梁的弯曲变形与刚度计算PPT学习教案

1、会计学1梁的弯曲变形与刚度计算梁的弯曲变形与刚度计算 弯曲构件除了要满足强度条件外弯曲构件除了要满足强度条件外, 还需满足刚度条件。如车床主轴的过大弯曲引起加工零件的误差。还需满足刚度条件。如车床主轴的过大弯曲引起加工零件的误差。9.1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题第1页/共61页9.1 工程实际中的弯曲变形问题工程实际中的弯曲变形问题第2页/共61页9.1 工程实际中的弯曲变形问题工程实际中的弯曲变形问题第3页/共61页第4页/共61页度量梁变形后横截面位移的两个基本量度量梁变形后横截面位移的两个基本量:挠度和转角挠度和转角 挠度挠度(w): 横截面形心横截面形心(即轴线上的点即

2、轴线上的点)在垂直于在垂直于x轴方向的线位移轴方向的线位移, 称为该截面的称为该截面的挠度挠度(Deflection) 。yxABCw(挠度挠度)C1 转角转角( ): 横截面绕中性轴横截面绕中性轴(即即Z轴轴)转过的角度（或角位移）转过的角度（或角位移）, 称为该截面的称为该截面的转角转角(Slope rotation angle) 。 (转角转角) 取梁的左端点为坐标原点取梁的左端点为坐标原点, 梁变形前的轴线为梁变形前的轴线为x轴轴, 横截面的铅垂对称轴为横截面的铅垂对称轴为y轴轴, xy平面为纵向对称平面。平面为纵向对称平面。F第5页/共61页挠度：在图示坐标系中挠度：在图示坐标系中,

3、 向上为正向上为正, 向下为负向下为负。转角：转角： 逆时针转向为正逆时针转向为正,顺时针转向为负。顺时针转向为负。yxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)F第6页/共61页必须注意必须注意: 梁轴线弯曲成曲线后梁轴线弯曲成曲线后, 在在x轴方轴方向也有线位移。向也有线位移。yxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)F但在但在小变形情况小变形情况下下, 梁的挠度远小于跨长梁的挠度远小于跨长, 横截面形心沿横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度相比属轴方向的线位移与挠度相比属于高阶微量于高阶微量, 可略去不计可略去不计。第7页/共61页挠曲线方程挠曲线方程:式中式中, x为梁变形前轴线上任一点的横

4、坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标, w为为该点的挠度。该点的挠度。( )wf xyxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)挠曲线挠曲线F第8页/共61页tan( )wfxyxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)F第9页/共61页1MkEI1( )( ) ( )M xk xxEI横力弯曲时横力弯曲时, M和和 都是都是x的函数的函数。略去剪力对梁略去剪力对梁的位移的影响的位移的影响, 则则纯弯曲时纯弯曲时曲率曲率与弯矩的关系为与弯矩的关系为由几何关系知由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作平面曲线的曲率可写作3221( )( )(1)wM xxEIw 第10页/共61页曲线向上凸曲线向上凸 时

5、：时： w0, M0因此因此, M与与w的正负号相同。的正负号相同。MMM0w0MM曲线向下凸曲线向下凸 时：时： w0, M0322( ) (1)wM xEIwOxy322( )(1)wM xEIw第11页/共61页由于挠曲线是一条非常平坦的曲线由于挠曲线是一条非常平坦的曲线, w2远比远比1小小, 可以略去不计可以略去不计, 于是上式可写成于是上式可写成( ) M xwEI 322( ) (1)wM xEIw此式称为此式称为 梁的挠曲线近似微分方程。梁的挠曲线近似微分方程。(Approximately differential equation of the deflection curv

6、e)称为称为近似近似的原因的原因: (1) 略去了剪力的影响略去了剪力的影响; (2)略略去了去了w2项。项。第12页/共61页再积分一次再积分一次, 得得挠度方程挠度方程上式积分一次得上式积分一次得转角方程转角方程若为等截面直梁若为等截面直梁, 其抗弯刚度其抗弯刚度EI为一常量为一常量, 上式可改写成上式可改写成( )EIwM x 1( )dEIwM xxC 12( )ddEIwM xxxC xC 式中：积分常数式中：积分常数C1、C2可通过梁挠曲线的可通过梁挠曲线的边界边界条件条件和变形的和变形的连续性条件连续性条件来确定。来确定。9.3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形第13页/共61页

7、简支梁简支梁悬臂梁悬臂梁边界条件边界条件(boundary condition)ABwA0wB0ABwA0 A0ABAB 连续性条件连续性条件(Continuity condition)在挠曲线的任一点上在挠曲线的任一点上, 有唯一的挠度和转角。有唯一的挠度和转角。如如:不可能不可能CCww CC c第14页/共61页例例1：图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁的悬臂梁, 在自由端在自由端受一集中力受一集中力F作用。试求梁的挠曲线方程和转角作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程方程, 并确定其最大挠度并确定其最大挠度wmax和最大转角和最大转角 max 。ABlxxy解：解：以梁左端以梁左

8、端A为原为原点点, 取直角坐标系取直角坐标系, 令令x轴向右轴向右, y轴向上为正轴向上为正。 (1) 列弯矩方程列弯矩方程( )()M xF lxFlFx F(2) 列挠曲线近似微分方程并积分列挠曲线近似微分方程并积分 ( )EIwM xFlFx 第15页/共61页21(a)2FxEIwFlxC 2312(b)26FlxFxEIwC xC (3) 确定积分常数确定积分常数 代入式代入式(a)和和(b), 得：得： C10, C20ABlxxyF在在x0处处, w0 在在x0处处, 0 ( )EIwM xFlFx 第16页/共61页ABlxxyF22FlxFxwEIEI 2326FlxFxwE

9、IEI (4) 建立转角方程和挠度方程建立转角方程和挠度方程 将求得的积分常数将求得的积分常数C1和和C2代入式代入式(a)和和(b), 得梁得梁的转角方程和挠度方程分别为：的转角方程和挠度方程分别为： (5) 求最大转角和最大挠度求最大转角和最大挠度 自由端自由端B处的转角和挠度绝对值最大。处的转角和挠度绝对值最大。 wmax max2max2x lFlEI 3max3x lFlwwEI 所得的挠度为负值所得的挠度为负值, 说明说明B点向下移动点向下移动; 转角为转角为负值负值, 说明横截面说明横截面B沿顺时针转向转动。沿顺时针转向转动。 第17页/共61页xlABqFAFB例例2: 2:

10、图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为EI的简支梁的简支梁, 在全梁上在全梁上受集度为受集度为q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程方程和转角方程, 并确定其最大挠度并确定其最大挠度 wmax和最和最大转角大转角 max 。xy解解: : 由对称性可知由对称性可知, 梁的两个支反力为梁的两个支反力为2ABqlFF梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为221( )() (a)222qlqM xxqxlxx2( )()(b)2qEIwM xlxx 第18页/共61页2( )()(b)2qEIwM xlxx 231()(c)223q

11、lxxEIwC 3412()(d)2612q lxxEIwC xC积分两次积分两次xlABqFAFBxy第19页/共61页231()223q lxxEIwC 3412()2612q lxxEIwC xC简支梁的边界条件是简支梁的边界条件是在在x0处处, w0 在在xl处处, w0 代入代入(c)、(d)式确定出式确定出积分常数积分常数20C 3124qlC 323(64)24qwllxxEI 323(2)24qxwllxxEI xlABqFAFBxy第20页/共61页323(64)24qwllxxEI 323(2)24qxwllxxEI ABqxy A Bwmaxl/23max24ABqlEI

12、 由对称性可知由对称性可知, 在在两端支座两端支座x0和和xl处处, 转角的绝对转角的绝对值相等且都是最大值相等且都是最大值值4max25|384lxqlwwEI 在在梁跨中点梁跨中点l/2处处有有最大最大挠度值挠度值第21页/共61页例例3：图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为EI的简支梁的简支梁, 在在D点处点处受一集中力受一集中力F的作用。试求此梁的挠曲线方程和的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程转角方程, 并求其最大挠度和最大转角。并求其最大挠度和最大转角。xlABFabFAFBD解解: : 求出梁的支反力为求出梁的支反力为AFbFlBFaFl将梁分为将梁分为I和和II两段两段, 其弯矩

13、方程分别为其弯矩方程分别为1(0)AbMF xFxxal2()()bMFxF xaaxllIII第22页/共61页梁段梁段I ( 0 x a)梁段梁段II ( a x l)11bEIwMFxl两段梁的挠曲线方程分别为两段梁的挠曲线方程分别为22()bEIwMFxF xal2112b xEIwFCl31116b xEIwFC xDl2222()22b xF xaEIwFCl33222()66b xF x aEIwFC xDl积分一次积分一次得转角方得转角方程程再积分一再积分一次得挠曲次得挠曲线方程线方程挠曲线方程挠曲线方程注意：在对梁段注意：在对梁段II进行积分运算时进行积分运算时, 对含有对含

14、有(x-a)的弯矩项不要展开的弯矩项不要展开, 而以而以(x-a)作为自变量进行积分作为自变量进行积分, 这样可使下面确定积分常数的工作得到简化。这样可使下面确定积分常数的工作得到简化。第23页/共61页D点的连续条件：点的连续条件：在在x = a处处, 1 2, w1w2边界条件边界条件:在在x = 0处处, w10在在x = l处处, w20代入方程可解得代入方程可解得:021DD2212()6FbCClblxlABFabFAFBDIII第24页/共61页梁段梁段I ( 0 x a)梁段梁段II ( a x l)将积分常数代入得将积分常数代入得222111 ()23FbwlbxlEI 22

15、216FbxwlbxlEI 转角方程转角方程挠曲线方程挠曲线方程2222221 ()()23FblwxaxlblEI b 33222 ()() 6FblwxaxlbxlEI b 第25页/共61页将将x = 0和和x = l分别代入转角方程左右两支座分别代入转角方程左右两支座处截面的转角处截面的转角当当a b时时, 右支座处截面的转角绝对值为最右支座处截面的转角绝对值为最大大10()|6AxFab lblEI 2()|6Bx lFab lalEImax()6BFab lalEIxlABFabFAFBDIII第26页/共61页221(2 )33lba abx简支梁的最大挠度应在简支梁的最大挠度应

16、在w0 0处。研究第一段处。研究第一段梁梁, 令令w10 0得得122 3max1()9 3x xFbww |lblEI 当当a b时时, x1 a, 最大挠度确实在第一段梁中最大挠度确实在第一段梁中222111 ()023FbwlbxlEIxlABFabFAFBDIII第27页/共61页 在极端情况下在极端情况下, , 当当b b非常小非常小, , 以致以致b b2 2与与l l 2 2项相比可以略去不计时项相比可以略去不计时122 3max1()9 3x xFbww |lblEI 221(2 )33lba abx由讨论讨论1:1:上例中，梁中点挠度与最大挠度的关系？上例中，梁中点挠度与最大

17、挠度的关系？xlABFabFAFBDIII则：当则：当F F从梁中点位置向从梁中点位置向B B支座移动时，支座移动时，b b值减小时，值减小时，x x从从0.5L0.5L向向0.577L0.577L趋近（趋近（F F接近接近B B点时）；点时）； 此时最大挠度的位置离此时最大挠度的位置离梁中点最远，梁中点挠度与最大挠度应该差距较大。梁中点最远，梁中点挠度与最大挠度应该差距较大。22max0 06429 3FblFblw.EIlEI 第28页/共61页梁中点梁中点C C处的挠度为处的挠度为结论结论: : 在简支梁中在简支梁中, , 不论它受什么荷载作用不论它受什么荷载作用, , 只要挠曲线上无拐

18、点只要挠曲线上无拐点, , 其最大挠度值都可用梁其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替跨中点处的挠度值来代替, , 其精确度是能满足其精确度是能满足工程要求的。工程要求的。略去略去b b2 2项项, , 得得2212|(34)48ClxFbwwlbEI 220.062516CFblFblwEIEI 第29页/共61页223babxLaa22即但 当 b时 有 ： x即 x 不 在 段 ，即 在 DB段 无=0的 点 。讨论讨论2: BD2: BD段上有无段上有无=0=0的点？的点？2222221()()023PbLwxaxLbLEIb2当时，w 有最大值xlABFabFAFBDIII第30

19、页/共61页条件条件：由于梁的变形微小由于梁的变形微小, , 梁变形后其跨长的改变可略去不计梁变形后其跨长的改变可略去不计, , 且且梁的材料在线弹性范围内工作梁的材料在线弹性范围内工作, , 因而因而, , 梁的挠度和转角均与作用在梁上的载荷成线性关系。梁的挠度和转角均与作用在梁上的载荷成线性关系。 在这种情况下在这种情况下, 梁在几项载荷梁在几项载荷 (如集中力、集中力偶或分布力如集中力、集中力偶或分布力)同时作用下某一横截面的挠度和转角同时作用下某一横截面的挠度和转角, 就分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的叠加就分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。此即为。此即

20、为叠加原理叠加原理。第31页/共61页例例1：一抗弯刚度为一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示的简支梁受荷载如图所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度。试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC 和支座处和支座处横截面的转角横截面的转角 A , B 。BAqlMeC解：解：将梁上荷载分为两将梁上荷载分为两项简单的荷载。项简单的荷载。CCqCMwww24e538416M lqlEIEI AAqAM3e243M lqlEIEI BBqBM3e246M lqlEIEI第32页/共61页例例2:2:试利用叠加法试利用叠加法, 求图示抗弯刚度为求图示抗弯刚度为EI的简的简支梁跨中点的挠度支梁跨中点的挠度wC。Bql

21、/2ACl/2Bq/2ACBACq/2q/2解解：该梁上荷载可视为：该梁上荷载可视为正正对称载荷对称载荷与与反称对载荷反称对载荷两两种情况的叠加。种情况的叠加。(1) 正对称载荷作用下正对称载荷作用下4415(2)5384768CqlqlwEIEI 第33页/共61页(2) 反对称荷载作用下反对称荷载作用下在跨中在跨中C截面处截面处, 挠度挠度wC2等于零。等于零。BACq/2q/220Cw(3) 将相应的位移进行叠加将相应的位移进行叠加, 即得即得4125768CCCqlwwwEI 第34页/共61页例例3 用叠加法求梁中点处的挠度。设用叠加法求梁中点处的挠度。设bl / 2 。l/2lAB

22、qbxdx解解：将均布荷载看作许：将均布荷载看作许多微集中力多微集中力dF组成组成2222ddw(34)48d(34)48CF xlxEIqx xlxEI dF = qdx2222203(34)()48482bCqqbwxlxdxlbEIEI dFC当b=l/2时,2422( /2)35( /2) 482768Cq lqlwllEIEI 结果与例结果与例2一致一致.第35页/共61页例例4 叠加法（叠加法（逐段刚化法逐段刚化法) )抗弯刚度为抗弯刚度为EIEI，求，求B处处的挠度与转角、的挠度与转角、C C处的转角。处的转角。=+PL1L2ABCBCPL2w1w2等价等价等价等价PL1L2AB

23、C刚化刚化AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段PL1L2ABCM第36页/共61页w2PL1L2ABCMPL1L2ABCBCPL2w12122223BCPL LwLEI 3213BPLwEI 221212()3BBBPLLLwwwEI 21223CBPL LEI 21212(23)6BBBPLLLEI 212112033CCCPL LPL LEIEI 1222BPLEI 10C第37页/共61页m ax ww max一、梁的刚度条件：一、梁的刚度条件：、校核刚度：、校核刚度：、设计载荷。、设计载荷。 maxm ax ww其中其中 称为许用转角；称为许用转角；w 称为许用挠度。称为许用挠度。

24、通常通常依此条件进行如下三种刚度计算：依此条件进行如下三种刚度计算：、设计截面尺寸；设计截面尺寸；9-5 梁的刚度计算梁的刚度计算第38页/共61页例例1（类似教材（类似教材P159 例题例题9-5） 下图为一空心圆梁，内外径分别下图为一空心圆梁，内外径分别为：为：d=40mm，D=80mm，梁的，梁的E=210GPa，工程规定，工程规定C点的点的w =0.00001m，B点的点的 =0.001弧度，试校弧度，试校核此梁的刚度。核此梁的刚度。P P2 2A AB BC CD DA AB BC CP P1 1D D=+P P2 2=2KN=2KNA AB BL=400mmL=400mma a=0

25、.1m=0.1mC CP P1 1=1KN=1KND D200200mmmm第39页/共61页211116CBPL awaEI EILPB16211 2321221633CPL aPaPa LwEIEIEI 解：解：结构变换，查表求简单载荷变形结构变换，查表求简单载荷变形(P(P2 2的计算可利用上节例的计算可利用上节例4 4的结果的结果) )。P P2 2=2KN=2KNA AB BL=400mmL=400mma a=0.1m=0.1mC CP P1 1=1KN=1KND D200200mmmmA AB BC CP P1 1D D叠加求复杂载荷下叠加求复杂载荷下的变形的变形P P2 2A A

26、B BC CD D222()3CPa aLwEI223BPaLEI212163BPLP LaEIEI 第40页/共61页23261225.19 10 m1633CPL aPaPa LwEIEIEI )(.)(.弧度弧度4221104230320016400188021040316EILaPEILPB 48124444m1018810)4080(6414. 3)(64 dDI 4B0.423 100.001 弧度655.191010mCwmw校核刚度校核刚度所以刚度是足够的。所以刚度是足够的。内外径分别为：内外径分别为：d=40mm，D=80mm讨论：强度校核问题讨论：强度校核问题第41页/共6

27、1页由梁的位移表由梁的位移表(表表9-3)可见可见, 梁的变形梁的变形(挠度和转挠度和转角角)除了与除了与梁的支承梁的支承和和荷载情况荷载情况有关外有关外, 还取决还取决于以下三个因素于以下三个因素, 即即材料材料梁的梁的变形变形与材料的弹性模量与材料的弹性模量E成反比；成反比；截面截面梁的变形与截面的惯性矩梁的变形与截面的惯性矩I成反比；成反比；跨长跨长梁的变形与跨长梁的变形与跨长l的的n次幂成正比次幂成正比(在在各种不同荷载形式下各种不同荷载形式下, n分别等于分别等于1, 2, 3或或4)。由此可见由此可见, 为了减小梁的位移为了减小梁的位移, 可以采取下列措可以采取下列措施：施：第42

28、页/共61页1. 1. 增大梁的弯曲刚度增大梁的弯曲刚度EI箱形箱形等截面。等截面。第43页/共61页截面形截面形状状截面面积截面面积(cm2) 截面尺寸截面尺寸(cm)I (cm4)圆 形35.5D=6.72101.3矩形35.5B=4.21H=8.43210.56工字形35.520a 2370第44页/共61页2调整跨长和改变结构调整跨长和改变结构(b)(d)(a)(c)图7-25第45页/共61页(b)(a)图7-21图7-22第46页/共61页(b)(a)图7-27(c)(b)(a)图 7-24第47页/共61页lABq要求解如图所示的超静定梁，可以以要求解如图所示的超静定梁，可以以B

29、端的活端的活动铰支座为多余约束，将其撤除后而形成的悬动铰支座为多余约束，将其撤除后而形成的悬臂梁即为原超静定梁的臂梁即为原超静定梁的基本静定梁基本静定梁。 ABqFB为使基本静定梁的受力为使基本静定梁的受力及变形情况与原静不定及变形情况与原静不定梁完全一致，梁完全一致，还要求基还要求基本静定梁满足一定的变本静定梁满足一定的变形协调条件。形协调条件。 第48页/共61页lABqABqFB 由于原静不定梁在由于原静不定梁在B端有活动铰支座的约束，端有活动铰支座的约束，因此，因此，还要求基本静定梁还要求基本静定梁在在B端的挠度为零端的挠度为零，即，即 0Bw 此即应满足的此即应满足的变形协调条件变形

30、协调条件( (或变形相容条件或变形相容条件) ) 第49页/共61页ABq建立补充方程建立补充方程0BBqBFwwwABFBwBFwBqABqFB由图可见，由图可见，B端的挠度端的挠度为零，可将其视为均布为零，可将其视为均布载荷引起的挠度载荷引起的挠度wBq与与未知支座反力未知支座反力FB引起引起的挠度的挠度wBF的叠加结果的叠加结果，即，即:第50页/共61页ABqABFBwBFwBq48BqqlwEI 由由表表9.3查得查得力与变形力与变形间的物理关系间的物理关系： 33BBFF lwEI34083BF lqlEIEI将其代入前式得：将其代入前式得： 即得补充方程即得补充方程 ABqFB第

31、51页/共61页38BFql由此解出多余约束反力：由此解出多余约束反力： 34083BF lqlEIEIlABq再利用平衡方程即可求得其他支座反力。再利用平衡方程即可求得其他支座反力。 0,0 xAxFF0,0yAyBFFqlFABqFBFAyMAFAx58AyFql2()0,02AABqlMMF lF218AMql第52页/共61页1:选取适当的多余约束，得到基本静定梁；选取适当的多余约束，得到基本静定梁；2:利用相应的变形协调条件和物理关系建立补利用相应的变形协调条件和物理关系建立补充方程；充方程；3:与平衡方程联立解出所有的支座反力与平衡方程联立解出所有的支座反力解静不定梁时，解静不定梁时，选择哪个约束为多余约束并不选择哪个约束为多余约束并不是固定的是固定的，可根据解题时的方便而定。，可根据解题时的方便而定。解静不定梁的步骤解静不定梁的步骤这种解静不定梁的方法，称为这种解静不定梁的方法，称为变形比较法变形比较法。求解。求解静不定问题的方法还有多种