拉格朗日松弛算法求解组合优化问题

1、Chapter 7:拉格朗日松弛算法7.1 基于规划论的松弛方法基于规划论的松弛方法7.2 拉格朗日松弛理论拉格朗日松弛理论7.3 拉格朗日松弛的进一步讨论拉格朗日松弛的进一步讨论7.4 拉格朗日松弛算法拉格朗日松弛算法7.5 应用案例应用案例:能力约束单机排序问题能力约束单机排序问题主要内容:目标值最优值基于数学规划: 分支定界法、割平面法、线性规划松弛再对目标函数可行化等的目标值。现代优化算法：禁忌搜索法、模拟退火法、遗传算法、蚁群算法等的目标值。其它算法：分解法、组合算法等的目标值。下界算法：线性规划松弛、拉格朗日松弛等的目标值。例子1: 线性规划松弛: 在7.1.1中,将整数约束松弛为

2、实数, 称其为7.1.1的线性规划松弛:min7.1.2,. .TLPnZc xAxbstxR注: 定理7.1.1: 此类算法适合于整数规划问题中,决策变量为较大整数的情形. 此类算法分两阶段: 第一阶段为求松弛后线性规划问题的最优解; 第二阶段为将解整数化,并考虑可行性.LPIPZZ例2: 对偶规划松弛方法: 7.1.2的对偶形式为:max7.1.3,. .TDPTnZy bA ycstyR其中Y为决策变量.注:由对偶理论知,7.1.2和7.1.3有相同的最优值,至于采用其中的哪个模型求解7.1.1的下界,需比较哪个计算简单.例3. 代理松弛法:当(7.1.1)中的约束太多时,代理松弛一个约

3、束代替(7.1.1)中的K个约束极端情况可以用一个代替全部111()kknKKi jjijkkaxb 1,1kkni jjijaxbkK111()nmmi jjijkkaxb 注: 代理松弛法保证目标函数,整数规划约束不变, 显然,由代理松弛法求得的解不一定可行例4. 拉格朗日松弛方法基本原理: 将目标函数中造成问题难的约束吸 收到目标函数中,并保持目标函数的线性,使问题容易求解.Q:为什么对此类方法感兴趣?A: (1). 在一些组合优化中,若在原问题中减少一些约束,则使得问题求解难度大大降低.(我们把这类约束称为难约束). (2). 实际的计算表明此种方法所得到的结果相当不错.7.1 基于规

4、划论的松弛方法松弛的定义（7.1.1）: 问题整数规划模型:min7.1.1,. .TIPnZc xAxbstxZ:min( )RRRx SRPZzx满足下列性质时,称为7.1.1的一个松弛(relaxation). 可行解区域兼容:(1)目标函数兼容:( ),TRc xzxxS RSS其中, 为7.1.1的可行域.S例7.1.1 set covering problem问题描述: 设 ,所有 ,且每一列对应一个费用 , 表示第j列覆盖第i行,要求在最小的费用下选择一些列,使其覆盖所有的行.()ijm nAa0,1ija (1)jcjn 1ija 11min(). .1,10,1,1nscjj

5、jni jjjjzc xSCsta ximxjn松弛问题:111min(1)(). .0,1,10nmnLRSCjjiijjjijjzc xa xLRSCst xjn松弛模型:11min(). .0,1,10nmLRSCjjijijzd xLRSCst xjn1mjjiijidca以上问题很容易求得最优解1,0*0,jdxother7.2 拉格朗日松弛理论min,():. .,.TIPnZc xAxbIPstBxdxZ难约束（简单约束）|,nSxZAxb Bxd( )min():,. .TTLRnZc xbAxLRBxdstxZ（简单约束）原整数规划问题拉格朗日松弛|nLRSxZBxd定理7.

6、2.1 LR同下整数规划问题(7.2.1)有相同 的复杂性,且若IP可行解非空，则:0,( )LRIPzz min. .(7.2.1)Tnc xst BxdxZ( )min():,. .TTTLRnZcA xbLRBxdstxZ（简单约束）min,():. .,.TIPnZc xAxbIPstBxdxZ难约束（简单约束）证明:注:定理7.2.1说明拉格朗日松弛是IP问题的一个下界,但我们应该求与IP最接近的下界,即:0()max( )LDLRLDzz定义7.2.1 若 ,满足以下条件,则称D为凸集., x yD(1),01xyD1( )|,1iiiiiiCon QPPR|1,2,iQP i对于

7、离散点集 ,其凸包定义为:显然Con(Q)为凸集.定理7.2.2 若拉格朗日对偶问题的目标值有限,则min|,( ) |,TLDnzc x Axb xCon QQx Bxd xZ其中：证明:()()( )min()min ()min ()TTTLRx QTTTx Con QTTx Con QzcA xbcA xbc xbAx设Con(Q)的极点为 ,极方向为 则:|kxkK|jrjJ, ()0min()(),:TTjTTTTkTkx Qif jJcA rcA xbc xbAxother kK 由LD问题有限,则有:000max( )maxmin()TTkTkLDLRk Kzzc xbAx Tj

8、存在， jJ,使得(c -A)r0上述问题等价于:max(),. .()0,0LDTkTkTTjzc xbAxkKstcA rjJ 整理得:max(),. .,0LDTkTkTjTjzAxbc xkKstArc rjJ 其对偶问题为:min()1. .()0,;0,.kLDkjjk Kj Jkk Kkjkkkk Kk Kk KkjzcTxrstAxrbkKjJ即有:()min. .TLDx Con Qzc xstAxb推论推论7.2.1: 对于任给c,整数规划问题IP和拉 格 朗日对偶问题LD的目标值相等的充要条件为:(|)( )|nnCon QxRAxbCon QxRAxb证: 显然有 |(

9、 )|nnQxRAxbCon QxRAxb(|)( )|)( )|nnnCon QxRAxbCon Con QxRAxbCon QxRAxb从而有:再由定理7.2.2:(|)() |minminnnTTIPLDx Con Qx R Ax bx Con Qx R Ax bzc xzc x若对任何c有 ,则问题得证.IPLDzz例7.2.1 假设整数规划问题IP12121212122min 7224520227. .7.2.224IPzxxxxxxxxstxxxZ 第一个约束为复杂约束,其拉格朗日松弛后的模型LR为:121212122( )min (7)(22 )4 520227. .27.2.3

10、4LRzxxxxxxstxxxZ 43211234l2l1l4l3EDCBA41(,)1717T7.2.3图解示意下降方向最优解 (7,2) (3,4) -29 (7.5,1) (4,0) -32 (8,0) (4,0) -32( )LRz0121(7,22 )T12( ( ),( )Txx( , *)LRzx22722(,)53655365T单位化下降方向:2272212lim(,)(,)5553655365TT最优值只能在(4,0)和(3,4)两点得到,过这两点的直线方程:y+x4=16.其垂直方向为:41(,)1717T22722411,(,)9171753655365T综合有:1290

11、119( )( )281992889LRLDLRzzz 例7.2.2(继7.2.1) 例7.2.1中 (2,2) ,(2,3) ,(2,4) ,(3,1) ,(3,2) ,(3,3) ,(3,4) ,(4,0) TTTTTTTTQ 12121(|24)2( )|24nnSCon QxRxxSCon QxRxx 43211234DCB1224xx 43211234DCB1224xx S1S2由推论7.2.1可以知道, 由两个因素有关:第一个因素是目标函数中的C,推论7.2.1要求对所有的C满足S1=S2,但也可能存在某个C使得 IPLDzzIPLDzz第二个因素是可行解的区域.由上面的图形可知,

12、SI和S2不同,所以存在一个C,使得 不为零,如在例7.2.1中, ,在 达到拉格朗日对偶问题的最优值,其最优解为(4,0); ,其一个最优解也为(4,0).由此我们可以知道,即使拉格朗日松弛在某个 下达到的最优解为原问题的可行解,我们也不能断言 .除非此时 .IPLDzz8289LDz 1928IPz IPLDzz0定理7.2.3 若线性规划松弛问题LP存在可行解,则LPLDIPzzz注:此定理说明,拉格朗日松弛对偶后的目标值 是IP 问题的一个下界,且不比 差.LDzLPz定理7.2.3 的充要条件是存在 和 使得:IPLDzz*0*|,nxxZAxb Bxd112212* ()(0)(

13、*, *)* (*)( *)(0)TTTLRbAxzxc xbAxz 证明：、充分性：212( *)( *, *)*TLDLRLRIPzzzxc xz、必要性：记为问题的最优解，为问题的最优解，则：*x*( *)* (*)( *)( *, *)* (*)( *)( *, *)TTLDLRLRTIPLRzzc xbAxzzxzbAxzzx* (*)( *)( *, *)IPLDTLRzzbAxzzx12* (*),( *)( *, *)TLRbAxzzx 记：212( *, *)* (*)( *)TTLRzxc xbAxz则：例7.2.3 (继例7.2.1) 时, 为问题的一个可行解,此时:1*

14、9*(4,0)x 121*(*)( 44)9( *, *)*(*)882828( *)99TLRbAxzxc xbAxz 21288099IPLDzz其中，有，故：一般情况下,可大致估计:121*(*)( 44),2( *, *)*(*)284( *)TLRbAxzxc xbAxz 32( *)322840,4LRIPLDzzz 2于是：故：7.3. 拉格朗日松弛的进一步讨论目的: 对非标准的拉格朗日形式讨论.一、等号约束的松弛121212()()()(),ijjiijjiijjiiiijjiiijjiiiijjiiiia xba xba xbba xba xba x nj=1nnj=1j=1

15、nnnj=1j=1j=1将等号约束写成标准形式：，把两个约束吸收到目标函数有：若令则 无非负约束。二、LR最优解和LP最优解的关系( )( )TIPxIPc xzTLRn+对于给定的0，z ( )=minc x+ (b-Ax)（LR）s.t.BxdxZ的最优解为问题可行，并不能有具体例见例7.3.1。定理7.3.1 的充要条件为：IPLDzz*0* ()0,( *)( *, *)TLRxIPbAxzzx存在，为可行解，使得：三、拉格朗日松弛的整数性定义7.3.1 若LR的最优解与其整数约束无关，则称该问题具有整数性，即：( )min(). .()( )min(). .TTLRnTTLRLnzc

16、 xbAxBxdstxZLRLRLzc xbAxBxdstxR与线性松弛最优解相同。定理7.3.2 若LR具有整数性，则LDIPzz四、 拉格朗日分解1minminmin(). . . .,( )min(7.3.8). .TIPTTTIPnnnTTLRnzc xzc xc xxyAxbAxbAxbxystBydstBxdstBydx yZxZx yZzc xxzandAxbstxZ2( )min(7.3.9). .TLRnyBydstyZ1212( )( )max( )( )LRLRIPLDLRLRzzzzzz有：其对偶形式：7.4 拉格朗日松弛算法7.4.1 次梯度算法（subgradien

17、t optimization）定义：（凹函数） 函数 满足以下条件称为凹函数 1:mg RR(1) )( )(1) ( ),mgxyg xg yx yR定理7.4.1 若LR的可行解集合Q为有限个实数点集，则以下函数为凹函数( )min()|TTLRzc xbAxxQ定理7.4.1 函数为凹函数的充要条件为：1*,( ,) ,( *)( )( *)mTmTmxRsssg xg xsxxxR 使得：证明 必要性：设 为凹函数，则( )g x112211221212121212( , )|( )(,),(,)(,)(1)(,)(1),(1):(1)()(1) ()(1)Hx zzg xandx z

18、xzHx zxzxxzzgxxg xg xzz有:满足H为凸集, 为边界点,所以存在过 和法方向 的支撑超平面 满足:( *, ( *)xg x( *, ( *)xg xs( *)( )( *)Tmg xg xsxxxR 充分性:1212,01, *(1)x xxxx有：1122121212( *)()( *), ( *)()( *)( *)(1)*)()(1) ()( *)()(1) ()TTTg xg xsxxg xg xsxxg xsxxxg xg xg xg xg x则有：即：ABC3S4S( )LRz( )LRz函数示意图定义7.4.2 若 为凹函数,在 向量满足: 1( ) :mg

19、 xRR*mxRmsR( *)(*)( )Tmg xsxxg xxR 则称 为 在 的一个次梯度,所有的次梯度集合记为: ( )g xs( *)g x*x定理7.4.3 若 为凹函数, 为 的充要条件为( )g x*xmax ( )|mg xxR0( *)g x 定理7.4.4 设LR的可行解集合Q由有限个整数点组成,其极点为 有: ()kxkK( *)min* ()TTLRk Kzc xbAx* |( *)(), |,1,0( *)TiTiLRiiiiiiLRi IIi zc xbAxiI sbAxs ssz*LR记：则对任意为z ()的次梯度且：证明:*( ) (*)()()() ()(

20、)( *)i TTiTiTiTiTiTiLRLRsbAxbAxc xbAxc xbAxzz注: 若 不是最大值点,则相交的两个同目标值的平面 满足 *1122:()():()()TiTiTjTjc xbAxDc xbAxD12*DD且,两平面的法方向交角不超过90度.当 不是光滑点是,在 的邻域内,当 充分小时,存在 ,使得:*max *,0isjI( )()TjTjLRzc xbAx由 内所有次梯度夹角不超过90度,有( *)LRz( )( *)(*) ()()()0TjijLRLRzzbAxbAxbAx由上面的讨论可得次梯度优化算法如下:STEP1: 任选初始拉格朗日乘子 STEP2: 对

21、 ,从 中任选一个次梯度 ,若 则停,否则 重复STEP2.,1ttt()tgts0ts 1max,0, :1tttstt 注:1、 的选取:10:,0,(,1981):,01( )( ):|ttttUPLPtttatFisherbztztcs 2、停止准则：:0(),|:( )( ):()tttLRUPLPttLRaTb szorsc ztztdz迭代次数上限或在一定步数内变化不超过某给定值7.4.2 拉格朗日启发式算法Step1: 拉格朗日次梯度法求IP下界Step2: 对所求解可行化例7.4.1 假设集合覆盖问题SC通过前面的松弛得到一个解 ,当其不可行时即存在i使得12(,)nxx x

22、x10nijjja x一个可行化方法是求k,满足1min|1kji jj ncca 重复以上步骤,直到所有行都被覆盖.集合覆盖问题的拉格朗日松弛算法:Step1: 初始化0,0tStep2: 计算()tLRzStep3: 若所有行被覆盖,stop; or 记 表示第i行没有被覆盖,在没有被覆盖的行中任选一行k,计算1is min|1,1,kjkjkdas其中1mtjjljldcaStep4 : 11,2tkktitiikttstepik 返回例7.4.2 对集合覆盖问题12341314234min23451. .110,1,1,2,3,4jxxxxxxstxxxxxxj假设:(1.5,1.6,

23、2.3)T1234( )min 1.10.80.31.2 5.3LRzxxxx( )LRz最优解为:(1,0,0,0,),( )4.2LRxz第三行没有被覆盖,在可覆盖第三行中选费用最小的列min0.8,0.3,1.20.3代替1231.501.602.20.3124( )min 1.10.50.95.64.5LRzxxxLR1324最优解为:x =x =1,x =x =07.5 案例应用 能力约束单机排序问题111mod:min,1,2,1max ,11,0.0,1,2;1,2,0iniiiTititniitiittiiitititelZTxd ina xsYc tT inifxstYoth

24、erintx（1）（2）（3）:iiitiiTdxtidiati：完成 所需要的时段；： 时段产品 的产量；产品 的需求；：产品i的单位产品所占用的生产能力；c ：t时段可提供的生产能力；s： i产品的生产准备所占用的能力。约束条件(1): 产品需求两约束约束条件(2): 个时段产能约束约束条件(3): 准备时间,ititixY T为自由变量，为因变量下算法的基本思想是将 中较大权数所对应的产品尽可能早地生产,1iin Step1: 当 时, ,依时段t能力 约束(2),将 尽可能往前安排直到 全部 生产,可能出现以下几种情况: (a)若 的全部需求没有全部生产,且时段t的能力足以满足 的生产准备，则以时段t的最大余能力生产 ，剩余未能生产的分到 时段， 返回step1; (b) 若的全部需求已生产，则当 时停止，否则 返回step1; (c)若 没有全部产出，且无法在该时段生产， 则 ,返回step1;Step0: ,从第一时段 开始;,1,2SUn1t U*max|iiiU*i* id*i*i*i1t 1tt *i *SSi1,SnUUS *UUiStep2: 若 则 返回step2.,1,USn1,1,ttUnS 算法能力约束排序问题的拉格朗日松弛算法0111mo