高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.4.24.3 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点课时作业 北师大版选修21

1、6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3

2、3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 3.4.23.4.2- -4.3 4.3 圆锥曲线的共同特征圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点直线与圆锥曲线的交点 基础达标 1.过点(2，4)作直线与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线有( ) a1 条 b2 条 c3 条 d4 条 解析：选 b.易知点(2，4)在抛物线上，从而这样的直线有两条，一条为切线，一条与x轴平行 2.方程 （x1）2（y1）2|xy2|表示的曲线是( ) a椭圆 b双曲线 c抛物线 d线

3、段 解析：选 b. （x1）2（y1）2|xy2|， （x1）2（y1）2|xy2|221. 由圆锥曲线的共同特征知该方程表示双曲线 3.曲线y1x2和yx2 公共点的个数为( ) a3 b2 c1 d0 解析：选 c.y1x2可化为x2y21(y0)，其图形为半圆，在同一坐标系中画出两曲线的图形，直线与半圆相切 4.若椭圆上的点p到一个焦点的距离最小，则点p是( ) a椭圆短轴的端点 b椭圆长轴的一个端点 c不是椭圆的顶点 d以上都不对 解析：选 b.由圆锥曲线的共同特征知，点p到右焦点的距离 |pf2|de(a2cx0)eaex0. 当x0a时，|pf2|最小 5.直线l：yx3 与曲线y

4、29x|x|41 交点的个数为( ) a0 b1 c2 d3 解析：选 d.当x0 时，曲线方程可化为x24y291，即椭圆y轴左侧部分；当x0 时，曲线方程可化为y29x241， 即双曲线y轴右侧部分， 如图可知直线yx3 与曲线有三个交点 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4

5、4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6.已知斜率为 1 的直线过椭圆x24y21 的右焦点交椭圆于a，b两点，则弦ab的长是_ 解析：由yx3x24y21，得 5x28 3x80. 设a(x1，y1)，b(x2，y2)， x

6、1x2835，e32， |ab|22e(x1x2)43283585. 答案：85 7.已知双曲线x2a2y21(a0)的一条准线与抛物线y26x的准线重合，则a_ 解析：抛物线y26x的准线方程为x32. 由双曲线准线方程的求法得a2c32， a232c. 又b1，c2a2b2，c2a21， 即c232c1，解得c2 或c12(舍去)，a3. 答案：3 8.直线ykx1 与曲线mx25y25m(m0)恒有公共点，则m的取值范围是_ 解析：将ykx1 代入mx25y25m， 得(m5k2)x210kx5(1m)0，对kr r，总有实数解 20m(m15k2)0，对kr r 恒成立 m0，m15k

7、2恒成立，m1. 即m的取值范围为1，) 答案：1，) 9.一动点到定直线x3 的距离是它到定点f(4， 0)的距离的12， 求这个动点的轨迹方程 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8

8、1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 解：法一：由题意知，动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为 2，则动点的轨迹为双曲线，且离心率eca2. 又定点f(4，0)与定直线x3 是双曲线相应的右焦点和右准线，得ca2c431. 又c2a且ca2c1， a23且c43， 双曲线的中心o的坐标为83，0 . 又b2c2a24

9、3223243， 双曲线的方程为x832232y2431. 法二：由题意知，设动点为p(x，y)， 则|x3|12 （x4）2y2， 两边平方，得(x3)214(x4)214y2. 化简，得x832232y2431 即为所求 10.已知抛物线c：y22px(p0)过点a(1，2) (1)求抛物线c的方程，并求其准线方程； (2)是否存在平行于oa(o为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线c有公共点，且直线oa与l的距离等于55？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由 解：(1)将(1，2)代入y22px， 得(2)22p1，所以p2. 故所求抛物线c的方程为y24x，其准线方程为x1.

10、(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt， 由y2xty24x消去x，得y22y2t0. 因为直线l与抛物线c有公共点， 所以48t0，解得t12. 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d

11、 d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 由直线oa与l的距离等于55可得|t|555，解得t1. 因为112，)，112，)， 所以符合题意的直线l存在，其方程为 2xy10. 能力提升 1.若曲线c1：x2y22x0 与曲线c2：y(ymxm)0 有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( ) a.33，33 b

12、.33，0 0，33 c.33，33 d.，3333， 解析：选 b.c1：(x1)2y21， c2：y0 或ymxmm(x1) 当m0 时，c2：y0，此时c1与c2显然只有两个交点； 当m0 时，要满足题意，需要圆(x1)2y21 与直线ym(x1)有两个交点，当圆与直线相切时，m33，即直线处于两切线之间时满足题意， 则33m0 或 0m33. 综上知33m0 或 0mb0)，右焦点为f, 右准线为l， 短轴的一个端点为b.设原点到直线bf的距离为d1，f到l的距离为d2, 若d26d1，则椭圆c的离心率为_ 解析：依题意，d2a2ccb2c. 又bfc2b2a，所以d1bca. 由已知

13、可得b2c6bca， 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8

14、 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 所以6c2ab，即 6c4a2(a2c2)，整理可得a23c2，所以离心率eca33. 答案：33 3.已知双曲线x2a2y2b21 的离心率e12，左、右焦点分别为f1，f2，左准线为l，能否在双曲线的左支上找到一点p，使得pf1是p到l的距离d与pf2的等比中项？ 解：设在左半支上存在p点，使pf21pf2d，由双曲线的第二定义知pf1dpf2pf1e，即pf2epf1. 再由双曲线的第一定义，得pf2

15、pf12a， 由在pf1f2中有pf1pf22c，2ae12aee12c. 利用eca，由式得e22e10，解得 1 2e12. e1，1e12，与已知e12矛盾 不存在符合条件的点p. 4如图，椭圆c：x2a2y2b21(ab0)经过点p1，32，离心率e12，直线l的方程为x4. (1)求椭圆c的方程； (2)ab是经过右焦点f的任一弦(不经过点p)，设直线ab与直线l相交于点m，记pa，pb，pm的斜率分别为k1，k2，k3，问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，请说明理由 解：(1)由p1，32在椭圆上，得1a294b21. 依题设知a2c，则b23c2. 将代

16、入，解得c21，a24，b23. 故椭圆c的方程为x24y231. (2)法一：由题意可设ab的斜率为k， 则直线ab的方程为yk(x1) 代入椭圆方程 3x24y212，并整理， 得(4k23)x28k2x4(k23)0. 设a(x1，y1)，b(x2，y2)， 则有x1x28k24k23，x1x24（k23）4k23. 在方程中令x4，得m的坐标为(4，3k) 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4

17、3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 从而k1y132x11，k2y232x21，k33k3241k12. 注意到a，f，b三点共线，则有kkafkbf， 即有y1x11y2x21k. 所 以k1k2y132x11y232x21y1x11y2x21321x111x21 2k32x1x22x1x2（x1x2）1. 将代入，得 k1k22k328k24k2324（k23）4k238