皮亚诺型余项

1、-作者xxxx-日期xxxx皮亚诺型余项【精品文档】目录摘要关键词AbstractKey words.1引言2不同型泰勒公式证明带有皮亚诺型余项泰勒公式的证明带有柯西型余项泰勒公式的证明.带有拉格朗日余项泰勒公式的证明带有积分型余项泰勒公式的证明3不同型余项泰勒公应用3.1.带有皮亚诺型余项的泰勒公式的应用求未定式的极限的应用带有柯西型余项的泰勒公式的应用.初等函数的幂级数的展开式中的应用带有拉格朗日型余项的泰勒公式的应用证明中值公式的应用带有积分型余项的泰勒公式的应用定积分计算中的应用参考文献 泰勒公式的证明 内容摘要：泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位,也在

2、微分学理论中最一般的情形是泰勒公式, 它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。泰勒公式的余项有两种：一种是定性的，例如我们可以使用泰勒公式, 佩亚诺型余项；另一种是定量的，如拉格朗日余项、柯西型余项等。来很好的解决有关高价函数导数问题。泰勒公式的收缩适度很好的锻炼了学习数学的思维，让我们在学习的时候有更广的思维空间。关键字：泰勒公式 皮亚诺余项 拉格朗日1. 引言 泰勒公式是数学分析中一个重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式，它建立了函数的增量，自变量增量与一阶及高

3、阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。我们可以使用泰勒公式，来很好的解决某些问题，如求某些极限，确定无穷小的阶，证明等式和不等式，判断敛散性以及解决中值问题等。本文着重论述泰勒公式在极限、近似、积分运算以及中值问题这四个方面的具体应用方法。2. 泰勒公式的证明 泰勒公式我们在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数在点0可导，则有即在点附近，用一次多项式逼近函数时，其误差为的高阶无穷小量。然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为n），其中n为多项式的次数，为此，

4、我们考察任一n次多项式。.（1）逐次求它的点处的各阶导数，得到，即由此可见，多项式的各项系数由其点的各阶导数值所唯一确定。对于一般的函数，设它在点存在直到n阶的导数。由这些导数构造一个n次多项式 （2）称为函数在点处的泰勒多项式。的各项系数称为泰勒系数。由上面对多项式系数的讨论，易知与其泰勒多项式在点有相同的函数值和相同的直至n阶导数值，即,k=0，1，2，。，n （3）下面将要证明，即以（2）式所示的泰勒多项式逼近时，其误差为关于的高阶无穷小量。定理1 若函数在点存在直至n阶导数，则有，即 （4）证 设现在只要证由关系式（3）可知并易知.因为存在，所以在点的某领域内存在n-1阶导函数.于是，

5、当且，允许连接使用洛必达法则n-1次，得到 定理所证的（4）式称为函数在点处的泰勒公式，称为泰勒公式的余项，形如的余项称为皮亚诺型余项。所以（4）又称带有皮亚诺型余项的泰勒公式。2.3带有柯西型余项的泰勒公式的证明定理2 设函数和满足（i）在a,b上连续；（ii）在（a,b）内可导；（iii）和不同时为零；（iv）,则存在，使得 证 作辅助函数 易见F在a,b上满足罗尔定理条件，故存在，使得带有拉格朗日型余项的泰勒公式的证明若函数在a,b上存在直至n阶的连续导函数，在（a，b）内存在（n+1）阶导数，则对任意给定的x，至少存在一点，使得 （5）证 作辅助函数 所证明的（0）式即为或不妨设x0&

6、lt;x，则F（t）与G（t）在上连续，在内可导。且又因F()=G（）=0，所以由柯西中值定理证明得其中（5）式同样称为泰勒公式，它的余项为 （0<<1）,称为拉格朗日型余项，所以（5）式又称为带拉格朗日型余项的泰勒公式。带有积分型余项的泰勒公式的证明设函数在闭区间I上有n+1阶连续可导，a ，I，则证明 记t的函数.逐次对t求导数，得设函数在0,1上有n+1阶连续可导，根据牛顿莱布尼兹公式，有对上式做部分积分n次，得出：将（0）式中的t分别取1，0带入（0）式中得：3. 不同型泰勒公式的应用例1. 求极限解：已知 = = =于是， = =例2 写出的麦克劳林公式，并求与解：用替换

7、公式中的得到由泰勒公式系数的定义，在上述的麦克劳林公式中，与的系数分别为由此可见，例3求极限解：时，有，所以 故例4：求极限解： 利用泰勒公式，将 和 中的 展到 的项。已知，代入计算带有柯西型余项的泰勒公式的应用例5 证明：若函数在区间内可导，且 ，则证明 令，显然，已知 ，即，有，根据柯西中值定理，有，或 或 已知，即，有与于是，有即 例6 设函数在 内连续且可导，有 证明： 在 内一致连续证 由函数极限的局部有界性可知，和，使 ， .于是，且，依柯西中值定理，有即故 ，当，且时，由上面两式得到于是知道在在上连续，所以在上连续，从而在在上一致连续.例7 设函数在的某领域内n阶可导，且 证明

8、，证 令，则，在上满足柯西中值定理条件，故式中，即 ，例8 设函数在a,b上可微，且a与b同号，证明：，使得（1）（2）证 （1）将原不等式变形为知，只要引入辅助函数.由于，在上满足柯西中值定理条件，所以，即 （2）将原不等式变形为知，只要引入辅助函数=，由于，在上满足柯西中值定理条件，所以，使，即=带有拉格朗日型余项的泰勒公式的应用例9将下列麦克劳林公式改写为带有拉格朗日型余项的形式（1）（2）（3）解：（1），由，得到（2），由得到（3）类似可得例10：证明证 由泰勒公式，有将上述两式两边相减，得或 由 故 ，则 于是 例11：（1） 计算e的值，使其误差不超过10-6 ；（2） 证明数e

9、为无理数解：（1）由公式，当x=1时有 ，故 ，当时，便有从而略去而求得e的近似值为（2）由 得 倘若（a,b为正整数），则当时，为正整数，从而上式左边为整数，因为，所以当时右边为非整数，矛盾。从而e只能是无理数。例12 设 在 内有四阶导数，且，.又，证明 证 将和 分别在点展开，得，则 将两式相加，得 所以 例13 计算 解：设 则 由公式有例14 计算解：结束语泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用。通过本文对极限计算、敛散性的判断、中值问题以及

10、等式与不等式的证明这四个方面的论述，我们可以了解到高阶（二阶及二阶以上）导数的存在是提示使用泰勒公式最明显的特征之一。只要题中条件给出函数二阶及二阶以上可导，不妨先把函数在指定点展成泰勒公式再说，一般是展成比最高阶导数低一阶的泰勒公式，然后根据题设条件恰当选择展开点（展开点未必一定是具体数值点，有时以X为佳）。只要在解题训练中注意分析、研究题设条件及其形式特点，并把握上述处理原则，就能较好的掌握利用泰勒公式解题的技巧。参考文献：1华东师范大学数学系数学分析（上册、第三版）M北京高等教育出版社2001（2008重印），125-126，134-1392孙清华，孙昊数学分析 内容、方法与技巧（上）M武汉华中科技大学出版2003年7月，3刘