二次函数图像与性质

1、二次函数的图像与性质二次函数的图像与性质东厦中学东厦中学 纪传裕纪传裕1.抛物线y=ax+bx+c(a0)的性质：2.二次函数图像的平移、增减性及对称性：3. 二次函数解析式的求法：一. 抛物线y=ax+bx+c(a0)的性质：a、b、c的代数式作用说明a1. a的正负决定抛物线开口方向；2. 决定抛物线开口大小。 a0开口向_a0开口向_b决定对称轴的位置，对称轴为直线a、b同号对称轴在y轴的_侧b=0对称轴为_轴a、b异号对称轴在y轴的_侧c0交点在y轴的_半轴a2bxa 上下原正负左y右a、b、c的代数式作用说明b-4ac决定抛物线与x轴交点个数b-4ac0抛物线与x轴有_个交点b-4a

2、c=0抛物线与x轴有_个交点b-4ac0抛物线与x轴有_个交点a0时，顶点纵坐标是二次函数的最_值24,24bacbaa244acba244acba210小大a、b、c的代数式作用说明决定抛物线与x轴的交点的横坐标当y=0时，即ax+bx+c=0则抛物线与x轴的交点坐标为_242bbaca 24,02bbaca 练习一练习一1. 二次函数 的图像如图所示，则下列结论：a0；c0；b-4ac0，其中正确的个数是（ ） a. 0个 b. 1个 c. 2个 d. 3个2. 二次函数y=kx-6x+3的图像与x轴有交点，则k的取值范围是（ ） a. k3 b. k3且k0 c. k3 d. k3且k0

3、20yaxbxc acd考查从图像中找出a、c及b-4ac性质的应用。考查抛物线与x轴有交点时b-4ac0，及a0的问题。4.已知函数y=ax+bx+c的图像如图所示，那么函数的表达式为（ ） a. y=-x+2x+3 b. y=x-2x-3 c. y=-x-2x+3 d. y=-x-2x-33. 二次函数y=ax+bx+c(a0)的图像如图所示，根据图像回答：(1)写出方程ax+bx+c=0的两个根：_；(2)写出y0时x的取值范围：_。1x3121,3xxax+bx+c=0的根实质就是抛物线与x轴交点的横坐标；y0时x的取值范围可以从图像直接得到。a考查在图像中通过a、b、c的特点来选择合

4、适的表达式。6.如图所示，某中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为 y=-x+4x+2，此水柱的最大高度是（ ） a. 2 b. 4 c. 6 d. 26c本题可利用 是该二次函数的最大值来解题。244acba4. 在同一坐标系中，函数y=-x-1和y=x+2x+1的图像可能是（ ）xo xo xo xy o d考查当一次函数k0、b0时，直线经过第二、三、四象限；当二次函数a0、b0、c0时，抛物线开口向上、对称轴在y轴的左侧及与y轴的交点在y轴的正半轴。y y y 二（1）. 二次函数图像的平移：例：把抛物线y=-3x向左平移1个单位，平移后得到抛物线_。把抛物线y=-3x向右平

5、移1个单位，平移后得到抛物线_。即：左加右减 把抛物线y=-3x向上平移1个单位，平移后得到抛物线_。把抛物线y=-3x向下平移1个单位，平移后得到抛物线_。即：上正下负y=-3(x+1)y=-3(x-1)y=-3x+1y=-3x-1二（2）. 二次函数的增减性：1. 如图1，当a0时，当 时，y随x的增大而_，当 时，y随x的增大而_。2. 如图2，当a0时，当 时，y随x的增大而_，当 时，y随x的增大而_。2bxa2bxa2bxa 2bxa2bxa2bxa 增大减小减小增大左减右增左增右减二（3）.二次函数的对称性：二次函数的图像是一个关于对称轴 对称的轴对称图形，当抛物线上两点的纵坐标

6、相同，即时，2bxa 12,x yxy1222xxba 对称轴2bxa 1,x y2,xy练习二1. 如图所示，抛物线y=ax+bx+c的对称轴为x=2且抛物线上点a（3，-8），则抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标为_。2.把抛物线y=2x向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后得到抛物线_。（1，-8）考查抛物线的对称性，即抛物线上纵坐标相等的两个点，其横坐标符合1222xxy=2(x+1)-2抛物线y=2x向左平移再向下平移，即左加下负。3.已知点 、 均在抛物线y=x-1上，下列说法正确的是（ ） a. 若 ，则 b. 若 ，则 c. 若 ，则 d. 若 ，则11()xy，22()

7、xy，12yy12xx12xx 12yy 120 xx12yy120 xx12yyd由图像可知，抛物线开口向上，则左减右增三.二次函数解析式的求法：1. 若已知抛物线上三点坐标，则可设表达式为 ，然后组成三元一次方程组来解。2. 若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程或最大（小）值，可设表达式为 ，其中顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h。 2yaxbxc2ya xhk3.一些常见二次函数图像的解析式 1. 如图1：若抛物线的顶点是原点，设2. 如图2：若抛物线过原点，设3. 如图3：若抛物线的顶点在y轴上，设 20yaxa20yaxc a20yaxbx a4.如图4：若抛物线经过y轴上一点，设5

8、.如图5：若抛物线知道顶点坐标（h，k），设 230yaxbxa2ya xhk例1：如图，直线y=x+m和抛物线y=x+bx+c都经过点a（1，0），b（3，2）（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式x+bx+cx+m的解集（直接写出答案）。解（1）直线y=x+m经过点a(1,0) 0=1+m m=1即m的值为1 抛物线y=x+bx+c经过点a(1,0),b(3,2) 解得： 二次函数的解析式为 y=x-3x+2 （2）x3或x1 01bc293bc. ，b3c2 练习三1. 如图所示，抛物线的对称轴为x=2，且经过a、b两点，求抛物线的解析式。解：抛物线的对称轴为x=2设抛物线的解析

9、式为y=a(x-2)+k又a（1，4）、b（5，0）在抛物线上 解得： 抛物线的解析式为490akak1292ak 219222yx 例2：2009年汕头市高中阶段招生考试首次将体育科计入总分，考察掷实心球、立定跳远或一分钟跳绳。男同学小明在一次实心球模拟测试中，已知小明同学球出手时侯的高度为2米，整个球运动的路线是一条抛物线，并在在距小明同学4米时达到最高点3.6米（如图所示）；（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；（2）根据教育局规定：9.32米得分为90分，以后每增加0.15米可增加1分，增加幅度不足0.15米不加分。则小明在这次测试中，小明能得多少分？ oac4米3.

10、6米解（1）以o为原点，oc所在的直线为x轴建立平面直角坐标系依题意得：a(0,2)抛物线的顶点坐标为(4,3.6)则设抛物线的解析式为y=a(x-4)+3.6将a代入得：解得：c110a 即：(2)令y=0，得解得：则小明投掷了10米。（10-9.32）0.15+9094（分）答：这次测试，小明得了94分。2211443.6210105yxxx 21420105xx1210,2xx 舍去4米3.6米oa22043.6a练习四2. 某工厂大门是一抛物线水泥建筑物，如图所示，大门底部宽ab=4m，顶点c离地面高度为4m，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.56m，装货宽度为2.3

11、米，请判断这辆车能够顺利通过大门？xy(-2,-4)(2,-4)y=ax以c为原点建立平面直角坐标系，使x轴ab练习四2. 某工厂大门是一抛物线水泥建筑物，如图所示，大门底部宽ab=4m，顶点c离地面高度为4m，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.56m，装货宽度为2.3米，请判断这辆车能够顺利通过大门？xy(2,0)(0,4)y=ax+co以大门底部宽ab的中点o为原点，大门底部ab所在直线为x轴，建立平面直角坐标系练习四2. 某工厂大门是一抛物线水泥建筑物，如图所示，大门底部宽ab=4m，顶点c离地面高度为4m，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.56m，装货宽度为2.3米，请判断这辆车能够顺利通过大门？xy(2,4)(4,0)y=ax+bx以a为原点，大门底部ab所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系2. 某工厂大门是一抛物线水泥建筑物，如图所示，大门底部宽ab=4m，顶点c离地面高度为4m，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.56m，装货宽度为2.3米，请判断这辆车能够顺利通过大门？xy(2,0)(0,4)o解：以大门底部宽ab的中点o为原点，大门底部ab所在直线为x轴，建立平面直角坐标系。设抛物线的解析式为y=ax+c(a0)依题意得：b(2,0),