2021年高考数学二轮复习大题专项练五解析几何文数含答案

1、2021年高考数学二轮复习大题专项练五解析几何文数a组1.已知m为圆c:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,点q的坐标为(-2,3).(1)若p(a,a+1)在圆c上,求线段pq的长及直线pq的斜率;(2)求|mq|的最大值和最小值;(3)设m(m,n),求的最大值和最小值.2.已知椭圆c的左右顶点分别为a,b,a点坐标为(-2,0),p为椭圆c上不同于a,b的任意一点,且满足kap·kbp=-.(1)求椭圆c的方程;(2)设f为椭圆c的右焦点,直线pf与椭圆c的另一交点为q,pq的中点为m,若|om|=|qm|,求直线pf的斜率k.3.已知抛物线c顶点为原点,其焦点f(0

2、,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设p为直线l上的点,过点p作抛物线c的两条切线pa,pb,其中a,b为切点.(1)求抛物线c的方程;(2)当点p(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线ab的方程;(3)当点p在直线l上移动时,求|af|·|bf|的最小值.4.已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为,椭圆c与y轴交于a,b两点,且|ab|=2.(1)求椭圆c的方程;(2)设点p是椭圆c上的一个动点,且点p在y轴的右侧.直线pa,pb与直线x=4分别交于m,n两点.若以mn为直径的圆与x轴交于两点e,f,求点p横坐标的取值范围及|e

3、f|的最大值.b组1.已知椭圆c1:x2a2+y2=1(a>1)的离心率e=,左、右焦点分别为f1,f2,直线l1过点f1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点p,线段pf2的垂直平分线交l2于点m.(1)求点m的轨迹c2的方程;(2)当直线ab与椭圆c1相切,交c2于点a,b,当aob=90°时,求ab的直线方程.2.已知动圆c与圆e:x2+(y-1)2=14外切,并与直线y=-12相切.(1)求动圆圆心c的轨迹;(2)若从点p(m,-4)作曲线的两条切线,切点分别为a,b,求证:直线ab恒过定点.a组参考答案1.解:(1)由点p(a,a+1)在圆c上,可得a2+(a+1

4、)2-4a-14(a+1)+45=0,所以a=4,即p(4,5).所以|pq|=(4+2)2+(5-3)2=2,kpq=.(2)由x2+y2-4x-14y+45=0可得(x-2)2+(y-7)2=8,所以圆心c的坐标为(2,7),半径r=22.可得|qc|=(2+2)2+(7-3)2=4,因此|mq|max=|qc|+r=42+2=62,|mq|min=|qc|-r=42-2=22.(3)分析可知,n-3m+2表示直线mq的斜率.设直线mq的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,则n-3m+3=k.由直线mq与圆c有交点,所以|2k-7+2k+3|k2+122,可得2-3k2+

5、3,所以n-3m+2的最大值为2+3,最小值为2-3.2.解:(1)设p(x,y)(x±2),所以kap·kbp=-12,所以·=-12,整理得+y2=1(x±2),但a,b两点在椭圆上,所以椭圆c的方程为+y2=1.(2)由题可知,斜率一定存在且k0,设过焦点f的直线方程为x=my+1,p(x1,y1),q(x2,y2),m(x0,y0),联立x22+y2=1,x=my+1,则(m2+2)y2+2my-1=0,所以所以x0=2m2+2,y0=-mm2+2,所以|om|=,而|qm|=12|pq|=12·(1+m)24m2(m2+2)2+4(m

6、2+2)(m2+2)2=12·(m2+1)(8m2+8)(m2+2)2=2·m2+1m2+2,因为|om|=|qm|,所以=2·m2+1m2+2,所以m2=12,所以k2=2,所以k=±2.因此,直线pf的斜率为±2.3.解:(1)因为抛物线c的焦点f(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为322,所以=322,得c=1,所以f(0,1),即抛物线c的方程为x2=4y.(2)设切点a(x1,y1),b(x2,y2),由x2=4y得y=12x,所以切线pa:y-y1=12x1(x-x1),有y=12x1x-12x12+y1,而x

7、12=4y1,即切线pa:y=12x1x-y1,同理可得切线pb:y=12x2x-y2.因为两切线均过定点p(x0,y0),所以y0=12x1x0-y1,y0=12x2x0-y2,由此两式知点a,b均在直线y0=12xx0-y上,所以直线ab的方程为y0=12xx0-y,即y=12x0x-y0.(3)设点p的坐标为(x,y),由x-y-2=0,得x=y+2,则|af|·|bf|=x12+(y1-1)2·x22+(y2-1)2=·=·=(y1+1)·(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由得y2+(2y-x2)y+y2=0,有y1+y2=x

8、2-2y,y1y2=y2,所以|af|·|bf|=y2+x2-2y+1=y2+(y+2)2-2y+1=2(y+12)2+92,当y=-12,x=32时,即p(32,-12)时,|af|·|bf|取得最小值92.4.解:(1)由题意可得,2b=2,即b=1,e=ca=,得a2-1a2=34,解得a2=4,椭圆c的标准方程为+y2=1.(2)法一设p(x0,y0)(0<x02),a(0,-1),b(0,1),所以kpa=y0+1x0,直线pa的方程为y=y0+1x0x-1,同理,直线pb的方程为y=y0-1x0x+1,直线pa与直线x=4的交点为m(4,-1),直线pb与

9、直线x=4的交点为n(4,+1),线段mn的中点为(4,),所以圆的方程为(x-4)2+(y-)2=(1-)2,令y=0,则(x-4)2+16y02x02=(1-)2,因为+y02=1,所以y02-1x02=-14,所以(x-4)2+-5=0,设交点坐标(x1,0),(x2,0),可得x1=4+5-8x0,x2=4-5-8x0,因为这个圆与x轴相交,该方程有两个不同的实数解,所以5->0,解得x0(85,2.则|x1-x2|=25-8x0(85<x02),所以当x0=2时,该圆被x轴截得的弦长最大值为2.法二设p(x0,y0)(0<x02),a(0,-1),b(0,1),所以

10、kpa=,直线pa的方程为y=y0+1x0x-1,同理,直线pb的方程为y=y0-1x0x+1,直线pa与直线x=4的交点为m(4,-1),直线pb与直线x=4的交点为n(4,+1),若以mn为直径的圆与x轴相交,则-1×+1<0,即16(y02-1)x02-+-1<0,即16(y02-1)x02+-1<0.因为+y02=1,所以y02-1x02=-14,代入得到5->0,解得x0(85,2.该圆的直径为-1-+1=2-,圆心到x轴的距离为12-1+1=,该圆在x轴上截得的弦长为2(1-4x0) 2-(4y0x0) 2=25-8x0(85&

11、lt;x02),所以该圆被x轴截得的弦长最大值为2.b组参考答案1.解:(1)由e2=c2a2=a2-1a2=12,得a=2,c=1,故f1(-1,0),f2(1,0),依条件可知|mp|=|mf2|,所以m的轨迹是以l1为准线,f2为焦点的抛物线,所以c2的方程为y2=4x.(2)显然当ab斜率不存在时,不符合条件.当ab斜率存在时,设ab:y=kx+m,由y=kx+m,x22+y2=1消y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,因为ab与c1相切,所以=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,得m2=2k2+1>1,又由消y得k2x2+(2km-4)x+m2=0,设

12、a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=4-2kmk2,x1x2=m2k2,且有得k0,km<1,因为oaob,所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(mk)2+4·mk=0,得m=-4k,联立,得k=±,故直线ab的方程为y=±(x-4).2.(1)解:由题意知,圆e的圆心e(0,1),半径为12.设动圆圆心c(x,y),半径为r.因为圆c与直线y=-12相切,所以d=r,即y+12=r.因为圆c与圆e外切,所以|ce|=12+r,即x2+(y-1)2=12+r.联立,消去r,可得x2=4y.所以c

13、点的轨迹是以e(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线.(2)证明:由已知直线ab的斜率一定存在.不妨设直线ab的方程为y=kx+b.联立x2=4y,y=kx+b,整理得x2-4kx-4b=0,其中=16(k2+b)>0,设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4b.由抛物线的方程可得y=14x2,所以y=12x.所以过a(x1,y1)的抛物线的切线方程为y-y1=12x1(x-x1),又y1=14x12,代入整理得y=12x1x-14x12.因为切线过p(m,-4),代入整理得x12-2mx1-16=0,同理可得x22-2mx2-16=0.所以x1,x2为

14、方程x2-2mx-16=0的两个根,所以x1+x2=2m,x1x2=-16.由可得x1x2=-4b=-16,x1+x2=4k=2m.所以b=4,k=,ab的方程为y=x+4.当x=0时,y=4,所以直线ab恒过定点(0,4).3.解:(1)依题意f(,0),当直线ab的斜率不存在时,y1y2=-p2=-4,p=2,当直线ab的斜率存在时,设ab:y=k(x-),由y2=2px,y=k(x-p2),化简得y2-y-p2=0,由y1y2=-4得p2=4,p=2,所以抛物线方程y2=4x.(2)设d(x0,y0),b(,t),则e(-1,t),又由y1y2=-4,可得a(,-),因为kef=-,ad

15、ef,所以kad=,故直线ad:y+=(x-),即2x-ty-4-=0,由y2=4x,2x-ty-4-8t2=0,化简得y2-2ty-8-16t2=0,所以y1+y0=2t,y1y0=-8-16t2.所以|ad|=1+t24|y1-y0|=1+t24(y1+y0)2-4y1y0=,设点b到直线ad的距离为d,则d=,所以sabd=12|ad|·d=14(t2+16t2+8) 316,当且仅当t4=16,即t=±2时取等号,当t=2时,ad:x-y-3=0,当t=-2时,ad:x+y-3=0.4.解:(1)因为椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为,点m(2,1)在椭圆 c上.所以解得a=22,b=2,c=6,所以椭圆c的方程为+=1.(2)由直线l平行于om,得直线l的斜率k=kom=12,又l在y轴上的截距为m,所以l的方程为y=12x+m.由得x2+2mx+2m2-4=0.又直线l与椭圆交于a,b两