高斯积分ppt课件

1、12在进行有限元分析时，一般需要大量的数值积分，通常都是通过坐标变换把被积函数全部化为局部坐标的函数。经过这样的变换，计算将会变得简单。若被积函数不是多项式函数，比如采用等参单元就是这样，此时就需要求助于数值积分，在有限元分析中，经常采用的就是高斯数值积分。3对于积分区间a,b，通过变换可化为区间-1,1 所求积分则化为：不失一般性，取a=-1，b=1，讨论区间-1,1上的积分即可，则有其中 为权函数22abbaxdabbafabxfba)22(2)(11niiixfwxf011 -)()(iw4 求积公式求积公式 的的代数精度最高不超代数精度最高不超2n-1次。次。 证明：分别取证明：分别取

2、 f(x)=1, x，x2，.xn 时代入公式，并让其成为等式得时代入公式，并让其成为等式得 A1 + A2 + + An =ab1dx.= b-a x1 A1 + x2 A2+ +xn An =abxdx.= （b2-a 2)/2 . x1 rA1 + x2 rA2+ +xn rAn =abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1) 上式共有上式共有 r 个个 等式，等式，2n个待定系数个待定系数(变元变元),要想如上方程组有唯一解，应有方程组中要想如上方程组有唯一解，应有方程组中方程的个数等于变元的个数方程的个数等于变元的个数,即即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代数精

3、度至少是这样求出的解答应的求积公式的代数精度至少是2n-1,下面下面证明代数精度只能是证明代数精度只能是2n-1. 如果事先已选定如果事先已选定a ，b中求积节点中求积节点xk如下如下a x1 x n b,上式成为上式成为n个未知数个未知数 A1、.An的的n元线性方程组，此时要元线性方程组，此时要r=n 时方程组时方程组有唯一解有唯一解 niiixfwxf011 -)()(5 事实上,取 2n次多项式次多项式g(x)=(x-x1)2(x-x2)2.(x-xn)2 代入求积公式,有左= 右= =0左右,故不成立等式,定理得证. 定义定义: 使求积公式使求积公式达到最高代数精度达到最高代数精度2

4、n-1的求积公式称为的求积公式称为Guass求积公式求积公式Guass求积公式的节点xk称为Guass点点,系数Ak称为Guass系数系数.因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有结论结论:插值型插值型求积公式的代数精度求积公式的代数精度d满足满足：n-1 d 2n-1baodxxgx)()(nkkkxgA1)(niiixfwxf011 -)()(6定理定理: 若f(2n)(x)在a,b上连续，则高斯求积公式的余项为其中(a,b),w(x)=(x-x1)(x-x2).(x-xn)。高斯求积公式的系数高斯求积公式的系数Ak恒为正恒为正,故高斯求积公式是稳定的故高斯求积公式是稳定的.Guas

5、s求积公式有多种求积公式有多种,他们的他们的Guass点点xk, Guass系数系数Ak都有表可以查询都有表可以查询.dxxwxnfRbannn)()()!2()(2)2(7Gauss - Legendre 求积公式求积公式其中高斯点为Legendre多项式的零点 Ln(x)=对于一般有限区间对于一般有限区间a,b，用线性变换，用线性变换x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它变成为使它变成为-1,1。111)()(nkkkxfAdxxfnnnndxxdn)1(!2128 n xk(n) Ak(n) Rn1 0 2 2 -0.5773503 1 +0.5773503 1 3 -0.774596

6、7 5/9=0.5555556 +0.7745967 5/9=0.5555556 0 8/9=0.8888889 4 -0.8611363 0.3478548 -0.3399810 0.6521452 +0.3399810 0.6521452 +0.8611363 0.3478548 5 -0.9061799 0.2369269 -0.5384693 0.4786287 0 0.5688889 +0.5384693 0.4786287 +0.9061799 0.2369269 )(157501)6(f3472875)()8(f1237732650)()10(fGauss- Legendre 点

7、及系数表点及系数表)(31f)(1351)4(f9例题：利用高斯求积公式计算例题：利用高斯求积公式计算解令x=1/2 (1+t), 则用高斯-Legendre求积公式计算求积公式计算.取n=5 积分精确值为I=ln2=0.69314718由此可见，高斯公式精确度是很高的101xdx111031tdtxdxI)5(5)5(5)5(2)5(2)5(1)5(1313131tAtAtAI69314719. 0102.Gauss - Chebyshev 求积公式求积公式其中高斯点为Chebyshev 多项式Tn(x)的零点 Tn(x)=cos(narccos(x)1112)(1)(nkkkxfAdxxxfnA