2017年重庆理工大学高等代数考研真题A卷_第1页
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1、2017年重庆理工大学高等代数考研真题A卷一、填空题(每空3分, 共15分)1.已知行列式,则 ,其中分别表示元素的余子式和代数余子式.2. 已知线性方程组无解,则 .3.已知三阶方阵的行列式,为的伴随矩阵,则_ _.4. 若阶方阵满足,且,这里为阶单位矩阵,则的特征值只能是_ .5. 若实对称矩阵与合同,则二次型的典范形式为 .二、选择题(本题共5小题, 每小题3分, 共15分. 在每小题给的四个选项中只有一项符合题目要求, 把所选项前面的字母填在题后括号内)1. 数域上的多项式没有重因式的充分必要条件是( ).(A) 没有重根(B) 的导数没有重因式(C) 与互素(D) 在中没有根2. 设

2、为矩阵, 且秩=, 则( ).(A) 的列向量组线性无关(B) 方程组的增广矩阵的行向量组线性无关(C) 方程组有唯一解(D) 方程组的增广矩阵的任意四个列向量构成的向量组线性无关3. 设阶可逆矩阵满足, 则的伴随矩阵满足( ).(A) (B) (C) (D)4. 已知是实对称矩阵的三个特征值, 且对应于的特征向量为. 则对应于的特征向量为( ).(A) (B) (C) (D) 5. 实二次型为正定的充分必要条件为( ).(A) (B) 存在使得(C) 存在阶可逆矩阵使得(D) 的负惯性指数为零三、(15分)设多项式且整除. (1) 求的值；(6分)(2) 判断有无重因式；(4分) (3) 将

3、表示成的多项式. (5分)四、(12分)(1) 证明, 其中为同阶方阵；(4分) (2)计算阶行列式,其中为阶单位阵,是如下阶方阵. (8分)五、(18分)设 这里为的伴随矩阵, 且矩阵满足. (1) 证明可逆,并求及其逆；(8分) (2) 求矩阵多项式.(10分)六、(15分)问为何值时, 线性方程组有唯一解, 无解, 或有无穷解? 并在有无穷解时, 求出其通解.七、(15分)设数域上的3维向量空间的线性变换在基下的矩阵为. (1) 求的核空间及维数；(5分) (2) 求的像空间的维数；(5分) (3) 判定能否相似对角化. (5分)八、(10分)设是秩为()的阶方阵，且满足,证明: (1) ；(4分)(2) 可相似对角化；(3分)(3) 是可逆的, 这里为阶单位阵. (3分)九、(15分) 设是5维欧氏空间的一个规范正交基, 其中,.(1) 求的一个基；(6分)(2) 求的一个规范正交基；(6分)(3) 求在中的正投影. (3分)十、(20分)给定3阶实对称矩阵,且其特征值为,已知是的属于特征值的特征向量

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