谱估计与谱分析(第二章)非参数化方法

1、谱估计与谱分析第二章 非参数化方法经典谱估计谱估计器谱估计器周期图：相关图：窗函数：由psd定义二式得到，优点：当数据长度足够长时，分辨率高，但估计性能差。由psd定义一式得到，优点：当数据长度足够长时，分辨率高，但估计性能差。改进的周期图方法，目的是减小估计谱的统计方差，来提高其估计性能。 )(功率谱密度kkiekr功率谱密度的第一种定义：功率谱密度的第二种定义： 211limNi tNtEy t eN Blackman-Tukey方法 kiNNkekrc)(1)1( 一般谱估计的主要问题是谱估计器的统计方差大，即使样本长度非常大时仍然如此。 周期PSD估计器较差的统计特性可以直接的解释为：

2、（1） 在极端延迟 的估计精度较差。（2）大量协方差估计 误差（即使每项很小），在 中累加，精度偏差更大。 krNk c ktytyNkrNkt1110NkBlackman-Tukey方法 B-T估计器的实现，是为了减小上述两个因素造成的影响。 kiNNkekrc)(1)1( kiMMkekrkwBT)()(1)1(截断求和区间 式中 ：延迟窗，对采样协方差序列的延迟作加权。 是一个偶函数。当 时， ，而且 随k逐渐衰减至零，并且 。 kw kwMk 0)(, 10kww kwNM 1 的另一种形式 BT设 表示 的DTFT： W kw 1)1()(MMkiwkiwkkekwekwW iwkk

3、BTekrkw)(=序列乘积的DTFT. ,0,0, , . , ,0,0, .和. ,0,0, , . , ,0,0, .)1( Mw)1(Mw)1(Nr)1(Nr)(*)(kwDTFTkrDTFT 则由序列乘积的DTFT等于它们各自DTFT的卷积可推出： 的另一种形式 BT由于DTFT. ,0,0, , . , ,0,0, .= ，有：)1(Nr)1(Nr)(pdWWPPBT)()(21)()(dWekrkwEBiwkkBp)()(21)()()(对照周期图的式（2.4.8） 式子相似，其含义可用同样的方式解释。即将其理解为一个动态系统，有“输入”、“加权函数”、“输出”。 2 的方差和分

4、辨率 一般应用中对于大多数窗， 在 处都有一个相对窄的主峰。 由（2）式可以看出（1）式 相当于周期图的“局部”加权平均。 分辨率和方差的折衷： 一方面，式（2）在当前频率点 处的领域内进行加权平均，平滑了周期图，从而消除周期图围绕真正的PSD的大的波动减小方差。 另一方面频谱窗 引起的平滑效应降低了分辨率。 定性讲来，M越小，方差减小越大，分辨力越低。定量讲来，B-T谱估计器的分辨力（可分辨间隔）量级在 ，而它的方差量级 。 W0 BT p WM1NM BTBlackman-Tukey谱估计的非负性 因为 ，所以很自然地也要求 ，这一特性可以通过选择合适的延迟窗来达到。 0 0BT 如果延迟

5、窗 是半正定的（即 ）,则加窗的协方差序列 也是半正定的，这一结果对所有 . kw 0W NktktytyNkrkrkw1)()(1)()( 0,BT窗函数设计考虑 B-T估计器及其它修正/细化周期图方法都与延迟窗的选择有直接关系。以下讨论几个有关的窗的性质。(1)窗设计中的时间-带宽乘积和分辨力-方差折衷(a)等效时间宽度 和等效带宽大多数窗：(i)在时间和频率两域中都呈非负值（即使取了负值，也比窗的正值小得多）；(ii)在两域原点处起峰等效时宽等效带宽eNeBeN)0()(1)1(wkwNMMkeeB)0()(21WdWe窗函数设计考虑(b)等效时间带宽乘积等于1根据离散时间序列的正、逆D

6、TFT定义，得：将这两个式子代入等效时宽和等效带宽，可得：1)1()()()0(MMkkkwkwWdWw)(21)0(1eeN窗函数设计考虑（c）窗状信号的一个基本性质 一个窗函数不可能既在时间上受限，又在频带上受限。窗函数在一个域里衰减至零越缓慢，则在另一个域里的分布越集中。（d） 、 与窗长度M的关系 的等效时宽（或展开度） 实质上取决于窗长度 矩形窗 三角窗 之等效带宽 基本上取决于窗长度eNeB)(kweN)(kweB)(kwR)(kwBMNe2MNeMe1窗函数设计考虑(e)加窗方法普分辨率和统计方差周期图/相关图方法自身含有的窗：（i）有偏ACS估计 Bartlett窗 iwkNN

7、kcekr)()(1)1( ktytyNkrNkt1110Nk)(kwB) 1(, 1, 0,1 NkNk0，其他（ii）无偏ACS估计 矩形窗 ktytykNkrNkt1110Nk)(kwR) 1(, 1, 0, 1 Nk0，其他窗函数设计考虑加窗（包括矩形窗和Bartlett，）(i)一个加窗方法的谱分辨率限制：1/M(ii)一个加窗方法的统计方差实质上与M/N成正比如果一个窗的大部分能量集中在主瓣内，则该主瓣的宽度应大约为1/M，又主瓣的宽度限制着谱分辨率，故其范围大约在1/M。(f)窗长M选择原则窗的长度应在谱分辨力和统计方差两者之间折中选择。一般规则： ,可以将谱估计的标准离差至少减

8、小3倍（与周期图相比）。10/NM 窗函数设计考虑（g）窗的形状选择 一旦窗长M确定，就不能同时降低主瓣能量（为减小平滑效应）和旁瓣能量（为减小谱泄漏）。 由 ，意即一旦 确定例如 ， 的面积（主瓣和旁瓣分布面积）也就确定了,换句话说， 如果想减小主瓣宽度，势必应当接受旁瓣能量增加的事实；反之亦然。 还有一个考虑的余地：窗的形状。 窗形状的选择原则 谱的平滑和泄露之间的折中。dWw)(21)0()0(w W1)0(w一些常用的延迟窗表2.1一些常用的窗函数及其特性窗名称窗名称 定义式定义式 主瓣近似主瓣近似 宽宽度（弧度）度（弧度）矩形窗 -13Bartlett窗 -25Hanning窗 -3

9、1Hamming窗 -41Blackman窗 -571)(kwMkMkw)(Mkkwcos5 . 05 . 0)(1cos46. 054. 0)(Mkkw12cos08. 01cos5 . 042. 0)(MkMkkwM/2M/4M/4M/4M/6副瓣电平副瓣电平（dB）常用延迟窗特性除了表2.1中固定窗的设计外，还有一些窗含有设计参数，改变设计参数来对谱分辨率和旁瓣泄漏进行折中。例如Chebyshev窗和Kaiser窗。Chebyshev窗：副瓣具有等波纹特性（副瓣电平不随频率增加而下降）。Kaiser窗：定义：近似最佳窗较之固定窗而言调节参量对给定的主瓣宽度有较低的旁瓣级或者对给定言，调节

10、参量，对给定的主瓣宽度有较低的旁瓣级，或者对给定的旁瓣级有较窄的主瓣宽度。)() 1/(1()(020IMkIkw常用延迟窗特性窗与其自身的卷积(i) 最佳窗设计，(ii) 把时间窗与协方差延迟窗关联起来。上述窗中除了Bartlett窗外，其傅里叶变化没有一个是正的。窗与自身卷积产获得具有正频谱的窗。Bartlett窗是由矩形窗与自身的卷积获得。以下讨论最佳窗设计和时间窗与协方差延迟窗的关联将利用窗与其自身的卷积。 图2.3、2.4给出几种窗函数波形图，窗长度M=26。其中Kaiser设计为=1和=4。Chebyshev窗设计为-40dB旁瓣级。 图2.5、2.6给出了这些窗归一化后的频谱。图

11、2.3 常见窗函数波形图图2.4 常见窗函数波形图图2.5 窗函数的DTFT波形图图2.6 窗函数的DTFT波形图最佳窗设计和加窗周期图谱估计器(1)一个检测问题：窗设计折中谱的平滑和泄露(i)弱期望信号+强干扰；(ii) 期望信号+干扰窄带，频率很好分开，平滑不是主要问题；(iii)强干扰通过泄漏可能完全遮蔽弱信号，窗设计减小泄露。(2) 正半定延迟窗 设计考虑一个序列 ，设)(/ )(Wkw)1(,),0( M10)()(MkiwkekvV最佳窗设计和加窗周期图谱估计器 可写成下面更紧凑的形式：其中： 定义频谱窗： 由上式相应的延迟窗： )(*)(avV)(V )1()0(MvTMiiee

12、a1 )()1( 2)()(VW 101)1(10)1(1)1(1010)()()()()()()()(MniwkMMkMnMnnkiwkMMKMnMppniwiwkeknvnveknvnvepvnvekw最佳窗设计和加窗周期图谱估计器因此 （2.6.15） 由式看出，利用序列v(k)与自身卷积的方法构成w(k)，可以保证所得到的延迟窗总是半定的，及相应的频谱窗满足 。另外，w(k)的设计问题可以简化为对v(k)的选取问题，这样更方便实现。10)()()(Mnknvnvkw0)(W窗函数优化（3）窗设计目标：尽可能多地减小泄露实际应用是希望尽可能的减小w(k)引起的频谱泄漏，可以等效为最小化

13、副瓣相对能量，或最大化 主瓣相对能量的问题： （2.6.16）其中：参数表示谱的平滑度对谱泄露的补偿，越大，由式（2.6.16）得到的最优窗对频谱泄露的要求越低，窗的谱分辨率越低。 W WdWdWv)()(max窗函数优化由（2.6.16）的准则写成如下形式： （2.6.17）优化问题变为： （2.6.18）其中： （2.6.19）上式中 （2.6.20）vvvdaavdVdV)()(21)(21)(2122vvvvvmaxnmdaa)()(21)()sin(21)(nmnmdenminm窗函数优化(4)优化问题式（2.6.18）的解显而易见，即可通过求解矩阵最大特征值对应的特征向量得到。在副

14、瓣区间 内，最小化相对能量的最优延迟窗可以按式选择，其中v是矩阵的主特征向量。 ,10)()()(Mnknvnvkw时间窗和延迟窗（5）时间窗和延迟窗 B-T估计其实利用延迟窗得到的加窗相关图（2.5小节）。 （2.5.1） 同样，我们可以定义加窗周期图： （2.6.24）上式中的加权序列v（t）称为时间窗。时间窗有时也称为窗口。 为什么要加窗周期图？改写（2.6.24）两边取期望，得： 21)()(1NtiwtWetytvN kiMMkekrkwBT)()(1)1( stiNtNsWesytysvtvN)()()()(111 stiNtNsWestrsvtvNE111时间窗和延迟窗时间窗和延

15、迟窗其他改进的周期图方法Bartlett方法(i)分辨率与方差的折中Bartlett方法是对长度为M的分段数据进行计算，其分辨率大约为1/M。可见，与原始的周期图方法相比，Bartlett方法的分辨率下降了L倍。既然分辨率降低了，就希望该方法能减少方差。下面证明Bartlett方法的方差同样减小了L倍。选择M（或L）时可以根据经验对分辨率和方差进行折中。(ii)根据前面的基础 又可以写成：其中 是对应于第j个子样本的样本协方差序列。 kBBr kiMMkjekr)(1)1( j krjBartlett方法将 代入 中，可得：又可见 在形式上与使用矩形窗的B-T估计器相似。这里 是ACS的一个估值。 j B kiMMkBkiMMkLjkjBekrerL1)1(1)1(11 kiMMkekrkwBT)()(1)1( B krB LjjBkrLkr11Bartlett方法（iv） 与 为矩形框时 的差别 的方差高于B-T估计对应的 的方差 ； 的方差同样高于 的方差。另外Bartlett方法使用了一个固定的矩形延迟窗，因此其在分辨率-频谱泄露折中上的灵活要比B-T方法差。Bartlett估计与长度为M的矩形窗延迟窗的B-T估计形式上是相似的，但前者方差稍微大一点。所以Bartlett估计对所估计的谱平滑能力最弱（当然分辨率最高），但是泄漏也最大。 B kw BT krB