级下一阶线性微分方程PPT课件

1、一、线性方程一、线性方程)()(xQyxPdxdy , 0)( xQ当当上方程称为齐次的齐次的.上方程称为非齐次的非齐次的., 0)( xQ当当,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的;非线性的.一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:例如例如第1页/共34页. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为.)( dxxPCey1. 线性齐次方程一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法)第2页/共34页2. 线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxP

2、yxQydy 两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:)(xuC 第3页/共34页常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数作变换 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy第4页/共34页代代入入原原方方程程得得和和将将yy ,)()()(CdxexQxu

3、dxxP ),()()(xQexudxxP 积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次方程通解非齐次方程特解第5页/共34页.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例1 1第6页/共34页例例2 2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)

4、(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得,32xyy 解解解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 第7页/共34页 dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为).222(32 xxeyx23xyy 第8页/共34页伯努利(Bernoulli)方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程为线性微分方程线性微分方程. 方程为非线性微分方程非线性微分方程.二、伯努利方程二、伯努利方程时，时，当当1 , 0 n时，时，当当1 , 0 n解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程.第9页/共34

5、页,1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，将 代入即得nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn第10页/共34页.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即解解，得，得两端除以两端除以ny例例 3第11页/共34页例例4 4 用适当的变量代换解下列微分方程: :;22. 122xxexyyy

6、解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 则则,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解为).2(222Cxeyx 第12页/共34页;)(sin1. 22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分离变量法得,代回代回将将xyz 所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy 第13页/共34页;1. 3yxdxdy 解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy则则代入原式,11udxdu 分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回

7、将将yxu 所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解. yxdydx 方程变形为方程变形为第14页/共34页三、小结1.齐次方程2.线性非齐次方程3.伯努利方程)(xyfy ;xuy 令令;)()( dxxPexuy令令;1zyn 令令第15页/共34页第五节 全微分方程一、全微分方程及其求法二、积分因子法三、一阶微分方程小结第16页/共34页一、全微分方程及其求法一、全微分方程及其求法1.1.定义定义: :0),(),( dyyxQdxyxP则则dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 若有全微分形式若有全微分形式例如, 0 ydyxdx),(21),(22yxyx

8、u 全微分方程或恰当方程,),(ydyxdxyxdu 所以是全微分方程.xQyP 全微分方程全微分方程第17页/共34页2.2.解法解法: :0),(),( dyyxQdxyxP应用曲线积分与路径无关.xQyP 通解为 yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy ;),(Cyxu 用直接凑全微分的方法.全微分方程第18页/共34页.0)3()3(2323的通解的通解求方程求方程 dyyxydxxyx解解,6xQxyyP 是全微分方程, yxdyyxdxyxyxu03023)3(),(.42344224Cyyxx 原方程的通解为,

9、42344224yyxx 例例1 1第19页/共34页.0324223的通解的通解求方程求方程 dyyxydxyx解解,64xQyxyP 是全微分方程,将左端重新组合)32(14232dyyxdxyxdyy )()1(32yxdyd .132Cyxy 原方程的通解为),1(32yxyd 例例2第20页/共34页二、积分因子法定义定义: : 0),( yx 连续可微函数，使方程连续可微函数，使方程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx成为全成为全微分方程微分方程. .则称则称),(yx 为方程的为方程的积分因子积分因子. .问题问题: 如何求方程的积分因子?第21页/共34页1

10、.1.公式法公式法: :,)()(xQyP xQxQyPyP ，两边同除两边同除 xQyPyPxQ lnln求解不容易特殊地:;.有关时有关时只与只与当当xa , 0 y ,dxdx 第22页/共34页;.有关时有关时只与只与当当yb )(1lnxQyPQdxd )(xf .)()( dxxfex , 0 x ,dydy )(1lnyPxQPdyd )(yg .)()( dyygey 第23页/共34页2.2.观察法观察法: :凭观察凑微分得到),(yx 常见的全微分表达式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydyxydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )

11、ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122第24页/共34页可选用的积分因子有可选用的积分因子有.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx .0)()3(22的通解的通解求微分方程求微分方程 dyxyxdxyxy解解,1)(1xxQyPQ dxxex1)( .x 例例3则原方程为, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx第25页/共34页, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx)(332xdyydxxydyxydxx )(21(23xyyxd , 0 原方程的通解为.)(2123Cxyyx (公式法)可积组合法第26页/共34

12、页.0)1(222的通解的通解 dyyxdxyxx解解将方程左端重新组合,有例例4 求微分方程, 02222 dyyxdxyxxxdx, 0)()(2222 dyyxxdyxxd, 0)()(222 yxdyxxd原方程的通解为.)(322322Cyxx 第27页/共34页.0)1(ln2222的通解的通解 dyyyxydxxy解解将方程左端重新组合,有, 01)ln2222 dyyydyxydxxy（,1),(yyx 易知易知, 01)ln2(22 dyyydyyxydxx则则. 0)1(31)ln(2322 ydyxd即即原方程的通解为.)1(31ln2322Cyyx 可积组合法例例5 求

13、微分方程第28页/共34页.132的通解的通解求微分方程求微分方程xyxxdxdy 解解1整理得,112xyxdxdy A A 常数变易法常数变易法: :B B 公式法公式法: :.4343Cxxxyy 通解为通解为.1xCy 对应齐方通解对应齐方通解.1)(xxCy 设设.43)(43CxxxC ,11211Cdxexeydxxdxx 例例6第29页/共34页解解2 2整理得, 0)1()(32 dyxdxyxx,1xQyP .是全微分方程是全微分方程A A 用曲线积分用曲线积分法法: :,)1()(),(0032 yxdyxdxxxyxuB B 凑微分法凑微分法: :, 0)(32 dxxdxxydxxdydy，043)(43 xdxdxyddy. 0)43(43 xxxyyd第30页/共34页C C 不定积分不定积分法法: :,32yxxxu dxyxx)(32),(4343yCxyxx ),(yCxyu ,1xyu 又又,1)(xyCx , 1)(