兰州大学姜孟瑞电动力学21标势及其方程

1、本章研究的主要问题：本章研究的主要问题：本章内容：本章内容：电磁场的基本理论应用到最简单的情况：电磁场的基本理论应用到最简单的情况：电荷静止，相应的电场不随时间而变化的电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。情况。在给定的自由电荷分布以及周围空间介质在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场。和导体分布的情况下，求解静电场。第二章第二章 静电场静电场1. 引入标势及其微分方程和边值关系引入标势及其微分方程和边值关系2. 唯一性定理唯一性定理3. 分离变量法分离变量法4. 镜像法镜像法5. 格林函数法格林函数法6. 电多级矩电多级矩本章具体内容：本章具体内容：t bet

2、dhj d0 bde00bjhde02.1 静电场的标势及其微分方程静电场的标势及其微分方程若场与时间无关若场与时间无关所以静电场的理论基础就是：所以静电场的理论基础就是：)(ed静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无旋静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无旋性，电场强度性，电场强度e可以用一个标量场的梯度来表示，可以用一个标量场的梯度来表示，和力学中用势函数描述保守力场的方法一样。和力学中用势函数描述保守力场的方法一样。一、静电场的标势一、静电场的标势1. 电势差和电势电势差和电势0e12ccddlele所以，静电场对电荷作功与路径无关。所以，静电场对电荷作功与路径无关。设设c1和和c2

3、为连接为连接p1和和p2点的两条不同路径，则点的两条不同路径，则0d le将单位正电荷由将单位正电荷由p1点移到点移到p2点，电场对它所作的点，电场对它所作的功为：功为：21ppdle这功就定义为这功就定义为p1和和p2两点之间的电势差。即两点之间的电势差。即21pp21d)()(lepp0)(2p如果如果，则，则零121ppp1dd)(lelep)(1p和和)(2p分别为分别为p1点和点和p2点的电势。点的电势。所以任意一点所以任意一点p的电势为的电势为零pd)(lep注意：注意：(1) 由定义，只有两点的电势差才有物理意义，由定义，只有两点的电势差才有物理意义，某点上的电势的绝对数值是没有

4、物理意义的。某点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。(2) 某点电势的具体数值与零势点的选择有关，某点电势的具体数值与零势点的选择有关，所以必须指明零势点的位置。所以必须指明零势点的位置。(3) 零势零势点的选择是任意的，在电荷分布于有限点的选择是任意的，在电荷分布于有限区域的情况下，可以选无穷远的电势为区域的情况下，可以选无穷远的电势为零。零。(4) 一个具体问题中只能选一个一个具体问题中只能选一个零势零势点。点。2. 电势与电场强度的关系电势与电场强度的关系(1) 任意一点任意一点p的电势的电势零pd)(lep给出了电势给出了电势与电场强度的积分关系，例如：真空中点电荷与电场强度的积分关系

5、，例如：真空中点电荷激发的电场强度为激发的电场强度为304qrre所以，若取无限远处电势为零。则任意一点的所以，若取无限远处电势为零。则任意一点的电势为：电势为：rqrrqpr020p4d4d)(零le同样，点电荷组产生的电势为：同样，点电荷组产生的电势为：iiirqp04)(连续分布的电荷系统：连续分布的电荷系统：vrd4)()(0 xxe所以所以 由以上讨论可知，若空间中所有电荷分布都由以上讨论可知，若空间中所有电荷分布都给定，则电场强度和电势均可求出。但实际情况给定，则电场强度和电势均可求出。但实际情况往往并不是所有电荷都能预先给定，因此，必须往往并不是所有电荷都能预先给定，因此，必须电

6、荷与电场相互作用的微分方程。电荷与电场相互作用的微分方程。(2) 电势与电场强度的微分关系电势与电场强度的微分关系21pp21d)()(lepp由由可得：可得：lexlxd)()d(dl dddddzzyyxx而而二、静电势的微分方程和边值关系二、静电势的微分方程和边值关系这就是泊松方程。这就是泊松方程。其中其中为自由电荷密度。为自由电荷密度。1. 泊松（泊松（poisson)方程方程在简单介质中有：在简单介质中有：，ed将上式代入将上式代入 d得：得：2泊松方程是静电势满足的基本微分方程。给出泊松方程是静电势满足的基本微分方程。给出边界条件就可以确定电势边界条件就可以确定电势的解。在数学上的

7、解。在数学上这称为边值问题。这称为边值问题。2. 边值关系边值关系将电场的边值关系将电场的边值关系在两介质界面上，电势在两介质界面上，电势必须满足边值关系。必须满足边值关系。)(0)(1212ddneen化为用电势表示的边值关系。化为用电势表示的边值关系。如图把电荷沿法线方向移动如图把电荷沿法线方向移动时，切线分量不做功。沿法线方向做功为零。时，切线分量不做功。沿法线方向做功为零。21该式与该式与0)(12een等价。等价。)(12ddn将将ed代入另一边值关系代入另一边值关系得：得：)(1122n即：即：nn1122nn221121n从从1指向指向2! 导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面

8、上；导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；导体有它的特殊性，在导体表面上的边值关系有导体有它的特殊性，在导体表面上的边值关系有它特点：它特点：设导体表面所带电荷面密度为设导体表面所带电荷面密度为，设它外面的介质，设它外面的介质电容率为电容率为，导体表面的边界条件为，导体表面的边界条件为2. 导体表面上的边值关系导体表面上的边值关系 导体内部电场为零；导体内部电场为零； 导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面，整个导体的电势相等。为等势面，整个导体的电势相等。n常量常量场的总能量可以用电荷和电势表示，在线性介场的总能量可以用电荷和电势表示，在

9、线性介质中静电场的总能量为：质中静电场的总能量为：三、静电场的能量三、静电场的能量所以所以vwd21dee d由由和和得得dddde)()( dvvwd )(21d21d式中右边第二项是散度的体积分，它可以化为面式中右边第二项是散度的体积分，它可以化为面积分：积分：所以所以0dd)(sddvvvvwd21d21积分区域积分区域v为为0的区域。的区域。注意：注意：(1) 上式只能用于计算静电场的总能量。上式只能用于计算静电场的总能量。(2)不是能量密度。不是能量密度。21解：解：例例1 求均匀电场求均匀电场e0的电势。的电势。均匀电场每一点强度均匀电场每一点强度e0相同，其电场线为平行相同，其电

10、场线为平行直线。选空间任一点为原点，并设该点上的电直线。选空间任一点为原点，并设该点上的电势为势为0，那么任一点，那么任一点p处的电势为处的电势为ppp000000dd)(lelexe00其中其中x为为p点的位矢。注意均匀电场可以看作由点的位矢。注意均匀电场可以看作由无穷大平行板电容器产生，其电荷分布不在有无穷大平行板电容器产生，其电荷分布不在有限区域内，因此不能选无穷远电势为零。限区域内，因此不能选无穷远电势为零。若选若选?0=0，则有，则有xe0例例2解：解：均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为，求，求电势。电势。如图，设场点如图，设场点p到导线的垂到导

11、线的垂直距离为直距离为r，电荷元，电荷元dz, 到到p点的距离为点的距离为22rz积分结果无穷大，无穷大的出现是由于电荷不是分积分结果无穷大，无穷大的出现是由于电荷不是分布于有限区域内。布于有限区域内。则则2204d)(rzzp)ln(4)(220rzzp计算两点计算两点p和和p0的电势差可以不出现无穷大。设的电势差可以不出现无穷大。设p0点与导线的垂直距离为点与导线的垂直距离为r0，则，则p点和点和p0点的电势差点的电势差为为mmmrzzrzzpp2022200ln4lim)()(mmmrzzrzzpp2022200ln4lim)()(22220220220/11/11/11/11ln4limmrmrmrmrm002200ln2ln4rrrr则则若选若选p0点为参考点，规定点为参考点，规定 ，0)(0r)(0p00ln2)(rrr00ln2)(rrr取取的负梯度得：的负梯度得：rrer020zee所以所以re202r例例3 求带电量求带电量q、半径为、半径为a的导体球的静电场总能量。的导体球的静电场总能量。整个导体为等势体整个导体为等势体, 导体球的电荷分布于球面上，导体球的电荷分布于球面上，由书中（由书中（1.14）式最方便。球面上的电势