第3章 点、直线和平面的投影

1、第第3 3章章 点、直线和平面的投影点、直线和平面的投影3 31 1 点在三面投影体系中的投影点在三面投影体系中的投影3 32 2 直线的投影直线的投影3 33 3 直线上的点直线上的点3 34 4 一般位置线段的实长及对投影面的倾角一般位置线段的实长及对投影面的倾角3 35 5 两直线的相对位置两直线的相对位置3 36 6 直角的投影直角的投影3 38 8 平面上的点和直线平面上的点和直线3 37 7 平面的投影平面的投影一、点在一个投影面上的投影一、点在一个投影面上的投影3 31 1 点的投影点的投影二、点在两投影面体系中的投影二、点在两投影面体系中的投影三、点的三投影面体系中投影三、点的

2、三投影面体系中投影四、两点的相对位置四、两点的相对位置五、重影点的投影五、重影点的投影 Pb AP采用多面投影采用多面投影。 过空间点过空间点A A的投射线与的投射线与投影面投影面P P的交点即为点的交点即为点A A在在P P面面上的投影。上的投影。B1B2B3 点在一个投影面上点在一个投影面上的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空间位置。间位置。一、点在一个投影面上的投影一、点在一个投影面上的投影a 解决办法？解决办法？VXO水平投影面水平投影面 H H 正面投影面正面投影面 V V 投投 影影 轴轴 OXOX1 1、两投影面体系、两投影面体系的建立的建立二、点在两个投影面上的投影二、点在

3、两个投影面上的投影VXO2 2、两投影面体系中点的投影、两投影面体系中点的投影点A的水平投影 a点A的正面投影 aaAzyxa3 3、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置VXOaAzyxa4 4、两面、两面投影图的画法投影图的画法HXHVOa aaxxzyaaVzyx 保持保持V V面不动，将面不动，将H H面向下旋转面向下旋转9090，展成一个平，展成一个平面。通过两点表达空间一个点。面。通过两点表达空间一个点。Aax5 5、两面投影图的规律、两面投影图的规律1) aaOXXHVOa aaxxzyaaVzyx1 1）投影连线垂直于投影轴。）投影连线垂直于

4、投影轴。2 2）投影到投影轴的距离等于空间点到相邻投影面的距离。）投影到投影轴的距离等于空间点到相邻投影面的距离。2) aax =Aa , aax =Aa ax通常不画出投影面的边界XHVOa aaxxzyXOa a三、点的三投影面体系中投影三、点的三投影面体系中投影VXZYWOayaxazxyzaaaA 1. aaz = aay =Aa = xA 2. aax = aaz =Aa =yA 3. aax =aa y = Aa=zA 1 1、三面、三面投影图的展开投影图的展开 保持保持V V面不动，沿面不动，沿Y Y轴方向剪开，将轴方向剪开，将H H面向下旋转面向下旋转9090，将将W W面向后

5、旋转面向后旋转90 90 ，展成一个平面。，展成一个平面。VXZYWOayaxazxyzaaaAHa aa VWXOZYWYH2 2、三面、三面投影图的规律投影图的规律VXZYWOayaxazxyzaaaAHa aa VWXOZYWYH长对正长对正高平齐高平齐宽相等宽相等1. aa X轴，aaz = aay = XA2. aaZ轴， aax =aa y = ZA3. aax = aaz =YAazayayax 平面是无限大的，所以一般不画出平面边框。平面是无限大的，所以一般不画出平面边框。a aa XOZYWYH3 3、空间点坐标与投影坐标、空间点坐标与投影坐标VXZYWOayaxazxyza

6、aaAHa aa VWXOZYWYHA(x,y,z)a(x,y,0); a (x,0,z);a (0,y,z)4 4、特殊点的投影、特殊点的投影HVOXb bc cCcca bBb Aaa a四、两点的相对位置四、两点的相对位置两点中两点中x x值大值大的点的点 在左在左; ;两点中两点中y y 值大值大的点的点 在前在前; ;两点中两点中z z 值大值大的点的点 在上在上a a ab b bBAa aa XOZYWYHbb b a aa XOZYWYHbb b 五、重影点的投影五、重影点的投影cd(c)dCDa(b)abAB 有一投影相重合有一投影相重合的点，称为重影点的点，称为重影点 两重

7、影点必有两两重影点必有两对坐标值对应相等。对坐标值对应相等。a aax 例例11已知点的两个投影，求第三投影。已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一: :通过作通过作4545线线使使a a a az z=aa=aax x解法二解法二: :用圆规直接量用圆规直接量取取a a a az z=aa=aax xa 【例【例2 2】已知点的两个投影，求第三投影。】已知点的两个投影，求第三投影。aaa aaabbb bbbccc cccXYHZYW 例例3 3 已知点已知点A A在点在点B B之前之前4 4毫米，之上毫米，之上8 8毫米，之右毫米，之右7 7毫米，毫米，求点求点A

8、 A的投影。的投影。a a a874b bb XOZYWYH一、直线的投影一、直线的投影1 1 直线投影的基本特性直线投影的基本特性：一般情况下，：一般情况下， 直线的投影直线的投影仍然为直线，特殊情况为一点。仍然为直线，特殊情况为一点。 直线投影为经过直线的投影线面与投影面的交线。直线投影为经过直线的投影线面与投影面的交线。2 2 各种不同位置直线的投影各种不同位置直线的投影 按直线与投影面的相对位置分为三种情况：按直线与投影面的相对位置分为三种情况：垂直、平行和相交。从而将直线分为三类七种垂直、平行和相交。从而将直线分为三类七种3-2 3-2 直线的投影直线的投影 直线投影的基本作图方法：

9、求出两端点的投影，直线投影的基本作图方法：求出两端点的投影，将同面投影相连。将同面投影相连。二、直线的分类二、直线的分类投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面 规定：

10、规定：与与H H面的夹角为面的夹角为 ，与，与V V面的夹角为面的夹角为 ，与，与W W 面的夹面的夹角为角为 。 、 、 均均 90900 0 ；任意两角之和等于任意两角之和等于90900 0。1 水平线水平线 只平行于水平投影面的直线只平行于水平投影面的直线aababb Xa b ab baOzYHYWAB投影特性：1ab OX ; ab OYW 2 ab=AB 3反映、 角的真实大小2 正平线正平线只平行于正面投影面的直线只平行于正面投影面的直线aababbXabab baOZYHYWAB 投影特性： 1 ab OX ; a b OZ 2 a b=AB 3 反映、角的真实大小3 侧平线侧

11、平线只平行于侧面投影面的直线只平行于侧面投影面的直线aa b a bbAB投影特性： 1 ab OZ ; ab OYH 2 ab =AB 3反映 、 角的真实大小XZa b bbaOYHYWaabababZOXYHYWabababABVHWX A AB B YZ投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性Xa b ab baOzYHYWXabab baOZYHYWXZa b bbaOYHYWa（1 1）直线在与其所平行的投影面上的投影反映该直线的实）直线在与其所平行的投影面上的投影反映该直线的实长，同时还反映该直线与另两个投影面之间的真实倾角。长，同时还反映该直线与另两个投影面之间的真实倾角。

12、（2 2）直线的其余两个投影均分别平行于相应的投影轴，该）直线的其余两个投影均分别平行于相应的投影轴，该两投影与相应投影轴之间的距离即为该直线与相应投影面之两投影与相应投影轴之间的距离即为该直线与相应投影面之间的距离。间的距离。b a(b)a abZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：1 a b 积聚 成一点 2 a bOX ; a b OYW 3 a b = a b = AB4 铅垂线铅垂线 垂直于水平投影面的直线垂直于水平投影面的直线AB5 正垂线正垂线 垂直于正面投影面的直线垂直于正面投影面的直线bababa投影特性： 1 ab 积聚 成一点 2 ab OX ; ab OZ 3 a

13、b = ab =ABABzXab baOYHYWab6 侧垂线侧垂线 垂直于侧面投影面的直线垂直于侧面投影面的直线投影特性： 1 ab 积聚 成一点 2 ab OYH ; ab OZ 3 ab = ab =ABABbaababZXabbaOYHYWab投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性Zb Xa ba(b)OYHYWazXab baOYHYWabZXabbaOYHYWab（1） 直线在与其所垂直的投影面上的投影积聚为一点。直线在与其所垂直的投影面上的投影积聚为一点。该积聚投影与相应投影轴间的距离即为该直线与相应投影该积聚投影与相应投影轴间的距离即为该直线与相应投影面间的距离。面间的距

14、离。（2 2）直线的其余两个投影均垂直于相应的投影轴且反映）直线的其余两个投影均垂直于相应的投影轴且反映该直线的实长。该直线的实长。ababa(b)OXZYHYWa(b)ababVHWXABY从属于V 面的直线ZXabaOYHYWabbZYWbXaba(b)OYHa从属于V 投影面的铅垂线ZXabaOYHYWabb从属于投影轴的侧垂线7 一般位置直线一般位置直线ABbbabaaZXabaOYYabb投影特性：1 a b、 ab、a b均小于实长 2 a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3不反映 、 、 实角OXZYHYWVHWXABCaaabbbccccacacaYZVWHABKabkmMak

15、bmmbakmmmabaa bbXOYWYHZkkk3 33 3 直线上的点直线上的点一、直线上点的两个重要特性：一、直线上点的两个重要特性： 1 1、从属性、从属性 直线上的点，其各个投影必在该直线的同面投影直线上的点，其各个投影必在该直线的同面投影上。上。VWHABKabkmMakbmmbak2 2、定比性、定比性 直线上的点分割线直线上的点分割线段成定比，其各个投影亦分成相段成定比，其各个投影亦分成相同的比例同的比例。abaa bbXOYWYHZkkknbkkabkkakbakKBAK1 dekk0d0YWYHZeekdd OX。 解：解：方法一方法一 先求出直线的侧面投影，再根据直线上

16、的点的投先求出直线的侧面投影，再根据直线上的点的投影特征求出影特征求出k k。方法二使用定比性。方法二使用定比性。eekdd OXkk【例【例4 4】 已知直线已知直线DEDE的正面投影和水平投影及线上的正面投影和水平投影及线上K K点的点的正面投影正面投影k,k,试求出试求出K K点的水平投影点的水平投影ababC c cXO【例【例5 5】试在直线】试在直线ABAB上确定一点上确定一点C C，使，使AC:CB=2:3AC:CB=2:3，求，求C C点的点的两面投影。两面投影。二、直线的迹点二、直线的迹点（1 1）迹点的定义：直线与投影面的交点）迹点的定义：直线与投影面的交点（2 2）迹点的

17、分类：水平迹点（）迹点的分类：水平迹点（M M）、正面迹点（）、正面迹点（N N）和）和侧面迹点（侧面迹点（S S）。）。mOObanNMmbaABmbannabmNM直角三角形法直角三角形法ABabbabZXYa3-4 3-4 一般位置线段的实长及其与投影面的夹角一般位置线段的实长及其与投影面的夹角|zA-zB |ABABbbaaCXO1 求直线的实长及对水平投影面的夹角求直线的实长及对水平投影面的夹角 角角|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|abABbbaaCXO2 求直线的实长及对正面投影面的夹角求直线的实长及对正面投影面的夹角 角角|YA-YB|aXabba

18、bABABab|YA-YB|YA-YB|AB|YA-YB|XZYO3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角角ABbbabaaZXabaOYHYWabb|XA-XB|XA-XB|坐标差Z、Y、XH、V、W投影长、 【例【例6 6】 已知线段的实长已知线段的实长ABAB，求它的水平投影。，求它的水平投影。a a| |z zA A-z-zB B| | abab a a b b | |y yA A-y-yB B| |ABABABABabab| |z zA A-z-zB B| |b b X Xa a b bABAB【例【例7 7】试在直线试在直线ABAB上其求一点上其求一

19、点C C，使，使AC=25mmAC=25mm，求点，求点C C的投的投影。影。 ab bab bXOZAB=ZABC C在AB上量取ACAC=25mmccB BA【例【例8 8】已知直线】已知直线ABAB的的V V投影，且投影，且=30=30，求，求ABAB的的H H投影。投影。ababYAB量取YABab bab bz zABAB直线的直线的H H投影长投影长以直线的以直线的H H投影长投影长为半径，作圆弧为半径，作圆弧直线直线ABAB真长真长 有三种情况有三种情况平行平行相交相交交叉（既不平行，也不相交）交叉（既不平行，也不相交）3-5 3-5 直线和直线的相对位置直线和直线的相对位置A

20、AB BC CD DE EF F1 两直线平行两直线平行投影特征：两平行直线其同面投影必相互平行；同面投影特征：两平行直线其同面投影必相互平行；同面投影平行，则空间直线平行。投影平行，则空间直线平行。abdcdcbaO XdHVADBCcbabacd* *例例 求作如图所示求作如图所示 物体的三视图物体的三视图ABCDEF主 应运用直线上的点和应运用直线上的点和两直线平行的投影特性来两直线平行的投影特性来作图作图abcdefabdcefabcdefABCDEF主*2 两直线相交两直线相交两直线相交的投影特征是：两直线相交的投影特征是：其同面投影必定相交其同面投影必定相交, ,且且交点的连线垂直

21、于相应的投影轴。交点的连线垂直于相应的投影轴。 VckbCDdaOXHABcdabKaOXbcdbadckkdOXabdcabc(1)(1) 画出第三面投影，按两直线相交的投影特征进行判定。画出第三面投影，按两直线相交的投影特征进行判定。 (2) (2) 使用定比分割原理。使用定比分割原理。 (不相交）不相交）k0kkc0k0=ckdk0=dkc0【例【例1010】已知直线】已知直线ABAB和和CDCD的两面投影，试判定两直线是否的两面投影，试判定两直线是否相交。相交。3 两直线交叉两直线交叉 投影特征：投影特征：其同面投影不会同时平行，也可能相交，其同面投影不会同时平行，也可能相交，但交点的

22、连线不垂直于相应的投影轴。但交点的连线不垂直于相应的投影轴。3(4)43dc1ba21(2)cdabOXABCDcdabH判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性XOBDACbb aa c cdd 判断重影点的可判断重影点的可见性时，需要看重影见性时，需要看重影点在另一投影面上的点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影，坐标值大的点投影可见，反之不可投影可见，反之不可见，不可见点的投影见，不可见点的投影加括号表示。加括号表示。(3 )4 1(2)43341 2 12【例【例1111】 判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性bbcddcXaa3(4)34121(2)【例【例12

23、12】不用第三面投影试判定直线】不用第三面投影试判定直线ABAB和和CDCD是平行还是交是平行还是交叉。叉。OXababdccd交叉3-6 3-6 直角的投影直角的投影定理一定理一垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理二定理二 相交两直线在一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。定理三定理三相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理四定理四两直线在一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。一、垂直相交的两直线的投影

24、一、垂直相交的两直线的投影二、交叉垂直的两直线的投影二、交叉垂直的两直线的投影AHBCacbcOXba cba 直角投影规律：直角投影规律： 空间两直线互相垂直，当其中一条直线为投影面的空间两直线互相垂直，当其中一条直线为投影面的平行线时，则在该直线所平行的投影面内，两直线的投平行线时，则在该直线所平行的投影面内，两直线的投影反映直角关系。影反映直角关系。一、一边平行于投影面的直角投影一、一边平行于投影面的直角投影 若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。上的投影仍为直角。设设 直角边直角边BC/HBC/H面面因因 BCAB, BCAB

25、, 同时同时BCBbBCBb所以所以BCABbaBCABba平面平面直线在直线在H H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直即即abcabc为直角为直角因此因此bcabbcab故故bcABbabcABba平面平面又因又因BCbcBCbcA AB BC Ca ab bc cH Ha a c c b b a ab bc c. .证明：证明：二、两直线交叉垂直二、两直线交叉垂直OXbabamnnmBHACcbaMNnm【例【例1313】试判定两直线是（】试判定两直线是（1 1）相交（）相交（2 2）垂直相交（）垂直相交（3 3）交叉交叉abcdabcdOX相交相交【例【例1414】试判定两直线是（】试

26、判定两直线是（1 1）相交）相交 （2 2）垂直相交）垂直相交 （3 3）交叉（）交叉（4 4）交叉垂直）交叉垂直 。abcdacdOX交叉bf【例【例1515】过点】过点E E作线段作线段ABAB、CDCD的公垂线的公垂线EFEF。fOcbaabXcddee【例【例1616】求点】求点K K到直线到直线ABAB的距离的距离 。kkababll垂线KL的实长ZKLZKL【例【例1717】已知直角三角形】已知直角三角形ABCABC，其一直角边，其一直角边BCBC在在EFEF线上，线上，长长30mm30mm，试完成三角形，试完成三角形ABCABC的投影。的投影。efefaabbcc量取bc=30m

27、m【例【例1818】已知正方形】已知正方形ABCDABCD的对角线位于侧平线的对角线位于侧平线EFEF上，试完上，试完成该正方形的正面、侧面投影。成该正方形的正面、侧面投影。afeefabcdbdcoo=XAOXAO半对角线长【例【例1919】求两直线】求两直线ABAB、CDCD之间的距离。之间的距离。aabbcdc(d)nmm两交叉线间距离两交叉线间距离(n)3 37 7 平面的投影平面的投影1 1 平面的表示法平面的表示法axobabcccbacabox（1 1）用投影来表示平面图形）用投影来表示平面图形不在同一不在同一直线上的直线上的三点三点boxaabcc两平行两平行直线直线一直线和一

28、直线和线外一点线外一点abcabcoxcababcox两相交直线两相交直线任意的平任意的平面图形面图形2、平面的迹线表示法、平面的迹线表示法VHPPVPHPVPHVHQVQHQHQVQ 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面

29、正垂面 侧垂面侧垂面铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面规定：规定：与与H H、 V V 、W W面的夹角分别为面的夹角分别为 、 、 ， 、 、 均为均为 90900 0，任两者之和等于，任两者之和等于90900 0 。ababbacccVWHPPH（1）铅垂面）铅垂面 ABCacbP PH HVWHQQV （2）正垂面）正垂面 ababbacccAcCabBVWHSWS （3）侧垂面）侧垂面 CabABcabbbaaccc投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性ababbacccababbacccabbbaaccc投影面垂直面的投影面垂直面的投影特征投影特征为：为：a

30、 a 平面在与其平面在与其所垂直的投影面上的投影积聚为一直线所垂直的投影面上的投影积聚为一直线，该直线与两投影轴的夹角分别反映该平面与相应投影面该直线与两投影轴的夹角分别反映该平面与相应投影面的真实夹角。的真实夹角。b b 平面的另两个投影均为小于实形的类似形。平面的另两个投影均为小于实形的类似形。YHZOXYWVHWXQY空间形体上的正垂面空间形体上的正垂面投影面垂直面的迹线表示投影面垂直面的迹线表示oxoxozPHSVQWVWH（4）水平面）水平面 CABabcbacabccabbbaacc（5）正平面）正平面VWH cabbacbcabacabcbcaCBA （6）侧平面）侧平面VWHa

31、bbbacccabcbacabcCABaQQVHWXYQOXZYHYWQ空间形体上的各空间形体上的各投影面平行面投影面平行面投影面平行面的迹线表示投影面平行面的迹线表示oxoxPHSVQW投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性cabbbaacccabbacbcaabbbaccca投影面平行面的投影面平行面的投影特征投影特征为：为：a a 平面在所平行的的投影面上的投平面在所平行的的投影面上的投影反映该平面的实形。影反映该平面的实形。b b 平面的另两个投影均积聚成一直平面的另两个投影均积聚成一直线，且分别平行于相应的投影轴。线，且分别平行于相应的投影轴。思考：思考：投影面的平行面与投影面

32、投影面的平行面与投影面的垂直面有何区别？的垂直面有何区别？（7）一般位置平面）一般位置平面 abcbacababbaccbacCAB一般位置平面的投影特征为：一般位置平面的投影特征为：a a 三个投影均不反映该平面的真实大小。三个投影均不反映该平面的真实大小。b b 三个投影均没有积聚性。三个投影均没有积聚性。c c 三个投影均为小于实形的类似形。三个投影均为小于实形的类似形。acbbaccabOXZYHYWacbacbbcaVHWXABCYQ1Q2P1P2RSaabbccc ca ab bX Xc cb ba aB BC Ck kA A一、一、 点在平面上的条件：点在平面上的条件：必须经过平

33、面上的必须经过平面上的任意一条直线。（取点先取线）任意一条直线。（取点先取线） 例：已知三例：已知三角角ABCABC上上K K点的点的水平投影水平投影, ,试试求其正面投影。求其正面投影。K KE EF Fe ef fk ke ef fkkffee38 平面上的点和直线平面上的点和直线（1 1）过平面上的两个已知点；）过平面上的两个已知点； （取线先取点）（取线先取点）ASLNMBK （2 2）过平面上的一个已知点，且平行于该平面上任）过平面上的一个已知点，且平行于该平面上任一已知直线。一已知直线。D二、直线在平面上的条件二、直线在平面上的条件BAbacCH【例【例2020】已知三角形】已知三

34、角形ABC ABC 的两面投影及该平面上的直线的两面投影及该平面上的直线MNMN的正面投影的正面投影, ,求作求作MNMN的水平投影。的水平投影。 MNEFefmnnmabcOXbcamn试在三角形试在三角形ABCABC上任上任作一作一条直线条直线e f nabcOXbcafemn122mn1BAbacCHMNEFefmn【例【例2121】已知】已知 ABCABC给定一平面，试判断点给定一平面，试判断点D D是否属于该平是否属于该平面。面。ddabcabcee三、属于特殊位置平面的点和直线三、属于特殊位置平面的点和直线1 1、取属于投影面垂直面的点和直线、取属于投影面垂直面的点和直线2 2、过

35、一般位置直线总可作投影面的垂直面、过一般位置直线总可作投影面的垂直面（1 1）几何元素表示法）几何元素表示法（2 2）迹线表示法）迹线表示法3 3、过特殊位置直线作平面、过特殊位置直线作平面（1 1）过正垂线作平面）过正垂线作平面（2 2）过特殊位置直线作平面）过特殊位置直线作平面bb取属于投影面垂直面的点和直线取属于投影面垂直面的点和直线aaeffeP PH HP PV VabbaSbaabAB过一般位置直线总可作投影面的垂直面过一般位置直线总可作投影面的垂直面过一般位置直线过一般位置直线ABAB作作铅垂面铅垂面P PH H过一般位置直线过一般位置直线ABAB作正作正垂面垂面S SV VPP

36、HSVABVHVH过一般位置直线作投影面的垂直面过一般位置直线作投影面的垂直面mn(n)(m)e e f f e e f f e ef fe ef f过一般位置直线作投影面的垂直面过一般位置直线作投影面的垂直面(迹线表示法迹线表示法)baSVQWPHa a b b a ab bm m (n(n ) )m mn n过正垂线作平面过正垂线作平面 (迹线表示法迹线表示法)P PV VS SV VQ QV VR RV V（a a ）给题）给题（c c）作侧平面）作侧平面（ b b）作水平面）作水平面（d d）作正垂面）作正垂面（有无穷多个（有无穷多个）m m (n(n ) )m mn nm m (n(

37、n ) )m mn nm m (n(n ) )m mn n过正平线作平面过正平线作平面PHSHgg（a a ）给题给题（c c）作正垂面作正垂面（ b b）作正平面作正平面（d d）作一般位置平面作一般位置平面（有无穷多个）（有无穷多个）e e f f e ef fe e f f e ef fe e f f e ef fe e f f e ef f四、属于平面的投影面平行线四、属于平面的投影面平行线属于平面的水平线和正平线属于平面的水平线和正平线 平面上投影面平行线既在平面上又平行平面上投影面平行线既在平面上又平行于投影面的直线于投影面的直线 在一个平面上对在一个平面上对H H、V V、W W投影面分别有三组投影面分别有三组投影面平行线。平面上的投影面平行线既具有投影面平行线。平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面保持投影面平行线的投影性质，又与所属平面保持从属关系从属关系P属于平面的水平线和正平线属于平面的水平线和正平线PVPHV VH H【例【例2222】 知知 ABCABC给定一平面，试过点给定一平面，试过点C C作属于该平面的作属于该平面的正平线，过点正平线，过点A A作属于该平面的水平线。作属于该平面的水平线。mnnma b