次进行.2.算式中岀现字母时，首先确左英是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们 分别相加.3.准确提取虚、实部，正确进行符号运算有利于提高解题的准确率.I_ J再练一题1.计算：(1) (2 + 3i) + (5 i)；(2) (l+i) + (l+边i)；(3) (a+bi) (2a3Zi) 3i (a

5、, 6GR)【解】(一2 + 3i) + (5-i) = (2 + 5) + (3 l)i = 3+2i(2)(一l+Vi) + (l+i) = (-1 + 1)4-(V2+V2)i=2V2i.(3) (a+bi) (2a3bi) 3i= (a2a) + (Z?+3Z?3) i = a+ (4b3) i.复数加减运算的几何意义卜例网 在复平而内，A. B、C分别对应复数z,= l + i, z=5 + i. z=3+3i,以 川 Q 为邻边作一个平行四边形ABDC.求刀点对应的复数7及肋的长. * *【精彩点拨】AD=AB-AC*Z1Zi= Zz Zt + Zz ZiI Zi Zi【自主解答】

6、如图所示：6月诙应复数ZzZy曲对应复数ZZZL*初对应复数Z Z由复数加减运算的几何意义得& 臨花/ Z1 Zi= (z：Zi) +( (Z3 Zi),/. Z = Zz+zz Z1=(5 + i) + (3 + 3i) (1 + i) =7 + 3i,的长为AD = z-z.=1 (7 + 3i)-(l + i) |= 6+2i|=2血.名师1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算.2.利用向疑进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.3.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.I_ I再练一题2.复平面内三点月

7、，5, C,月点对应的复数为2 + i,向就用对应的复数为1+2i,向量 应对应的复数为3-i,求点C对应的复数.【解】云对应的复数为1 + 2i,云对应的复数为3 i,:.AC=BCBA对应的复数为(3 i)一(l + 2i) =23i. * 又9：OC=OA+AC,7 C点对应的复数为(2 + i) + (2-3i) =4-218探究共研型复数加减法几何意义的综合应用探究1丨7衣的几何意义是什么？【提示】IN-Z表示复数药，z对应的两点Z与Z间的距誇.探究2满足条件I z+22i |=1的复数z在复平而上对应点的轨迹是什么？【提示】 法一(代数法)设yGR)t则，(w+yi) 4-2-2i

8、 |=1,即I (x+2) + (y-2) i=b/. yj -r+2 M- y2:= 1.(x+2)+(y-2)=l,即复数z对应复平而上的点Z的轨迹为以(-2,2)为圆心，1为半径的圆.法二(几何法)lz+2-2i|= z-(-2+2i) |=1,复数z在复平面内的对应点的轨迹是以(-2,2)为圆心，1为半径的圆.例田 已知lz+1 i =1,求|z3+4i的最大值和最小值【稱彩虫拨】 利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题.【自主解答】法一：设FT=Z3 + 4i,/. z=r+3 4i,又z+1 i | =1, | 卄4-5i|=l 可知形对应的点的轨迹是以(-4, 5)为圆

9、心，1为半径的圆.法二：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(-1,1)为圆心，1为半径的圆,而z-3+41 = z- (34i) |表示复数z对应的点到点-4)的距离,在圆上与(3. 4)距离最大的点为川距离最小的点为氏如图(2)所示,所以z-3+4i 3=回 +1, /3+4门込=回一1 如图(1)所示，W9名师复数模的最值问题解法（1）lz-zj表示复数Z,/的对应点之间的距离， 在应用时， 要把绝对值号内变为两复 数差的形式.（2）|z-z0|=r表示以药对应的点为圆心，r为半径的圆.（3）涉及复数模的最值问题，可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断， 然后通过几何方法进行求解.

10、再练一题3.已知复数z满足|z+22i|=l,求|z32i的最大值与最小值.【解】由复数及其模的几何意义知：满足z+2_2i|=l,即|z-（-2 + 21） 1=1.复数z所对应的点是以C（一2, 2）为圆心，r=l为半径的圆.而z 3-2i| = |z-（3+2i）|的几何意义是复数z对应的点与点（3,2）的距离.由圆 的知识可知|z 3 2i|的最小值为AC-r,最大值为+r.-3-21血=7 3+2 ：+2_2 =_1 = 4.z-32i远=73+2 =+22 =+1=6.1.复数（l i）一（2+i）+3i等于（）A. -l + iC iD i【解析】（l-i）一（2 + i）+3i

11、=（1一2） +（ 1一1 + 3兀=一1 +匚【答案】A2.已知z】=3 + i,蟲=l + 5i,则复数zzzz对应的点位于（）A.第一象限B 第二彖限D.第四彖限【解析】乙=(l + 5i) (34-i)阶段3体验落实评价课堂回馈即时达标B 1-iC.第三彖限10= (l-3) + (5-l)i = -2+4i 【答案】B3.若z-1 = z+l|,则复数z对应的点烈)A.在实轴上B.在虚轴上C.在第一象限D.在第二象限【解析】 设用R),由|zl| = |z+l ,得(x-l)a+y = (jH-l)5+y,化简得AT=O.【答案】B4.在复平面内，0是原点，OA, OC,对应的复数分

12、别为一2 + i,3+2i, l + 5i,那么氏对应的复数为_【导学号：81092045【解析】BC=-(OA-OC+AB),.况对应的复数为一 (一2 + i)-(3+2i) + (l + 5i)=(23+1) + (12+5) i=(_4+4i) =44i.【答案】4一4i5.如图3-2-3所示，平行四边形如C的顶点0, A, C分别表示0,3+2i, 2+4i.求：(1)月减示的复数；(2)启表示的复数：(3)諭示的复数.【解】(1)因为AO= OA,所以赢示的复数为一3-21.* *因为CA=OA-OC,所以以表示的复数为(3+2i) (-2+41) =52i* 因为OB=OA+OC

13、,所以泌示的复数为(3+2i) + ( 2+4i)=l+6i11学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1. (6 3i) (3i + l) + (22i)的结果为()A. 5-3iB. 3+5iC. 7-8iD. 7-2i【解析】(63i) (3i + l) + (22i)= (6-1+2) +(-3-3-2) i=7_8i.【答案】C2.在复平而内，复数1 + i和l + 3i分別对应向量预和厉，其中0为坐标原点，贝川乔 =()A.y/2B. 2C.y/ldD. 4【解析】 由复数减法运算的几何意义知，庞对应的复数为(l + 3i) (1 + i) =2i,/. AB =2.【

14、答案】B3.复数N=e+4i, ：= 3+肝，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a, b的值 为()A a=3t b=4B a= 3, b=4C. a=3, Z?=4D. a=3, b=4【解析】 由题意可知N+Z：=(a3) + (b+4) i是实数，Zt Zz= (a+3) + (4 2) i是 纯虚数，故b+4=0,1 = 014a=29解得薦，z=2 + i 10.如图3-2-4,已知复数z = l+2i, z： = -2 + i,公=一1一2i，它们在复平面上的 对应点是一个正方形 馭7?的三个顶点丛B、G求这个正方形的第四个顶点对应的复数.图3- 2- 4【解】 法一：设正方形的

15、第四个点 Q 对应的复数为x+yi(x, yWR), AD= OD-预对应的复数为(x+yi) (l + 2i) = (-Y1) + (y2) iBC=走一励寸应的复数为(-l-2i)-(-2 + i)=l-3i : AD=BC、/. (-Y1) + (y2) i = l 3i,故点 Q 对应的复数为2-i.法二：.点A与点C关于原点对称，原点。为正方形的中心，于是(一2 + i) + Cr+yi) =0, x=2, r=-l,故点刀对应的复数为2-i.能力提升1.实数X，y满足Zi=jd-Ad, z：=yix,且Ziz：=2则xy的值是()A. 1B 2D. -1【解析】ZLz尸(y+-ri

16、) ( x+yi) = (y+%) +CYy)i = 2,x+y=2,.Y-y=0,x=y=19 xy 1 【答案】Ax=2、解得152.磁的三个顶点对应的复数分别为知 % 幼 若复数z满足|z-zd= z-z：16Z冇，则z对应的点为磁的()【导学号：81092047A.内心B.垂心C.重心D.外心【解析】 由已知Z对应的点到7, n,n 对应的点儿5,Q 的距离相等.所以z对应 的点为磁的外心.【答案】D3._已知复数z=x+yi&, yGR),且|z2 =书,则三的最大值为_【解析】|z - 2| =7 AT-22+/=3,/. (-Y2)*+y=3.由图可知迈.【答案】羽4.在复平而内，A, B, C三点分别对应复数1,2+i,一l+2i.(1)求為，AC.荒对应的复数：(2)判断磁